The Physics of Star Trek

1
A-VII Les Conducteurs
A-VII.1 Introduction

• Les matériaux aux propriétés intéressantes pour
  les applications de lélectricité électronique
  sont de trois classes
• Les conducteurs
• Les semiconducteurs
• Les isolants
• Dans le cadre de ce cours seuls les conducteurs,
  sous-entendu de lélectricité, nous intéressent

2
La force électrique dans la matière
Force dans Modèle Origine de lattraction Exemple
Atome Charges opposées H
Cristal ionique Charges opposées NaCl
Lien covalent Noyaux et paire de- partagée H - H
Métal Cations (ions ) métalliques et électrons délocalisés Au
3
Pour spécifier la nature conductrice dun
matériau et les propriétés électriques quil va
manifester, cherchons à savoir où se placent les
électrons dans la matière solide (condensée au
sens large).
Dans la matière, les électrons nous sont fournis
par les atomes. Si ces atomes restaient isolés
les uns des autres les électrons resteraient bien
sagement sur leur atome initial. Le fait de les
réunir (les atomes) pour constituer un matériau
bouscule larrangement initial pour donner

• Des électrons restant sur leur atome initial ce
  sont ceux des couches électroniques profondes,
  peu perturbées par la promiscuité des atomes
  voisins. Niveaux de Cœur
• Des électrons qui passent dun atome donné à un
  atome voisin, partagés pour constituer les
  liaisons chimiques. Bande de valence
• Des électrons  libérés  de leur atome initial
  et qui peuvent se déplacer très facilement dans
  la matière car peu liés aux atomes fixes du
  matériau. Bande de conduction

4

• Dune classe de matériaux à lautre le schéma de
  répartition des électrons reste globalement le
  même. Ce qui change essentiellement cest lécart
  énergétique existant entre les électrons les plus
  hauts de la bande de valence et ceux les plus bas
  de la bande de conduction. Cet écart sappelle la
  bande interdite, le gap en anglais.
• Si le gap est grand (gt5 eV  électron-volt ) peu
  délectrons peuvent passer dans la bande de
  conduction et le matériau est isolant.
• Si le gap est nul, beaucoup délectrons pourront
  se trouver dans la bande de conduction et le
  matériau sera conducteur à toute température.
• Si le gap est eV, il sera alors possible de
  provoquer larrivée délectrons dans la bande de
  conduction et rendre le matériau conducteur,
  alors quil ne létait pas intrinsèquement. Ces
  matériaux dits semiconducteurs, véritables
  machines à électrons, jouent un rôle essentiel
  dans la technologie daujourdhui Matériel
  Informatique, Matériel des Télécommunication,
  Électronique en général

