Diapositiva 1

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DISTRIBUCIÓN NORMAL
La mayoría de las variables aleatorias que se
presentan en los estudios relacionados con las
ciencias sociales, físicas y biológicas, por
ejemplo, el peso de niños recién nacidos, talla
de jóvenes de 18 años en una determinada región,
son continuas y se distribuyen según una función
de densidad , que tiene la siguiente expresión
analítica Donde µ es la media de la
variable aleatoria y s es su desviación típica.
Este tipo de variables se dice que se distribuye
normalmente. El área bajo la función de densidad
es 1. La función de densidad, en el caso de la
distribución Normal, tiene forma de campana
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DISTRIBUCIÓN NORMAL
Es un ejercicio interesante comprobar que ésta
alcanza un único máximo (moda) en m , que es
simétrica con respecto al mismo, y por tanto
con lo cual en m coinciden la media, la mediana
y la moda. La mayor parte de la masa de
probabilidad (área comprendida entre la curva y
el eje de abcisas) se encuentra concentrado
alrededor de la media, y las ramas de la curva se
extienden asintóticamente a los ejes, de modo que
cualquier valor muy alejado" de la media es
posible (aunque poco probable). La forma de la
campana de Gauss depende de los parámetros m y s

s será el parámetro de dispersión. Cuanto menor
sea, mayor cantidad de masa de probabilidad habrá
concentrada alrededor de la media
m indica la posición de la campana (parámetro de
centralización)
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DISTRIBUCIÓN NORMAL
Para una variable aleatoria X, que se distribuye
normalmente con media µ y desviación típica s,
la probabilidad de que la variable X esté
comprendida entre los valores a y b es el área
oscura en la siguiente figura
analíticamente se puede calcular así
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DISTRIBUCIÓN NORMAL
Como el cálculo de esta integral es laborioso,
para calcular el área se realiza el siguiente
cambio de variable
Este cambio origina una distribución normal
estándar de media µ 0 y desviación típica s 1
cuya función de densidad es
Y cuyos valores se tabulan
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Ejemplo 1 Consideremos que el peso de los niños
varones españoles en el momento del nacimiento se
distribuye normalmente. Si sabemos que el peso
medio en el momento de nacer son 3,25 kgs y la
desviación típica es de 0,82 kgs, cúal es la
probabilidad de que el peso de un niño varón al
nacer sea superior a 4 kgs?
Tipificamos la variable aleatoria X, peso de los
niños al nacer. En el proceso de tipificación,
al valor de X4, le corresponde el valor,
z0,9146
0
4
0,9146
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En la tabla de la distribución normal tipificada,
buscamos el valor de a correspondiente al valor
de z0,9146 la probabilidad de z gt 0,9146 es,
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Ejemplo 2 Según un estudio, la altura de los
varones de cierta ciudad es una v.a. X, que
podemos considerar que se distribuye según una
ley gaussiana de valor esperado m175 cm y
desviación típica s10 cm . Dar un intervalo para
el que tengamos asegurado que el 50 de los
habitantes de la ciudad estén comprendidos en él.
En este caso tenemos que buscar en la tabla de la
N(0,1) que valor me deja el 25 de los datos
hacia la derecha y el valor que me deja el 25 a
la izquierda, de esta manera tenemos el 50 en
los valores centrales.
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N(175, 10)
Buscamos el valor tipificado que me da la
Probabilidad de 0,25 en la N(0,1) que es
aproximadamente 0,675 Por lo tanto si
destipificamos
Como es simétrica la distribución, el valor que
nos deja el 25 por debajo es -0,675
El 50 de la población tiene un peso comprendido
en el intervalo 168,25,181,75.
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DISTRIBUCIÓN NORMAL. Aproximación de una Binomial
a la Normal
Se puede demostrar (teorema central del límite)
que una v.a. discreta con distribución binomial,
se puede aproximar mediante una distribución
normal si n es suficientemente grande y p no está
ni muy próximo a 0 ni a 1. Como el valor esperado
y la varianza de X son respectivamente np y npq,
la aproximación consiste en decir que
El convenio que se suele utilizar para poder
realizar esta aproximación es
aunque en realidad esta no da resultados muy
precisos a menos que realmente n sea un valor muy
grande y
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Ejemplo. Durante cierta epidemia de gripe,
enferma el 30 de la población. En un aula con
200 estudiantes de Medicina, cuál es la
probabilidad de que al menos 40 padezcan la
enfermedad? Calcular la probabilidad de que haya
60 estudiantes con gripe.
La v.a. que contabiliza el número de alumnos que
padece la gripe es
cuya media es m200x0,360 y cuya s2
200x0,3x0x742
Realizar los cálculos con la ley binomial es muy
engorroso, ya que intervienen números
combinatorios de gran tamaño, y potencias muy
elevadas. Por ello utilizamos la aproximación
normal de X, teniendo en cuenta que se verifican
las condiciones necesarias para que el error sea
aceptable
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Con una N(60 6,48)
Tipificando Buscamos Por simetría Por
suceso contrario Buscando en la tabla
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Con una N(60 6,48)
Tipificando Buscamos Por simetría Buscando
en la tabla
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Tipificando Buscamos Por simetría Buscando
en la tabla