Baci kocku, vuci kartu

1
Baci kocku, vuci kartu
Craps, blackjack i vjerojatnost

• Franka Miriam Brückler

2
Kolika je šansa da ... ?

• pri bacanju novcica padne pismo?
• pri bacanju jedne kocke padne 5?
• pri izvlacenju jedne karte (od 52) dobiješ asa?
• pri bacanju dvije kocke na obje padne 3?
• na roulette padne crveno?
• vjerojatnost (šansa) da ce se dogoditi neki
  dogadaj jednaka je broju za taj dogadaj povoljnih
  slucajeva podijeljenom s brojem svih mogucih
  slucajeva

3
Što je uopce moguce?

• bacanje novcica pismo, glava
• bacanje jedne kocke
  
• bacanje dvije kocke

vjerojatnosni prostor je skup svih mogucih ishoda
pokusa (koje zovemo elementarnim dogadajima)
4
Craps

• kockarska igra s dvije kocke u kojoj o
  pobjedi/gubitku odlucuje zbroj brojeva koji padnu
• igrac koji baca kocke shooter
• shooter mora uložiti bar minimalni ulog na pass
  line (dobitak) ili dont pass (gubitak)
• ostali igraci se klade na neku od te dvije ili od
  ostalih mogucnosti
• prvo bacanje shooter-a dobiva ako padne 7 ili
  11, gubi ako padne 2, 3 ili 12
• inace baca dalje sve dok ponovno ne dobije što je
  dobio u prvom bacanju (? pass) ili sedmicu (?
  doesnt pass)
• iznos prvog bacanja (ako nije 2,3,7,11,12) zove
  se shooter-ov point (oznacit cemo ga S)

5
Par pitanja...

• igrac pet put zaredom baci craps znaci li to da
  je vjerojatnije ili manje vjerojatno da u
  sljedecoj igri opet baci craps?
• je li jednako vjerojatno baciti bilo koju sumu i
  zašto?
• koja je najvjerojatnija suma u nekom bacanju?
• koja je najmanje vjerojatna suma?

6
Vjerojatnost dobitka/gubitka u prvom bacanju?

• to je vjerojatnost dobivanja sume 7 ili 11 u
  jednom bacanju dvije kocke
• 36 mogucih ishoda, od toga u njih 8 imamo sumu 7
  ili 11, dakle je tražena vjerojatnost 8/36
  22,22
• vjerojatnost gubitka u prvom bacanju je
  vjerojatnost dobivanja sume 2, 3 ili 12 u 4
  moguca od 36 slucajeva dobivamo tu sumu pa je
  tražena vjerojatnost 4/36 11,11
• uoci vjerojatnost da se dogodi bar jedan od više
  dogadaja koji se ne mogu istovremeno dogoditi je
  zbroj vjerojatnosti da se pojedini dogadaji dese

7
Pokus ...
suma vjerojatnost
2 1/360,0278
3 1/180,0556
4 1/120,0833
5 1/90,1111
6 5/360,1389
7 1/60,1667
8 5/360,1389
9 1/90,1111
10 1/120,0833
11 1/180,0556
12 1/360,0278

• svatko baca par kocaka po 10 puta i zapisuje
  dobivene sume u tablicu
• iz svih tablica izracunajte koliko je prosjecno
  puta pala koja suma i usporedite s teorijskim
  vjerojatnostima!

8
Što ako treba dalje bacati?

• prema prethodnom, s vjerojatnošcu (84)/36
  33,33 igra ce biti odlucena u prvom bacanju
• vjerojatnost suprotnog dogadaja tj. vjerojatnost
  da se nece dogoditi traženi dogadaj je 1 p ako
  je p vjerojatnost da ce se on dogoditi ?
  vjerojatnost da igra nije odlucena u prvom
  bacanju je
• 1 12/36 24/36 2/3 66,67
• u ovom (vjerojatnijem) slucaju ne znamo koliko ce
  bacanja biti potrebno što sad?

9
Uvjetna vjerojatnost

• koja je vjerojatnost da je pri bacanju kocke pala
  dvojka ako znaš da je pao paran broj?
• Tebi nepoznata obitelj ima dvoje djece, od kojih
  je jedno žensko. Koja je vjerojatnost da je i
  drugo dijete žensko? Bi li što promijenilo ako
  znaš da je starije dijete kcer?
• p(BA)p(A?B)/p(A)

10
Uvjetna vjerojatnost za craps

• kolika je vjerojatnost dobitka ako je u prvom
  bacanju pala suma S?
• p(dobitakS)?
• p(dobitak2)p(dobitak3)
• p(dobitak12)0
• p(dobitak7)p(dobitak11)1
• što s ostalim slucajevima?