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Voici un schéma qui résume les trois situations
Isolant
Conducteur
Semiconducteur
Bande de Valence
Bande de Conduction
Gap
Pour que la matériau soit conducteur il faut que
les atomes constitutifs aient des électrons
extérieurs peu liés à lensemble de latome.
Lexpression  électron libre  est entrée dans
le langage courant, comme dautres expressions
dautant plus usitées que mal comprises.
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Sous une forme idéale un matériau conducteur va
se présenter comme suit
Retenons que dans un tel matériau de très
nombreux électrons sont disponibles pour la
conduction. Le conducteur sera dit parfait si la
moindre sollicitation électrique, présence dun
champ électrique même très faible, est en mesure
de déplacer les charges libres. Tous nos
conducteurs seront de dimensions finies. Il
résulte de ce qui précède la première propriété
pour un conducteur isolé de toute source de
charges électriques et ayant trouvé son équilibre
électrique Il ne peut exister de charges à
lintérieur de la matière dun conducteur, qui ne
peut être chargé quen surface. En effet si de
telle charges électriques existent le champ
électrique créé par toutes les charges sur lune
dentre elle va la mettre en mouvement,
occurrence contraire à lhypothèse déquilibre
préalablement atteint.
A-VII.2 Propriétés dun conducteur à léquilibre
7
Si la densité de charges libres est nulle dans le
matériau lapplication du théorème de Gauss sur
une surface quelconque, fermée, interne à la
matière, conduit à un champ électrique nul.
Ce qui implique que Le champ électrique à
lintérieur dun conducteur à léquilibre est
nul. Que dire du potentiel dun conducteur à
léquilibre? Comme le champ électrique interne
est nul, la différence de potentiel entre deux
points A et B du conducteur, circulation interne
du champ électrique entre ces deux points, est
nulle Le conducteur à léquilibre est
équipotentiel sur tout son volume de matière.
Comme le potentiel est une fonction continue de
lespace, ce potentiel et aussi celui de sa
surface. Un conducteur à léquilibre est un
domaine équipotentiel.
8
Il résulte de léquipotentialité du conducteur
que les lignes de champ, si elles existent, sont
extérieures et perpendiculaires aux surfaces du
conducteur (il peut exister des surfaces
internes). La densité locale de charges en un
point M de la surface étant s(M), cherchons à
déterminer le champ électrique en surface. On
construit, traversant la surface du conducteur,
une petite surface de Gauss constituée dun
petit cylindre extérieur, de hauteur
infinitésimale, de surface de base et de
surface latérale et
fermée par une surface interne
quelconque.
9
E0, no field!
Lignes de champ du système  cylindre-disque  Il
faut remarquer que les lignes de champ sont bien
perpendiculaires au conducteur et que le champ à
lintérieur du conducteur cylindrique est nul
10

• La surface fermée de Gauss est la somme
• Le flux du champ électrique à travers ces trois
  surfaces donne
• Pour le champ dans le conducteur étant
  nul, le flux également. Cest la raison pour
  laquelle nous navons pas précisé la forme de
• Pour le champ à la surface du conducteur
  lui étant perpendiculaire, il est tangent à
  , et son flux est nul.
• Pour le champ lui étant perpendiculaire
  avec la normale bien orientée le flux est égal à
• La charge intérieure de , celle découpée
  sur la surface du conducteur, est donnée par
  
• Il en résulte lexpression du champ à la surface
  du conducteur à léquilibre

11
Pouvoir des pointes Depuis longtemps utilisé dans
les paratonnerres le pouvoir des pointes peut
être abordé comme suit. Le long du tube de flux
entre S et S le flux se conserve Par variation
de cette quantité Soit aussi en valeur
absolue Pour une surface assimilable localement
à une sphère de rayon de courbure R Soit
localement Pour un accroissement dR donné, la
variation relative de champ est inversement
proportionnelle au rayon de courbure.
12
Pour un conducteur chargé à léquilibre une
charge quelconque de la surface va être
soumise à laction de toutes les autres charges
. Si le conducteur est isolé de toute
influence extérieure les charges en surface ne
peuvent être que du même signe, soit toutes
positives soit toutes négatives. A léquilibre
une charge (absence dun électron sur un site
atomique) ne peut côtoyer une charge
(électron), les deux devant sannihiler. Cherchons
à estimer une telle force. Considérons au point
M un élément de la surface orientée du
conducteur à léquilibre. Le champ total créé par
le conducteur en ce point est . Il
peut être, par la pensée, considéré comme la somme

• Du champ créé par la surface voisine
  , champ créé en son centre par un petit disque
• Du champ créé par le reste du conducteur
  privé de ce petit disque
• Nous avons vu dans les calculs des champs que le
  champ au centre dun disque était en intensité
  égal à ceci indépendamment de son
  rayon.

