Capital%20Asset%20Pricing%20Model%20(CAPM)

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Capital Asset Pricing Model (CAPM)

• Como podemos manejar el riesgo bajo algunos
  suposiciones sobre el tipo del riesgo

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CAPM Una introducción

• Para qué sirve?
• Para calcular VPN, necesitamos usar una tasa de
  descuento
• Pero, en general, el flujo del efectivo tiene
  incertidumbre
• Cómo podemos tomar cuenta de ese riesgo?
• Cómo podemos cuantificarlo?

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Modelo de Markowitz

• Supongamos que tenemos una variable aleatoria
• Suficiente ver los parámetros de la variable
• Si tenemos mas, debe de tomar cuenta de la
  relación entre variables covarianza y
  correlación entre variables (con n variables,
  cuantas hay?)
• Pero, cero correlación no significa independencia

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Diversificación

• Supongamos que hay dos acciones en mi portafolio
  (X y Y sus rendimientos y P es el rendimiento del
  portafolio)
• P aX (1-a)Y donde a es la ponderación de X en
  el portafolio
• Calculamos E(P) y Var(P)
• E(P) aE(X) (1-a)E(Y)
• Var(P) a2Var(X) (1-a)2Var(Y)
  2a(1-a)Cov(X, Y)

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Ejemplo

• Supongamos Var(X) Var(Y)
• Entonces, Var(P) Var(X)a2 (1-a)2
  2a(1-a)r donde r es la correlación entre X y Y
  (rcov(X, Y)/sd(X)sd(Y))
• Podemos concluir que Var(P)?Var(X)
• Entonces, la curva se ve como una parábola
• Eso depende del nivel de la correlación

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Rendimiento E(.)
a0
Varianza mínima
a1
Riesgo s(.)
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Frontera eficiente

• Min Var (P), nos da
• a (s2Y - rsXsY)/(s2Y s2X - 2rsXsY)
• (también, tenemos que verificar que la condición
  de primer orden nos da una cosa mínima)
• En caso particular donde sX sY, tenemos a 0.5

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Rendimiento E(.)
a0
a1
Riesgo s(.)
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Rendimiento E(.)
a0
r -1
r 0
r 1
a1
Riesgo s(.)
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Fondos múltiples

• Podemos construir las mismas curvas para cada par
  de fondos (acciones)
• Podemos construir con cada tres.
• Finalmente, vamos a obtener una frontera que
  representa todas las combinaciones posibles
• Esa frontera, se llama la frontera eficiente
• También, podemos construir el portafolio del
  riesgo mínimo

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frontera efficiente
rendimiento
Portafolio del riesgo minimo
Riesgo (varianza)
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Conclusión de Markowitz

• Cómo voy a escoger una combinación de varios
  acciones?
• Eso depende de la preferencia (las curvas de
  indiferencia) de las personas
• Podemos representar las preferencias de varios
  personas así.

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Curvas de indiferencia
rendimiento
riesgo
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Curvas de indiferencia
rendimiento
optimo
riesgo
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Curvas de indiferencia
rendimiento
Optimo azul
Optimo rojo
riesgo
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Problema

• Supongamos hay 5,000 acciones
• Cuántas covarianzas tenemos que calcular?
• Supongamos que tenemos información nueva cada
  hora
• tenemos que calcular esas cosas una y otra vez
• hay una salida?

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Método de Sharpe y Lintner

• Hay un fondo sin riesgo (qué será?)
• Voy a suponer que su rendimiento es rf
• Entonces s(rf) ?
• Cómo cambiaría la frontera?
• Otros suposiciones cada persona puede tener
  cualquier combinación (incluyendo fondos cortos)
• Cada persona tiene el mismo horizonte

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frontera efficiente
rendimiento
rf
Riesgo (varianza)
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frontera efficiente
rendimiento
rf
Riesgo (varianza)
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Implicación

