Algebra di George Boole

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• Algebra di George Boole

Istituto di istruzione superiore A.
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INDICE

• George Boole (vita pensiero)
• Introduzione all algebra di Boole
• Simbologia
• Operatori(Porte Logiche)
• Omomorfismi ed isomorfismi
• Anelli, ideali e filtri booleani
• Espressioni booleane
• Rappresentazione delle algebre booleane
• Mappa di Karnaugh
• Indicazione delle Pagine web.

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George Boole

• George Boole (Lincoln, 2 novembre 1815 -
  Ballintemple, 8 dicembre 1864) è stato un
  matematico e logico britannico considerato il
  fondatore della logica matematica la sua opera
  influenzò anche settori della filosofia.
  Incoraggiato e indirizzato da Duncan Gregory,
  curatore del Cambridge Mathematical Journal,
  Boole si dedicò allo studio di metodi algebrici
  per la risoluzione di equazioni differenziali e
  la pubblicazione dei suoi risultati sulla
  suddetta rivista gli fecero ottenere una medaglia
  della Royal society e, successivamente, nel 1849,
  la nomina alla cattedra di matematica al Queen's
  College di Cork.

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Introduzione all algebra di Boole

• In matematica ed informatica, le algebre
  booleane, o reticoli booleani, sono strutture
  algebriche che rivestono una notevole importanza
  per varie ragioni.
• Permettono di trattare in termini algebrici
  questioni riguardanti singoli bit (0 e 1),
  sequenze binarie, matrici binarie (e di
  conseguenza, attraverso le loro matrici di
  incidenza i digrafi) e altre funzioni binarie (si
  tenga presente anche la nozione di funzione
  indicatrice). Inoltre ogni algebra booleana
  risulta criptomorfa ad un particolare tipo di
  anello, chiamato anello booleano.
•  
• Nella descrizione dei circuiti, possono anche
  essere usati NAND (NOT AND), NOR (NOT OR) e XOR
  (OR esclusivo).

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Simbologia

• Nella progettazione di circuiti elettronici,
  vengono utilizzati anche gli operatori brevi NAND
  (AND negato), NOR (OR negato) e XNOR (XOR
  negato) questi operatori, come XOR, sono delle
  combinazioni dei tre operatori base e quindi non
  costituiscono un arricchimento della specie di
  strutture, vengono usati solo per rendere la
  notazione più semplice.

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NOT

• L'operatore NOT Restituisce il valore inverso di
  quello in entrata. Una concatenazione di NOT è
  semplificabile con un solo NOT in caso di dispari
  ripetizioni o con nessuno nel caso di pari.
• Spesso, per semplificare espressioni complesse,
  si usano operatori brevi che uniscono
  l'operazione di NOT ad altre, questi operatori
  sono NOR (OR NOT), NAND (AND NOT), XNOR (XOR
  NOT). La negazione, in questi casi, viene
  applicata dopo il risultato dell'operatore
  principale (OR, AND, XOR).

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AND

• L' operazione AND (letteralmente e in inglese)
  restituisce 1 (vero) se e solo se tutti gli
  operandi hanno valore 1 (vero), altrimenti
  restituisce 0 (falso).
• 0 AND 0 0
• 0 AND 1 0
• 1 AND 0 0
• 1 AND 1 1
• 1 AND 1 AND 0 0
• 0 AND 0 AND 1 0
• 1 AND 1 AND 1 1
• 0 AND 1 AND 1 AND 0 0

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OR

• L' operazione logica OR (letteralmente o in
  inglese) restituisce 1 (vero) se almeno uno degli
  elementi è 1 (vero) altrimenti dicibile OR
  restituisce 0 (falso) se e solo se tutti gli
  operandi sono 0 (falso).
• 0 OR 0 0
• 0 OR 1 1
• 1 OR 0 1
• 1 OR 1 1
• ...
• 1 OR 1 OR 0 1
• 0 OR 0 OR 1 1
• 0 OR 0 OR 0 0
• 0 OR 1 OR 1 OR 0 1
• ...