Donc et le champ créé par
le reste du conducteur sur lune de ses parties
est en intensité
13
Ce champ agit sur la charge locale
ce qui donne la force Cette force ramenée par
unité de surface donne une pression, pression
dite électrostatique dont lintensité est On
voit sur cette expression que laction de cette
pression est indépendante du signe des charges et
est toujours dirigée vers lextérieur, résultat
de laction répulsive entre charges de même signe
(expérience de la bulle se savon).
A-VII.3 Relation Charge-Potentiel dun conducteur
à léquilibre
La charge totale du conducteur à léquilibre,
cest le seul présent dans lunivers, est donnée
par Le potentiel en un point M du conducteur est
donné par Multiplier la densité de charges en
surface s par une constante k revient à faire
dans ces expressions ce qui porte
à faire
14
Il existe donc une relation de proportionnalité
entre laugmentation de la charge totale dun
conducteur seul et celle de son potentiel. Si on
accepte la convention quun conducteur non chargé
, Q 0, est au potentiel V 0, la relation
cherchée entre charge et potentiel peut alors
sécrire Le coefficient de proportionnalité C
est la capacité du conducteur seul, à ne pas
confondre avec la capacité dun condensateur,
exprimée usuellement avec la même lettre C, un
condensateur étant formé de plusieurs (souvent
deux) conducteurs en influence. Lunité de la
capacité C est le Farad. La capacité dun
conducteur est une grandeur qui dépend
essentiellement de la géométrie et de la matière
qui entoure le conducteur, ici le vide
supposé. Exemple Pour un conducteur sphérique de
rayon R les exemples traités dans les paragraphes
précédents permettent de retenir lexpression La
Terre en tant que conducteur sphérique aurait une
capacité de 700µF avec un rayon de 6370 km!
15
A-VII.4 Énergie dun conducteur isolé
Comme précédemment le conducteur à léquilibre
est seul dans lunivers. Il peut être traité
comme un ensemble de charges ponctuelles
en interaction. Lénergie
potentielle dinteraction de ce système de
charges est donnée par lexpression générale déjà
vue Mais ici le conducteur étant un domaine
équipotentiel, lénergie potentielle
dinteraction de toutes les charges du conducteur
prend la forme Lutilisation de la relation
permet de tirer deux autres
expressions utiles de cette énergie
Conducteur à léquilibre charge Q , potentiel V
16
Localisation de lénergie électrique Voyons sur
un cas particulier où se trouve localisée dans
lespace cette énergie dinteraction entre les
charges dun conducteur. Prenons à cet effet le
cas dune sphère conductrice de rayon R, chargée
par Q. Nous pouvons en calculer lénergie
avec Faisons lhypothèse que lénergie
électrique se distribue dans lespace où le champ
électrique nest pas nul avec une densité
volumique dénergie
Et retrouvons lénergie calculée ci-dessus en
faisant la somme de toute lénergie
distribuée. Soit un couche sphérique centrée sur
la sphère chargée, de rayon r et dépaisseur dr.
Cette couche à un volume Le champ électrique créé
par la sphère chargée est à la distance r gt R,
calcul vu dans une application précédente La
densité dénergie électrique prend la forme
17
Lélément sphérique contient la quantité
dénergie Le calcul de lénergie totale conduit
à un calcul dintégrale élémentaire, sur le
domaine où le champ nest pas nul Nous
retrouvons bien lexpression cherchée. Ce qui
précède nest pas une démonstration mais
uniquement une vérification par le calcul de la
cohérence entre la densité dénergie par unité de
volume postulée et sa totalité sur tout lespace
vide de conducteur. Le caractère positif de la
vérification nest pas un hasard calculatoire
mais répond bien à lexistence dune entité
physique identifiable, la densité dénergie par
unité de volume qui, bien que non palpable nen
demeure pas moins réelle. La localisation de
lénergie portée par le champ électrique
justifierait à elle seule létude du champ
électrique comme grandeur physique de première
importance.
18
A-VII.4 Système de deux conducteurs à léquilibre
Nous commençons létude des systèmes de
conducteurs à léquilibre en nous limitant à deux
conducteurs afin de poser, tant les problèmes
nouveaux quune telle situation pose, que les
relations entre grandeurs physiques de base qui
pourront ensuite facilement être généralisées au
cas de N conducteurs.
La situation des lignes de champ dessinée est
totalement arbitraire. Cest une situation
dinfluence partielle où un certain nombre de
lignes de champ (façon de parler car elle ne sont
pas dénombrables) vont dun conducteur à lautre.
Une autre situation dinfluence totale sera vue
plus loin.
19
Théorème des éléments correspondants Soit un tube
de flux qui intercepte le conducteur 1 sur la
surface et le conducteur 2 sur la surface
avec une surface latérale . On construit
une surface de Gauss avec la surface latérale
une surface interne au conducteur 1 de forme
quelconque et qui intercepte et une surface
construite de la même manière dans le
conducteur 2. La charge totale intérieure au tube
de flux est celle portée par les deux surfaces
et soit au total
Le flux du champ sur les surfaces et
est nul puisque le champ électrique est nul
dans les conducteurs à léquilibre. Sur la
surface latérale le champ est tangent, donc
le flux y est également nul. Le théorème de Gauss
conduit à la relation suivante pour la charge
intérieure au tube de flux Soit lénoncé du
théorème des éléments correspondants Les
charges découpées par un tube de flux qui va dun
conducteur à léquilibre à un autre sont égales
en nombres et opposées en signe.
20
Densité dénergie électrique volumique Soit comme
précédemment un tube de flux, ici infinitésimal
en section, joignant deux conducteurs à
léquilibre. La circulation du champ électrique
sur la ligne de champ entre A du conducteur 1
et B du conducteur 2 donne Sur
la charge électrique est Sur la
charge électrique est
Sur ces conducteurs nous avons les champs en
surface reliés aux densités surfaciques de
charges par les relations et
. Le flux du champ électrique
étant constant le long du tube de flux
Lénergie dinteraction des deux charges
et aux potentiels et
est Le théorème des éléments correspondants donne
Soit pour lénergie En utilisant la
circulation du champ
21
Densité dénergie électrique volumique (suite) La
charge étant une constante on lintroduit
dans lintégrale et il vient compte tenu des
relations précédentes La quantité
représente lélément de volume du tube de
flux engendré par se déplaçant de Il
est alors possible décrire Lintégrale le long
de la ligne de champ de cette quantité revient à
intégrer sur tout le tube de flux entre les deux
conducteurs. La quantité
représente bien une densité dénergie par unité
de volume. Un tel calcul sur tous les tubes de
flux donnera lénergie totale
22

