Fluxo M

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Fluxo Máximo e EmpalhementoAlgoritmos 2 IF775

• Diêgo João Costa Santiago
• Hallan Cosmo dos Santos

• djcs, hcs_at_cin.ufpe.br

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O Problema Fluxo Máximo

• O que é o problema de encontrar fluxo máximo?
• Uma empresa possui uma fábrica localizada na
  cidade X onde são fabricados produtos que
  necessitam ser transportados para o centro de
  distribuição na cidade Y.
• Dados as estradas direcionadas que ligam os pares
  de cidades do país, bem como o número máximo de
  caminhões que pode se conduzir ao longo de cada
  estrada. Qual é o número máximo de caminhões que
  a empresa pode enviar para o centro de
  distribuição?

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O Problema Fluxo Máximo

• De acordo com a Teoria dos Grafos
• Dado uma rede um grafo direcionado, em que cada
  aresta tem uma capacidade c associada a ele, um
  vértice de partida (source) e um vértice de
  chegada (sink). Devemos associar um valor
  não-negativo f , com f lt c para cada aresta,
  onde para cada vértice, exceto o source e o sink,
  a soma dos valores associados às arestas que
  entram deve ser igual a soma dos valores
  associados às arestas que o deixam. Nós
  chamaremos f de o fluxo ao longo da aresta.
  Devemos maximizar a soma dos valores associados
  às arestas que deixam o source, o fluxo total da
  rede.

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O Problema Fluxo Máximo

• A Imagem abaixo mostra uma solução ótima para uma
  instância deste problema. Cada aresta apresentada
  com f/c .

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Como resolver o problema

• Precisamos de duas definições básicas para
  entender como resolver fluxo em redes
• A rede residual
• Tem o mesmo número vértices da rede original e
  uma ou duas arestas para cada aresta na rede
  original. Se o fluxo ao longo da aresta a-b é
  menor do que a capacidade, existe uma aresta a-b
  com uma capacidade igual à diferença entre a
  capacidade e o fluxo (capacidade residual), e se
  o fluxo é positivo há uma aresta b-a com a
  capacidade igual ao fluxo de a-b.
• O caminho de aumento

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Como resolver o problema
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Como resolver o problema
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Como resolver o problema
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Como resolver o problema
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Problema Resolvido!

• O exemplo sugeriu o seguinte algoritmo
• Inicie com nenhum fluxo em todas as arestas e
  aumente o fluxo total na rede enquanto há um
  aumento caminho desde o source até o sink - um
  caminho de aumento na rede residual.
• O algoritmo (conhecido como o método
  Ford-Fulkerson) sempre termina devido às
  capacidades e fluxos inteiros não-negativos, a
  cada passo obtemos um novo fluxo que está mais
  próximo do máximo.

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Problema Resolvido!

• A função max_flow será similar a esta,
  independente do método que utilizamos para
  encontrar caminhos de aumento

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Algoritmos para Caminho de Aumento

• O algoritmo Ford-Fulkerson descrito obtém o
  resultado correto, não importa como resolvermos o
  sub-problema de encontrar um caminho de aumento.
• No entanto, a cada novo caminho podemos aumentar
  o fluxo total muito pouco, daí o número de
  iterações do algoritmo pode ser muito grande se
  nos descuidarmos ao escolher qual caminho de
  aumento o algoritmo deve usar.

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Algoritmos para Caminho de Aumento

• Agora é necessário uma implementação para a
  função find_path.
• A primeira abordagem que me vem à mente é a de
  usar uma busca em profundidade, pois ela é
  provavelmente a mais fácil de implementar.
  Infelizmente, seu desempenho é muito ruim em
  algumas redes, e normalmente é menos preferida em
  relação à que vamos mostrar a seguir.

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Algoritmos para Caminho de Aumento

• A próxima idéia na simplicidade é uma usar uma
  busca em largura.
• Sabemos que esta pesquisa normalmente retorna o
  caminho mais curto em um grafo não-ponderado.
  Essa era a base da idéia de Edmonds-Karp.
• No psedo-código a seguir, nós iremos basicamente
• Encontrar o menor caminho do source ao sink e
  determinar a capacidade da aresta de menor
  capacidade desse caminho. Então, para cada
  aresta, ao longo do caminho, reduzimos a
  capacidade dela e aumentarmos a capacidade da
  aresta oposta.