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Xor

• L'operatore XOR (detto anche OR esclusivo)
  restituisce 1 (vero) se e solo se un unico dei
  due operandi è 1, mentre restituisce 0 (falso) in
  tutti gli altri casi.
• 0 XOR 0 0
• 0 XOR 1 1
• 1 XOR 0 1
• 1 XOR 1 0
• ...
• 1 XOR 1 XOR 0 0
• 0 XOR 0 XOR 1 1
• 1 XOR 1 XOR 1 1
• 0 XOR 1 XOR 1 XOR 0 0
• ...

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Nand

• L'operatore NAND (cioè la negazione del risultato
  dell'operazione AND) restituisce 0 (falso) se e
  solo se tutti gli elementi sono 1, mentre
  restituisce 1 (vero) in tutti gli altri casi.
• 0 NAND 0 1
• 0 NAND 1 1
• 1 NAND 0 1
• 1 NAND 1 0
• ...
• 1 NAND 1 NAND 0 1
• 0 NAND 0 NAND 1 1
• 1 NAND 1 NAND 1 0
• 0 NAND 1 NAND 1 NAND 0 1

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NOR

• L'operatore NOR, (cioè la negazione del risultato
  dell'operazione OR) restituisce 1 (vero) se e
  solo se tutti gli elementi sono 0, mentre
  restituisce 0 (falso) in tutti gli altri casi.
• 0 NOR 0 1
• 0 NOR 1 0
• 1 NOR 0 0
• 1 NOR 1 0
• ...
• 1 NOR 1 NOR 0 0
• 0 NOR 0 NOR 1 0
• 0 NOR 0 NOR 0 1

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Xnor

• L'operatore XNOR (cioè la negazione del risultato
  dell'operazione XOR) restituisce 0 se e solo se
  un unico elemento dei due è uguale a 1 e tutti
  gli altri elementi sono 0
• 0 XNOR 0 1
• 0 XNOR 1 0
• 1 XNOR 0 0
• 1 XNOR 1 1
• ...
• 1 XNOR 1 XNOR 0 1
• 0 XNOR 0 XNOR 1 0
• 1 XNOR 1 XNOR 1 0
• 0 XNOR 1 XNOR 1 XNOR 0 1

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Omomorfismi ed isomorfismi

• Un omomorfismo tra due algebre booleane A e B è
  una funzione f AB tale che per ogni a, b in A
• f( a b ) f( a ) f( b )
• f( a b ) f( a ) f( b )
• f(0) 0
• f(1) 1
• Da queste proprietà segue anche f(a) f(a) per
  ogni a in A . Ogni algebra booleana, con la
  definizione di omomorfismo, forma una categoria.
  Un isomorfismo da A su B è un omomorfismo da A su
  B che è biiettivo. L'inverso di un isomorfismo è
  ancora un isomorfismo, e le due algebre booleane
  A e B si dicono isomorfe. Dal punto di vista
  della teoria dell'algebra booleana , due algebre
  booleane isomorfe non sono distinguibili, ma
  differiscono soltanto nella notazione dei loro
  elementi.

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Anelli, ideali e filtri booleani

• In questo anello l'elemento neutro per la somma
  coincide con lo 0 dell'algebra booleana, mentre
  l'elemento neutro della moltiplicazione è
  l'elemento 1 dell'algebra booleana. Questo anello
  ha la proprietà che a a a per ogni a in A
  gli anelli con questa proprietà sono chiamati
  anelli booleani.La categoria degli anelli
  booleani e delle algebre booleane sono
  equivalenti.Questa notazione coincide con la
  notazione teorica ideale primo e ideale
  massimale nell'anello booleano A.
• Il duale di un ideale è un filtro.

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Espressioni booleane (1)

• Possono esistere delle espressioni che, pur
  essendo differenti, si rivelano equivalenti.
  Certamente le espressioni booleane assumono una
  particolare importanza per quanto riguarda il
  calcolo proposizionale, in cui vengono usate come
  variabili delle proposizioni legate tramite
  congiunzioni, disgiunzioni, negazioni ed altre
  operazioni più complesse.