• Relations entre charges et potentiels de deux
  conducteurs en influence à léquilibre
• Pour un seul conducteur nous avions trouvé la
  relation .
• Ici, chaque conducteur aura sa charge et son
  potentiel et qui
  vont être inter-dépendants.
• Soient et les charges discrètes
  qui se trouvent respectivement sur les surfaces
  des conducteurs 1 et 2.
• Le potentiel du conducteur 1 est la somme
  en M(1) des deux contributions
• Les charges du conducteur 1
• Les charges du conducteur 2
• Pour des distributions surfaciques de charges
  et ces expressions
• Deviennent et
• Il vient des expressions semblables pour le
  potentiel total du conducteur 2

23

• Les charges totales de chaque conducteur peuvent
  sécrire et
• Multiplier les densités de charges par un
  coefficient k soit et
• conduit aux transformations
• Si les potentiels sont pris nuls quand les
  conducteurs ne sont pas chargés, on en déduit des
  relations de correspondances linéaires entre les
  charges et les potentiels, relations écrites de
  la manière suivante
• et
• Soit en notation matricielle
• Les coefficients ont la dimension de
  capacité (Farad) et sont de deux types
• Les qui sont positifs (à démontrer en
  exercice) et qui relient la charge dun
  conducteur à son potentiel lorsque le potentiel
  de lautre conducteur est nul. Par exemple
• Les (i ? j), avec qui
  sont négatifs (à démontrer en exercice) et qui
  relient la charge dun conducteur, dont le
  potentiel est nul, au potentiel de lautre
  conducteur. Par exemple
• Dautre par existe la relation (à démontrer en
  exercice)
• Cette relation sera très utile dans létude des
  condensateurs. Linégalité se transforme en
  égalité lorsque le système est en influence
  totale.