11

• ako se dva dogadaja ne mogu istovremeno dogoditi
  (iskljucuju se) vjerojatnost da se bar jedan desi
  je p(A?B)p(A)p(B)
• vjerojatnost da se dogodi A ako znamo da se
  dogodio bar jedan od njih je stoga
• p(AA ? B) p(A ? (A ? B)) / p(A ? B)
  p(A)/(p(A)p(B))
• uzmimo A pala je suma S i B pala je
  sedmica
• p(dobitakS) p(S)/(p(S)p(7)) p(S)/(1/6p(S))
  6p(S)/(16p(S))

12

• slijedi
• p(dobitak4) 3/9 p(dobitak10)
• p(dobitak5) 4/10 p(dobitak9)
• p(dobitak6) 5/11 p(dobitak8)
• ukupna vjerojatnost dobitka je zbroj svih
  p(S)p(dobitakS) za S2,...,12 ispada 244/495
  tj. oko 49,29

13
Matematicko ocekivanje

• ocekivani dobitak zbroj produkata iznosa
  dobitaka (po jedinici uloga) i njihovih
  vjerojatnosti za sve moguce ishode
• xi je dobitak (X) ako pokus ima ishod i
• pi je vjerojatnost da dode do tog ishoda
• za craps
• E(X) 1244/495 1251/495 - 0,014 tj. na
  duge staze ce po svakom uloženom igrac gubiti
  po 1,4 centa

14
Blackjack

• vrijednosti karata

1 ili 11
10

• svatko igra sam protiv dealer-a
• cilj igre doci što bliže zbroja 21 bez da ga se
  premaši (bust) i imati veci zbroj od dealer-a
• ako u ruci imate A, imate soft hand ako bilo da
  racunate A kao 1 bilo kao 11 nemate više od 21

15

• Blackjack ili natural je
• kombinacija dvije karte vrijednosti 21 (dakle
  asa i neke karte vrijednosti 10) dobivena u prvom
  dijeljenju
• dobici se isplacuju 11, osim u slucaju dobitka
  blackjack-om, koji nosi dobitak u omjeru 32
• nakon dobivanja prve dvije karte igrac ima 4
  opcije hit, stand, double down, split pairs
  (uzimanje dodatne karte, dosta, udvostrucenje,
  razdvajanje parova)
• dealer mora uzimati dodatnu kartu sve dok mu max.
  zbroj karata u ruci ne bude bar 17

16
Vjerojatnosni prostor za blackjack

• u blackjack-u u kojem je jedina otvorena karta
  dealer-ova Elementarni dogadaji za igraca je
  skup od dvije ili više karata za koje vrijedi da
  kad god bismo jednu kartu odbacili iz skupa, suma
  vrijednosti preostalih karata ne nadmašuje 21.
• 2,2,2,3,...,A,A,2,2,2,...,A,A,A,2,2,2,
  2,...,A,A,A,A,2,2,2,2,3,...,A,A,A,A,K,...,
  2,2,2,2,3,3,3,3,A

17
Broj kombinacija
18

• Broj mogucih kombinacija dvije karte (dakle,
  pocetnih karata) za blackjack s n setova karata
  (obicno n1, 2, 4, 6 ili 8)

19
Vjerojatnost dobivanja Blackjack-a

• u jednom setu karata su 4 asa i 16 karata
  vrijednih 10
• ako se igra blackjack s n setova karata,
  vjerojatnost dobivanja blackjack-a je

20
Vjerojatnosti zbrojeva prve 2 karte

• u daljnjem cemo sve racune provoditi za blackjack
  s jednim setom od 52 karte
• dobivanje prve dvije karte možemo zamisliti i kao
  bacanje dviju kocaka s 52 strane, s tim da se
  svaki broj od 2 do 9 pojavljuje na 4 strane, broj
  10 na 16 strana i znak A na 4 strane
• u slucaju soft para tj. para koji sadrži A i neku
  drugu kartu (dva A nisu soft ?) gledamo veci od
  dva moguca zbroja tj. A brojimo kao 11
• pod razlicitim kartama mislimo karte razlicite
  vrijednosti

21

• vjerojatnost da smo dobili dvije konkretne
  razlicite karte jednaka je
• a vjerojatnost da smo dobili dvije konkretne
  karte iste vrijednosti (ili dva asa)