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Espressioni booleane (2)

• Un prodotto fondamentale è un prodotto in cui
  ciascuna variabile, o il suo complemento, compare
  una sola volta e rigorosamente fuori da
  parentesi, ad esempio, date le variabili x, y, z
  all'interno di un'algebra di Boole, sono prodotti
  fondamentali
• P(x,y,z) xy
• Mentre non sono prodotti fondamentali
• yyz

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Rappresentazione delle algebre Booleane

• Si può dimostrare che ogni reticolo booleano
  finito è isomorfo al reticolo booleano di tutti i
  sottoinsiemi di un insieme finito. Di
  conseguenza, il numero di elementi di ogni
  reticolo booleano finito ha un sostegno che
  contiene un numero di elementi uguale ad una
  potenza di 2.
• In figura è rappresentato il diagramma di Hasse
  dell'algebra di Boole di ordine otto.
• Marshall Stone ha enunciato il celebre teorema di
  rappresentazione per le algebre booleane
  dimostrando che ogni algebra booleana "A" è
  isomorfa a tutte le algebre booleane
  aperte-chiuse in un certo spazio topologico,
  detto compatto di Hausdorff

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Mappa di Karnaugh

• La mappa di Karnaugh è una metodologia esatta di
  sintesi di reti combinatorie a uno o più livelli.
  Queste sono una rappresentazione di una funzione
  booleana in modo da mettere in evidenza le coppie
  di mintermini o di maxtermini a distanza di
  Hamming unitaria (ovvero che differiscono di un
  solo bit). Siccome derivano da una meno intuitiva
  visione multidimensionale delle funzioni booleane
  in campo cartesiano, le mappe di Karnaugh
  risultano effettivamente applicabili a funzioni
  fino a 5 - 6 variabili.

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Storia e Utilizzo

• Storia
• La mappa di Karnaugh è stata inventata nel 1953
  da Maurice Karnaugh, un ingegnere in
  Telecomunicazioni presso i Bell Laboratories
• Utilizzo
• Una mappa di Karnaugh riguarda una funzione
  booleana di un numero poco elevato di variabili e
  si costruisce a partire dalla tabella della
  verità di tale funzione.
• Il metodo delle mappe di Karnaugh ha il vantaggio
  di essere un procedimento grafico piuttosto
  intuitivo e quindi di permettere semplificazioni
  della funzione booleana spesso più immediate di
  quelle ottenibili solo con modifiche algebriche.

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Esempio

• Consideriamo la funzione
• f(A, B, C, D) E(4, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15)
• Essendoci 16 combinazioni delle 4 varibili
  booleane, anche la mappa di Karnaugh dovrà avere
  16 posizioni. Il modo più conveniente per
  disporle è in una tabella 4x4.

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Limiti delle mappe di Karnaugh

• Per le funzioni con più di 4 variabili diventa
  difficile l'uso delle mappe di Karnaugh infatti
  queste per cercare di essere intuitive dovrebbero
  diventare tridimensionali oppure ricorrere alla
  Variabili Entered Map, o ancora usare una mappa
  supplementare in più per ogni combinazione di
  variabili oltre la quarta. Il numero di tali
  combinazioni è 2n - 4, dove n è il numero di
  variabili della funzione ad esempio 5 variabili
  necessitano di 2 mappe, mentre 6 variabili
  necessitano di 4 mappe.
• Non sempre la funzione ottenuta da una mappa di
  Karnaugh, è la più ottimizzata possibile. Un
  corretto raggruppamento sulla mappa di Karnaugh
  consente però di trovare il circuito ottimo a due
  livelli di logica.
• Un'alternativa alle mappe di Karnaugh, utile nei
  casi già elencati, è il metodo di semplificazione
  Quine McCluskey.

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Indicazione delle Pagine web

• George Boole (vita pensiero)
• Algebra di Boole
• Mappa di Karnaugh

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FINE