• Tenemos que considerar dos fondos fondo sin
  riesgo y tangente con frontera eficiente (el
  portafolio del mercado)
• Todos los portafolios son combinaciones de esos
  dos fondos
• (el portafolio del mercado es una combinación de
  todos los fondos)
• (si consideramos mercados de bonos y acciones,
  todos están allí)

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Baja aversion al riesgo (azul)
Alta aversion al riesgo (verde)
rendimiento
Fondo 2
Fondo 1
Portafolio del mercado
rf
riesgo
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La línea del mercado capital (Capital Market
Line)

• El pendiente de la línea roja es
• E(rm) - rf/s(rm)
• Entonces, la ecuación de CML es
• E(rP) rf (E(rm) - rf/s(rm))s(rP)

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Derivación del CAPM

• En equilibrio, el mercado tiene todos los fondos
  hasta que no hay demanda exceso
• Vamos a poner wi (valor de fondo i en el
  mercado)/(valor del mercado)
• Consideramos un portafolio donde voy a invertir
  a en i y (1-a) en el mercado
• rP a(ri) (1-a)(rM)
• Calculamos E(rP) y s(rP)

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derivación
Tomando la derivada con respeto a la proporción a
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derivación
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(No Transcript)
27
(No Transcript)
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Forma final

• Eso, nos da
• E(ri) rf (sim/sm2)E(rm) - rf
• (sim/sm2) tiene un nombre
• se llama la beta bi sim/sm2 de acción i
• Supongamos que i es el mercado
• Entonces, bm ?
• Beta es una medida de covariabilidad con el
  mercado betagt1 ó betalt1

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Lección uno de CAPM

• Security Market Line (SML)
• E(ri) rf biE(rm) - rf
• Eso nos da una relación lineal entre E(ri) y bi
• Entonces, tenemos la recta SML
• Supongamos ri es arriba de la recta
• rendimiento actual es más que está esperado
• gente va a comprar, precio? y rendimiento?

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E(ri)
ri
SML
ri
bi
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Interpretación de la fórmula

• Beta es una medida de co-variabilidad con el
  mercado
• El mercado demanda rf como una compensación de un
  activo sin riesgo
• Entonces, el mercado demanda una cantidad extra
  biE(rm) - rf para compensar el riesgo que toma
  una inversionista en una acción con riesgo
• CAPM cuantifica el riesgo de la acción

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Beta es aditiva

• Hay dos activos
• Supongamos que sabemos las betas de cada uno
• Cómo podemos calcular la beta de un portafolio
  con ambos activos?
• Esto es la suma ponderada
• Ejemplo beta10.5 valor 1000, beta21.5 valor
  2000. Entonces, beta del portafolio

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Una aplicación

• Compañía A está considerando comprar otra
  compañía B
• B va a producir cash flow (flujo de efectivo)
  de 200 cada año
• B tiene beta de 1.2
• el portafolio del mercado tiene rendimiento 15 y
  de T-bills tiene 6
• Cuál es el máximo que A va a pagar para comprar
  B?

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Solución

• Tenemos que valuar la compañía B
• Sabemos que el flujo es 200 cada año
• Necesitamos la tasa de descuento
• Utilizamos la fórmula de CAPM
• rB0.061.2(0.15-0.06)0.168
• VPNB 200/.168 1190.48
• Si VPNA2000, bA1, qué es la beta de la
  compañía fusionada?

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Beta en la vida real

• Hay países donde algunas acciones no se venden
  todos los días
• comercio ligero (thin trading)
• La beta tal cual no se estima la beta propia
• Tenemos que ajustar la beta
• Errores en la medida
• Si la beta verdadera es 1, la medida puede decir
  0.8

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Beta de Scholes-Williams

• Primero corremos una regresión de rendimiento de
  tiempo t con el rendimiento de tiempo t-1
  (beta(-1))
• Luego corremos una regresión de rendimiento de
  tiempo t con el rendimiento de tiempo t1
  (beta(1))
• Beta (SW)(beta(-1)beta(0)beta(1))/k donde
  k12 correlación en serie