24

• Pour le système de deux conducteurs il nest pas
  inutile de décliner les relations entre ces
  coefficients
• Les termes positifs
• Les termes négatifs égaux
• La relation dinfluence

• Remarque importante Les relations
  et leur sœur ne sont
  pas des relations intrinsèques aux conducteurs 1
  et 2 respectivement bien quelles ressemblent à
  sy méprendre à la relation trouvée pour un seul
  conducteur . En fait les
  coefficients dépendent de la géométrie
  de chaque conducteur comme de leurs positions
  relatives lun par rapport à lautre.

25
Le système de deux conducteurs en influence est
directement extensible à celui de N conducteurs,
les lois de correspondance charges-potentiel
étant linéaires. Nous ne traiterons pas du cas
général qui pourra être vu en exercice et
appliqué à plus de deux conducteurs (exemple de
trois petites sphères aux sommets dun
triangle). Le cas de deux conducteurs en
équilibre et en influence permet de traiter des
condensateurs classiques et nous suffira pour
linstant.
Énergie potentielle dinteraction de deux
conducteurs en influence à léquilibre Nous avons
à notre disposition lénergie dinteraction dun
système de N charges ponctuelles Ici les N
charges sont distribuées sur les surfaces des
deux conducteurs sur le conducteurs 1 et
sur le conducteur 2, avec
Il est alors possible de décomposer
lénergie totale en deux termes Comme chaque
conducteur est un domaine équipotentiel
et
soit finalement
26

• Énergie potentielle dinteraction de deux
  conducteurs en influence à léquilibre (suite)
• Nous pouvons donner, en vue des applications,
  deux autres formes à lénergie ci-dessus
  calculée, soit en fonction des seuls potentiels,
  soit en fonction des seules charges.
• Expression avec les seuls potentiels.
• Utilisons les expressions
  vues plus haut sous forme développée qui
  intégrées dans celle
• de lénergie donne
• Expression avec les seules charges
• Inversons les expressions
  afin de tirer les potentiels en fonction des
  charges.
• Nous écrirons les relations obtenues sous la
  forme
• Lénergie prend la forme
• Ces deux expressions de lénergie sont très
  utiles pour traiter des interactions entre
  conducteurs chargés
• Conducteurs non reliés à des sources de potentiel
  les charges sont constantes dans
• Conducteurs reliés à des sources de potentiel
  les potentiels sont constants dans

Attention les ne sont pas égaux à
27
A-VII.5 Interaction entre deux conducteurs à
léquilibre

• Nous avons vu que lénergie dinteraction entre
  deux conducteurs dépendait des coefficients
  dinfluence fonctions de la géométrie
  de chaque conducteur et de leurs positions
  mutuelles.
• Le déplacement des conducteurs lun par rapport à
  lautre va modifier cette énergie puisque les
  coefficients seront modifiés.
• Nous distinguerons deux cas
• Les conducteurs ne sont pas connectés à des
  sources de charges leurs charges respectives
  restent constantes pendant la transformation
  essentiellement de position
• Les conducteurs sont connectés à des sources de
  charges à potentiels constants leurs charges
  respectives peuvent varier, mais leurs potentiels
  restent constants pendant les transformations de
  position.
• Dans le premier cas, en labsence de source de
  charges, seul lobservateur qui réalise les
  déplacements travaille et son travail
  se transforme en variation dénergie
  potentielle dinteraction entre les conducteurs
• Dans le deuxième cas, la présence de sources de
  charges occasionne un certain travail des sources
  quil va falloir estimer et qui va
  intervenir dans le bilan énergétique du système
  avec le travail de lobservateur qui
  réalise les déplacements et la variation
  dénergie potentielle dinteraction du système
  de conducteurs en équilibre.