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Algoritmos para Caminho de Aumento
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Algoritmos para Caminho de Aumento
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Algoritmos para Caminho de Aumento

• Como podemos ver, isto é muito fácil de
  implementar.
• Devido ao O(E) da execução da Busca em Largura
  (implementada com listas de adjacência), o pior
  caso do algoritmo é O (VE²), mas, geralmente, o
  algoritmo roda num tempo muito melhor.

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Problemas Relacionados

• Como reconhecer problemas de fluxo máximo?
• Muitas vezes eles são difíceis de detectar.
  Geralmente, precisamos prestar muita atenção nas
  restrições quando achamos que temos uma solução
  baseada em fluxo máximo - que deve, pelo menos,
  sugerir uma solução O(N³). Se o número de
  vértices é grande, um outro algoritmo (como a
  programação dinâmica ou o guloso), pode ser mais
  adequado.

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Problemas Relacionados

• Problema 1
• A descrição do problema poder sugerir múltiplos
  sources e/ou múltiplos sinks.

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Problemas Relacionados

• Problema 1
• A descrição do problema poder sugerir múltiplos
  sources e/ou múltiplos sinks.

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Problemas Relacionados

• Problema 2
• E se também fosse dado o número máximo de
  caminhões que podem passar através de cada uma
  das cidades do país (exceto as cidades onde a
  fábrica e o centro de distribuição estão
  localizados)? Em outras palavras, se tivermos de
  lidar com a capacidade dos vértices também.

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Problemas Relacionados

• Problema 2
• E se também fosse dado o número máximo de
  caminhões que podem passar através de cada uma
  das cidades do país (exceto as cidades onde a
  fábrica e o centro de distribuição estão
  localizados)? Em outras palavras, se tivermos de
  lidar com a capacidade dos vértices também.

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Problemas Relacionados

• Problema 3
• E se, além das capacidades nas cidades, as
  estradas se tornarem não-direcionadas?

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Problemas Relacionados

• Problema 3
• E se, além das capacidades nas cidades, as
  estradas se tornarem não-direcionadas?

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Emparelhamento Máximo em Grafos Bipartidos

• Esta é uma das mais importantes aplicações de
  fluxo máximo, e muitos problemas podem ser
  reduzidos a ela. O emparelhamento em um grafo
  bipartido é um conjunto de arestas tal que nenhum
  vértice é tocado por mais de uma aresta.
  Obviamente, um emparelhamento com máxima
  cardinalidade é um emparelhamento máximo. Para um
  grafo geral, este é um problema bem mais difícil
  de resolver.

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Emparelhamento Máximo em Grafos Bipartidos

• A redução para fluxo máximo é bem simples, vamos
  a um exemplo
• Seja o grafo bipartido o primeiro conjunto de
  vértices de empregados, enquanto o segundo contém
  um conjunto de trabalhos a ser feito. Existe uma
  aresta de um empregado para cada um dos trabalhos
  que podem ser atribuídos a ele.

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Emparelhamento Máximo em Grafos Bipartidos

• Ao ver o grafo, percebemos que este problema é
  semelhante a encontrar o fluxo máximo num grafo
  de múltiplos sources e multiplos sinks, que já
  resolvemos.

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Algoritmo de Hopcroft-Karp

• Agora descreveremos um algoritmo mais rápido. A
  sua complexidade é .
• Dado um grafo bipartido não-direcionado G(X,Y),
  seja M um emparelhamento em G. Dizemos que um
  caminho simples P em G é um caminho de aumento
  com respeito a M se ele começa em um vértice não
  emparelhado em X, termina em um vértice não
  emparelhado em Y e suas arestas pertencem
  alternadamente a M e a M.

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Algoritmo de Hopcroft-Karp

• Aqui está ele

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Algoritmo de Hopcroft-Karp

• Problema 1
• Precisamos de um algoritmo O(E) para encontrar um
  conjunto máximo de caminhos disjuntos de aumento,
  P1, P2, P3,...
• Problema 2
• Mostrar que o número máximo de iterações do
  algoritmo é 2 . E concluir que o tempo de
  execução total do Hopcroft-karp é

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Referências

• Cormen, Thomas H. Leiserson, Charles E. Rivest,
  Ronald L. Stein, Clifford (2001). Introduction
  to Algorithms, second edition, MIT Press and
  McGraw-Hill.
• www.wikipedia.com
• www.topcoder.com/tc