Title: Buscando a ... LA CICLOIDE
1Buscando a ... LA CICLOIDE
- Trabajo en equipo de Investigación matemática
2Problema inicial
Esta investigación tiene su origen en un
problema que nuestro profesor de Matemáticas nos
propuso a un grupo de clase. Decía así
- Vamos a hacer un poco de ciencia-ficción.
Imagínate una rueda cuadrada y fíjate en uno de
los vértices. Qué trayectoria sigue al dar la
rueda una vuelta? - Si suponemos que el lado del cuadrado mide 1
metro, qué longitud recorre un vértice en una
vuelta completa? - Puestos a imaginar, podemos pensar lo que pasaría
si las ruedas son triángulos equiláteros. Y lo
mismo con cualquier otro polígono regular.
3Durante el proceso de resolución
Llegamos a estudiar las trayectorias
determinadas por diversos polígonos regulares,
como los siguientes
4Y si la rueda fuese redonda?
- La CICLOIDE la trayectoria que recorre un punto
cualquiera de la circunferencia cuando ésta da un
giro completo
Fue al final de aquel problema como llegamos a
conocer a la protagonista de esta investigación
5Algunas propiedades que hacen famosa a la
Cicloide
- Es la curva braquistócrona (la de descenso más
rápido entre dos puntos)
- La tautocronía (si un punto se desplaza a lo
largo de la curva invertida, en caída libre,
llegará al punto mínimo de la curva en un tiempo
que no depende de la altura de donde partió )
6Medidas de la cicloide
La longitud de la cicloide es 8 veces el radio y
el área que deja debajo es el triple de la del
círculo que la determina
Y aquí comenzaría nuestra investigación éstas
son la medidas de la cicloide. En Internet
comprobamos que no entendíamos cómo se habían
calculado (siempre aparecían integrales y otras
fórmulas complicadas). Seríamos capaces de
demostrarlas solo con nuestros conocimientos y
los ordenadores?
7Nuestra idea para calcular esas medidas
- Aproximarnos desde los polígonos regulares
- La circunferencia viene a ser como un polígono
regular de 5000 lados
8Proceso para determinar la LONGITUD de la
trayectoria descrita por el vértice de un
polígono regular de 5000 lados girando
- Nuestro plan pasaba por tres fases
- 1ª Fase Estudio con polígonos regulares de 3, 4,
6 y hasta 12 lados
Extracto del trabajo en un momento en el que
interesaba calcular una diagonal del dodecaedro
regular
9Proceso (LONGITUDES)
- 2ª Fase Generalización del problema
- (polígono de n lados)
- La trayectoria se compone de n-1 arcos de
circunferencia - Todos los arcos tienen la misma amplitud (360/n
grados) - Los radios de los arcos son las sucesivas
diagonales del polígono (además del lado)
.
Los resultados finales se resumían en las
siguientes fórmulas
10Proceso (LONGITUDES)
- 3ª Fase Cálculos con Excel
La Hoja de cálculo (junto con las fórmulas a las
que llegamos anteriormente) nos permitió calcular
rápidamente la longitud de la trayectoria
correspondiente a un polígono regular de tantos
lados como quisiéramos
11Proceso para determinar el AREA de la trayectoria
descrita por el vértice de un polígono regular de
5000 lados girando
- Para el cálculo del área repetimos las mismas
tres fases para un problema distinto - 1ª Fase Estudio con polígonos regulares de 3, 4,
6 y hasta 12 lados
Extracto del trabajo en un momento en el que
interesaba calcular el área barrida por el giro
de un hexágono regular
12Proceso (AREAS)
- 2ª Fase Generalización del problema
- (polígono de n lados)
- El área determinada se descompone en n-1 sectores
y n-2 triángulos
.
13Proceso (AREAS)
- 3ª Fase Cálculos con Excel
14Metodología de trabajo durante la Investigación
- Trabajo en equipo
- Reparto de tareas
- Reuniones semanales
- Revisiones de lo redactado
- Con el ordenador
- Textos con Word
- Fórmulas con su Editor de ecuaciones
- Gráficos con Cabri
- Excel
- Página web con Cabriweb
15Autores
- Iranzu Ardaiz
- Marta Martínez
- Beatriz Navarro
- Nuria Ortega
- Pablo Roldán
- Coordinador Manuel Sada
- I.E.S. de Zizur Mayor (Navarra)