28
Ce qui intervient étant le déplacement relatif
des deux conducteurs, considérons 1 fixe et 2 en
déplacement quasi-stationnaire sous leffet
conjugué des forces électriques et mécanique
de lobservateur
Les générateurs G1 et G2 prennent des charges au
potentiel nul, représenté par et les
amènent aux potentiels et . Ils
réalisent ainsi les travaux pour G1 et pour
G2 Ces expressions viennent de lénergie
potentielle W qV dune charge q au potentiel V.
Prise au potentiel zéro, la charge
acquiert lénergie qui lui est
donnée par G1 . Il en est de même pour
29
Lénergie potentielle totale du système des deux
conducteurs est Sa variation, avec les
potentiels constants donne Le total des travaux
des sources est La variation totale de lénergie
potentielle du système des deux conducteurs est
la somme Il est alors possible de tirer
lexpression du travail de lobservateur Résumon
s les résultats relatifs à ce cas
30
Traitement dun cas particulier deux plaques
conductrices en vis à vis Soit deux plaques
planes, conductrices, identiques, rectangulaires
(la forme ninflue pas sur la suite), parallèles
en vis à vis. La plaque 1 maintenue fixe est
chargée par , la plaque 2 est
chargée par . . Elles ont
chacune une surface S et sont distantes de x, qui
reste petit par rapport aux dimensions des
plaques.
Lénergie dinteraction des deux plaques
est Admettons la relation entre Q et V que nous
établirons dans le paragraphe des condensateurs Q
CV avec pour le condensateur plan ici présent
. Lénergie prend la forme
ou
31

• Pour que la plaque 2, attirée par la plaque 1
  avec une force , reste immobile, il faut lui
  appliquer une force telle que
  
• Cherchons à calculer la force par deux
  méthodes différentes.
• Lors dun déplacement de la plaque 2 à charge
  constante, pas de connexion à des sources
• Lors dun déplacement de la plaque 2, cette
  dernière reliée à un générateur et la plaque 1 à
  la masse .
• Déplacement à charges constantes.

Il est commode de calculer à partir du
travail de lobservateur pour un
déplacement de la plaque 2. A charges
constantes nous sommes dans le cas où
. Un calcul direct donne Pour
lénergie augmente, et comme
, le potentiel augmente puisque Q Cte. On
peut le déduire également de Q CV car avec
si x augmente C diminue et V doit
augmenter.
32
Déplacement à potentiels constants Dans cette
situation un calcul direct de la variation
dénergie dinteraction à potentiel constant
donne Soit la force Cette expression prend la
même forme que dans le calcul précédent en
utilisant Q CV et Au passage notons que le
travail fourni par la source est
Pour lénergie diminue, et comme
, la charge diminue puisque V
Cte. On peut le déduire également de Q CV car
avec si x augmente C diminue et Q
doit diminuer, le générateur retire des charges
négatives à la plaque 2 et des charges positives
partent à la masse.

33

• Calcul des actions entre conducteurs chargés en
  interaction
• En général elles sont de deux types
• Les forces pour des déplacements en translation
• Les moments pour les rotations autour dun axe
• Les deux cas sont mis en œuvre dans les
  électromètres techniques.
• A charge constante pour un déplacement
  infinitésimal ou
• - la composante suivant x de la force électrique
  pourra se calculer avec
• - le moment des forces autour de laxe
  pourra se calculer avec
• A potentiel constant pour un déplacement
  infinitésimal ou
• - la composante suivant x de la force électrique
  pourra se calculer avec
• - le moment des forces autour de laxe
  pourra se calculer avec

