Diapositiva 1

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Equazioni Indefinite di equilibrio per le
Travi Esistono delle relazioni differenziali che
devono essere soddisfatte, sezione per sezione,
in una struttura in condizioni di equilibrio.
Come è noto in una generica sezione, le
caratteristiche di sollecitazione sono una azione
assiale, un momento flettente ed un taglio.
q
F
x
HB
O
p
VA
VB
y
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Consideriamo per la trave assegnata un concio di
trave contenuto tra le sezioni alle ascisse x e x
dx, di lunghezza dx. Sia q lintensità di un
carico distribuito ortogonale alla linea dasse e
p lintensità di un carico distribuito applicato
lungo lasse della trave. I carichi q e p siano
continue nel tratto considerato. Nellestrarre il
concio elementare si sono evidentemente
effettuati due tagli alle ascisse x e x dx, per
cui il sistema di forze agenti sul concio è
costituito dai carichi distribuiti q e p e dalle
azioni interne sulle sezioni dove sono stati
effettuati i tagli.
Scriviamo le equazioni di equilibrio alla
traslazione orizzontale e verticale ed alla
rotazione intorno al baricentro della sezione di
ascissa xdx. I carichi q e p possono essere
considerati nel tratto infinitesimo dx costanti.
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Equilibrio alla traslazione orizzontale -N
(NdN) p dx 0
Equilibrio alla traslazione verticale T
(TdT) - q dx 0
Equilibrio alla rotazione -M MdM
Tdx qdx2/2 0.
Semplificando e trascurando nellequilibrio alla
rotazione gli infinitesimi
q M T MdM


TdT

y dx
N
p
NdN
TdT
di ordine superiore, si ricavano le equazioni
indefinite di equilibrio
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Le relazioni precedenti sono le equazioni
indefinite di equilibrio interno per la trave.
Esse sono valide in tutti i punti in cui le
funzioni q e p sono continue e vanno combinate
con opportune condizioni al contorno per
determinare le funzioni incognite N, T e M. Si
nota che nei tratti in cui il carico q è nullo,
lazione tagliante è costante ed il momento
flettente è lineare, mentre quando q è costante
il taglio lungo la linea dasse è lineare ed il
momento flettente è una funzione quadratica,
ovvero una parabola.
Osservazione 1 Nelle sezioni in cui lazione di
taglio si annulla, il momento flettente risulta
massimo (derivata prima nulla, derivata seconda
negativa) o minimo (derivata prima nulla,
derivata seconda positiva).
Osservazione 2 Nelle sezioni in cui lazione
tagliante è diversa da zero (T?0), esiste sempre
il momento flettente (può annullarsi in qualche
sezione ma non in un tratto finito).
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Un carico trasversale o la componente ortogonale
allasse della trave di un carico concentrato P
produce, oltre ad una discontinuità nel diagramma
del taglio, un punto angoloso nel diagramma del
momento flettente.
O
Azione tagliante
P
A
Momento flettente
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Esempio Coppia concentrata su una trave
appoggiata.
M
M/L
M/L
Azione tagliante
A
M/L
M
Momento flettente
Una coppia concentrata M causa una discontinuità
nel diagramma del momento flettente ma non
dellazione tagliante.