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Buscando a ... LA CICLOIDE

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Buscando a ... LA CICLOIDE Trabajo en equipo de Investigaci n matem tica Problema inicial Vamos a hacer un poco de ciencia-ficci n. Imag nate una rueda cuadrada y ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Buscando a ... LA CICLOIDE


1
Buscando a ... LA CICLOIDE
  • Trabajo en equipo de Investigación matemática

2
Problema inicial
Esta investigación tiene su origen en un
problema que nuestro profesor de Matemáticas nos
propuso a un grupo de clase. Decía así
  • Vamos a hacer un poco de ciencia-ficción.
    Imagínate una rueda cuadrada y fíjate en uno de
    los vértices. Qué trayectoria sigue al dar la
    rueda una vuelta?
  • Si suponemos que el lado del cuadrado mide 1
    metro, qué longitud recorre un vértice en una
    vuelta completa?
  • Puestos a imaginar, podemos pensar lo que pasaría
    si las ruedas son triángulos equiláteros. Y lo
    mismo con cualquier otro polígono regular.

3
Durante el proceso de resolución
Llegamos a estudiar las trayectorias
determinadas por diversos polígonos regulares,
como los siguientes
4
Y si la rueda fuese redonda?
  • La CICLOIDE la trayectoria que recorre un punto
    cualquiera de la circunferencia cuando ésta da un
    giro completo

Fue al final de aquel problema como llegamos a
conocer a la protagonista de esta investigación
5
Algunas propiedades que hacen famosa a la
Cicloide
  • Es la curva braquistócrona (la de descenso más
    rápido entre dos puntos)
  • La tautocronía (si un punto se desplaza a lo
    largo de la curva invertida, en caída libre,
    llegará al punto mínimo de la curva en un tiempo
    que no depende de la altura de donde partió )

6
Medidas de la cicloide
La longitud de la cicloide es 8 veces el radio y
el área que deja debajo es el triple de la del
círculo que la determina
  • Longitud 8.R
  • Area 3.?.R²

Y aquí comenzaría nuestra investigación éstas
son la medidas de la cicloide. En Internet
comprobamos que no entendíamos cómo se habían
calculado (siempre aparecían integrales y otras
fórmulas complicadas). Seríamos capaces de
demostrarlas solo con nuestros conocimientos y
los ordenadores?
7
Nuestra idea para calcular esas medidas
  • Aproximarnos desde los polígonos regulares
  • La circunferencia viene a ser como un polígono
    regular de 5000 lados

8
Proceso para determinar la LONGITUD de la
trayectoria descrita por el vértice de un
polígono regular de 5000 lados girando
  • Nuestro plan pasaba por tres fases
  • 1ª Fase Estudio con polígonos regulares de 3, 4,
    6 y hasta 12 lados

Extracto del trabajo en un momento en el que
interesaba calcular una diagonal del dodecaedro
regular
9
Proceso (LONGITUDES)
  • 2ª Fase Generalización del problema
  • (polígono de n lados)
  • La trayectoria se compone de n-1 arcos de
    circunferencia
  • Todos los arcos tienen la misma amplitud (360/n
    grados)
  • Los radios de los arcos son las sucesivas
    diagonales del polígono (además del lado)

.
Los resultados finales se resumían en las
siguientes fórmulas
10
Proceso (LONGITUDES)
  • 3ª Fase Cálculos con Excel

La Hoja de cálculo (junto con las fórmulas a las
que llegamos anteriormente) nos permitió calcular
rápidamente la longitud de la trayectoria
correspondiente a un polígono regular de tantos
lados como quisiéramos
11
Proceso para determinar el AREA de la trayectoria
descrita por el vértice de un polígono regular de
5000 lados girando
  • Para el cálculo del área repetimos las mismas
    tres fases para un problema distinto
  • 1ª Fase Estudio con polígonos regulares de 3, 4,
    6 y hasta 12 lados

Extracto del trabajo en un momento en el que
interesaba calcular el área barrida por el giro
de un hexágono regular
12
Proceso (AREAS)
  • 2ª Fase Generalización del problema
  • (polígono de n lados)
  • El área determinada se descompone en n-1 sectores
    y n-2 triángulos

.
13
Proceso (AREAS)
  • 3ª Fase Cálculos con Excel

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Metodología de trabajo durante la Investigación
  • Trabajo en equipo
  • Reparto de tareas
  • Reuniones semanales
  • Revisiones de lo redactado
  • Con el ordenador
  • Textos con Word
  • Fórmulas con su Editor de ecuaciones
  • Gráficos con Cabri
  • Excel
  • Página web con Cabriweb

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Autores
  • Iranzu Ardaiz
  • Marta Martínez
  • Beatriz Navarro
  • Nuria Ortega
  • Pablo Roldán
  • Coordinador Manuel Sada
  • I.E.S. de Zizur Mayor (Navarra)
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