Dans tous les cas il faudra être très vigilant
sur les grandeurs conservées et celles variables
au cours des transformations impliquant des
conducteurs en interaction reliés ou pas à des
générateurs électriques.
34
Un exemple dinfluence Sphère conductrice en
présence dune charge de très petite dimension
y
I
M
?
x
-q
O
M
x OM
q gt 0
x OM
Soit une sphère conductrice de rayon R, de centre
O, placée au potentiel V 0. Elle est soumise à
linfluence dune charge de très petite dimension
positive, placée en M, à la distance x OM (on
se place dans le cas où x gt R, pour fixer la
figure). On cherche à remplacer le couple
 sphère , q , par le couple de charges de très
petites dimensions  q , -q , q étant placée à
la distance x OM sur la droite OM. Il faut
trouver les valeurs de q et de x telles que le
couple  q , -q , crée un potentiel nul en tout
point de la sphère, soit ici indépendamment de
langle ?.
Potentiel de la sphère V 0
35
La charge q crée en I sur la sphère le champ
électrique avec La charge
q crée en I sur la sphère le champ électrique
avec Le champ électrique
total sécrit
avec Le potentiel électrique
total au point I de la sphère sécrit

soit Lexpression du champ électrique
donne les deux
relations La deuxième équation donne
qui reportée dans la
première donne La combinaison de ces deux
relations donne soit encore Après
simplification on obtient Cette relation conduit
aux deux quantités cherchées et

36
Calcul du champ électrique à la surface de la
sphère. On porte directement dans léquation
les deux relations
précédentes qui donnent q et x. Il vient
. La variable r nest pas la plus adéquate
pour décrire un point sur la sphère. Lexpression
en fonction de ? donne Densité de charges à la
surface de la sphère Nous connaissons la relation
entre la densité de charges en surface dun
conducteur et le champ en surface
. Il vient, la densité devant être négative, la
charge ponctuelle dinfluence étant
positive Charge totale portée par la sphère On
choisit une surface élémentaire dS découpée sur
la sphère entre les deux cônes daxe OM et
dangles ? et ? d ? (nous avons déjà rencontré
une telle surface élémentaire). Elle sécrit La
charge totale de la sphère est donnée par La
primitive ne pose pas problème et donne Force
existant entre la charge ponctuelle et la
sphère La force qui sexerce sur la sphère vient
de la distribution non uniforme de la charge en
surface.
37
Cette distribution non uniforme est la
conséquence de linfluence de la charge
ponctuelle sur la sphère. Il est alors possible
de calculer la force cherchée en utilisant les
forces de pression électrostatique sur la
surface. La pression électrostatique est donnée
par Par raison de symétrie autour de laxe OM
seule la composante de la force sur cet axe nest
pas nulle. Il vient alors directement Avec les
notations précédentes il vient Soit aussi
La primitive ne pose pas de problème
essentiel. Il vient finalement
le signe (-) marque
lattraction entre sphère et q. Il est possible
dobtenir ce résultat en calculant directement la
force entre les deux charges ponctuelle q et
q distantes de x x
qui avec et
donne le bon résultat.
38
Calcul du potentiel créé en M par la sphère Il
est possible de procéder à un calcul direct à
partir de Soit avec les mêmes notations que
précédemment
Le calcul de la primitive ne doit pas poser de
problème et donne au final Il est possible de
retrouver ce résultat à partir du potentiel créé
en M par la charge q avec et
39
Plan conducteur en présence dune charge de très
petite dimension
I
?
M
M
x
O
x MO
x OM
-q
q gt 0
Le plan est placé au potentiel V 0. Il est
soumis à linfluence dune charge de très petite
dimension positive, placée en M, à la distance x
OM, OM perpendiculaire au plan. On cherche à
remplacer le couple  plan , q , par le couple
de charges de très petites dimensions  q ,
-q , q étant placée à la distance x OM
sur la droite OM. Il faut trouver les valeurs de
q et de x telles que le couple  q , -q ,
crée un potentiel nul en tout point I du plan,
soit ici indépendamment de langle ?.
40
Pour que le champ total en I soit perpendiculaire
au plan il faut par raison de symétrie que q q
et x x La charge q crée en I sur le plan le
champ électrique Le champ électrique total
sécrit avec
soit La densité surfacique de
charges électriques sur le plan en I est donnée
par soit La charge électrique
totale portée par le plan est donnée par La
symétrie autour de laxe OM nous incite à choisir
un dS de la forme
avec Ainsi pour la charge du plan Ce résultat
montre que toute les lignes de champ qui partent
de q aboutissent sur le plan, linfluence est
totale bien que le plan nentoure pas la charge
q. Ce sont ses dimensions infinies qui lui
permettent dintercepter toutes les lignes de
champ. Calcul de la force exercée sur le
plan. Cest la présence de la charge q en M qui
est cause de la distribution de charges à la
surface du plan, donc de lexistence dune
pression électrostatique donnée par
41
La force qui sexerce sur le plan peut alors
sécrire comme
soit avec les notations utilisées
Il est possible de retrouver se résultat en
calculant directement la force entre les deux
charges ponctuelles avec q q
42
A-VII Les Condensateurs
Les condensateurs sont des associations de
conducteurs, en général deux, qui présentent lun
vis à vis de lautre une zone de surface en
influence totale. Nous avons vu dans lexemple
traité plus haut larchétype du condensateur
plan, pour lequel linfluence des deux surface S
nest pas totale, mais conçue comme telle si la
distance entre les plaques x est très faible par
rapport à leur surface, condition en général
satisfaite si une forte capacité est désirée
puisque Un cas dinfluence totale est obtenu
lorsquun des conducteurs creux 2 entoure
complètement lautre 1.
La charge portée par le conducteur 1 se
retrouve avec le signe opposé
sur la surface intérieure du conducteur 2 (en
vertu du théorème des éléments correspondants). La
surface extérieure du conducteur 2 peut porter
une charge (non représentée sur le
dessin). Le conducteur 1 étant en influence
totale vis à vis du conducteur 2 nous avons la
relation. Nous avons aussi Par contre, comme le
conducteur 2 nest pas en influence totale vis à
vis du conducteur 1 nous navons pas
mais toujours
43

• Les relations charges-potentiels
• donnent ici
  et
• En simplifiant les notations, soit
  la charge accumulée sur le conducteur en
  influence totale
• (fonction condensateur) et
  la différence de potentiel entre les deux
  conducteurs, donc aux bornes du condensateur.
• Nous obtenons la formule classique des
  condensateurs
• Nous avons déjà signalé le danger quil peut y
  avoir à confondre cette expression avec son
  identique pour un conducteur isolé.
• Bien que dun usage limité, il est possible de
  tirer de ces équations la charge extérieure du
  conducteur 2.
• Soit aussi
• Énergie emmagasinée dans le condensateur. Elle se
  compose de deux parties
• Celle résultant de linfluence totale entre les
  deux conducteurs. Elle se calcule directement
  avec
• Cest elle qui nous intéresse dans lutilisation
  des condensateurs.

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• Celle résultant de la charge extérieure au
  potentiel

Exercice à faire Cas de trois sphères
concentriques Conducteur 1 sphère de rayon R1
chargée avec Q1 gt 0. Conducteur 2 sphère
creuse de rayon intérieur R2 , de rayon
extérieur R3 chargée avec Q2 gt 0. 1- Trouver et
tracer le champ E(r) pour tout r 2- Trouver et
tracer le potentiel V(r) pour tout r avec V(?)
0 3- Donner lexpression Q CV du condensateur
formé 4- Exprimer la forme générale de lénergie
en faisant apparaître lénergie du
condensateur. 5- Vérifier la localisation de
lénergie dans les espaces vides