22

• vjerojatnost da karte imaju istu vrijednost je
  stoga 9/221 20/221 29/221 13,12,
• pa je vjerojatnost da smo dobili neke dvije karte
  razlicitih vrijednosti jednaka

23

• kolika je vjerojatnost da su prve dvije karte
  sume 12?
• to je moguce ako imamo dva asa, 2 i neku kartu
  vrijednu 10, 3 i 9, 4 i 8, 5 i 7 ili pak dvije
  šestice
• vjerojatnosti da dobijemo dva asa ili dvije
  šestice su prema prethodnom 1/221
• vjerojatnost dobivanja nekog od parova 3 i 9, 4 i
  8, 5 i 7 je 8/663
• 2 i 10 možemo dobiti kao 2 i 10, 2 i B, 2 i D
  ili pak kao 2 i K pa je vjerojatnost dobivanja
  dvojke i karte vrijedne 10 jednaka 4 puta 8/663
• sve skupa daje vjerojatnost sume 12

24
Suma prve 2 karte Vjerojatnost sume
4 (22) 0,45
5 (23) 1,21
6 (24, 33) 1,66
7 (25, 34) 2,41
8 (26, 35, 44) 2,87
9 (27, 36, 45) 3,62
10 (28, 37, 46, 55) 4,07
11 (29, 38, 47, 56) 4,83
12 (AA, 210, 39, 48, 57, 66) 9,35
13 (A2, 310, 49, 58, 67) 9,65
14 (A3, 410, 59, 68, 77) 8,90
15 (A4, 510, 69, 78) 8,45
16 (A5, 610, 79, 88) 7,69
17 (A6, 710, 89) 7,24
18 (A7, 810, 99) 6,49
19 (A8, 910) 6,03
20 (A9, 1010) 10,26
21 (blackjack A10) 4,83
25
Vjerojatnost da je pocetna suma bar 17 iznosi
26
Hit or no hit, that is the question

• ako je do nekog trenutka igre igracu poznato m
  karata (vlastite plus otvorena dealer-ova), od
  cega je za njih n igracu poznato da imaju
  vrijednost x, kolika je vjerojatnost da ce
  uzimanjem dodatne karte igrac dobiti kartu
  vrijednosti x?

27

• ako igrac igra sam protiv dealer-a i trenutno ima
  karte D,2,4,A, a dealer-ova otvorena je 8, kolika
  je vjerojatnost da ce sljedecim izvlacenjem igrac
  postici sumu 21?
• p p4 (4-1)/(52-5) 6,38
• vjerojatnost bust-a uzimanjem jedne dodatne
  karte
• p p5 p6 p7 p8 p9 p10
• 4(4-0)/47 (4-1)/47 (16-1)/47
• 34/47 72,34

28

• Zadatak
• Ako igrac ima dvije karte sume 16, intuitivno je
  manje vjerojatno da ce uzimanjem još jedne karte
  probiti limit nego ako ima tri karte sume 16.
  Racun to potvrduje u prvom slucaju vjerojatnost
  bust-a je 59,18, a u drugom 61,43
• Imate li ideju zašto to nije u suprotnosti s
  preporukom u optimalnoj strategiji da i pri sumi
  16 (ako dealer-ova otvorena karta nije 2,3,4,5,6)
  treba tražiti još jednu kartu?

29
Ocekivanje u blackjack-u

• ocekivana vrijednost dobitka u blackjack-u se
  dosta komplicirano racuna, medu inim jer je
  moguce jako puno kombinacija
• ovisno o odabranoj strategiji, ocekivanje varira
• jedna moguca strategija imitacija dealer-a tj.
  stop na 17 ? ocekivanje -0,056 tj. po uloženoj
  jedinici u prosjeku se po krugu gubi 0,056

30
Optimalna strategija

• za blackjack postoje optimalne strategije koje
  omogucuju da si igrac, uzevši u obzir otvorene
  karte, odabere opciju koja maksimizira ocekivani
  dobitak (ovisne o pravilima ovdje za igru s
  jednim setom i dealer staje na sve 17)
• neka je D vrijednost dealer-ove otvorene karte
• ako je x jedinstvena vrijednost igracevih karata,
  preporuca se uzimanje dodatne karte ako xltM(D), a
  inace stop analogno se definiraju M(D) za
  slucaj dvoznacnih x

31
Kada uzeti još jednu kartu?
npr. ako dealer ima otvorenu 5, a mi u rukama
imamo 5 i 6, što je manje od 12, tada se
preporuca da vucemo kartu, a ako imamo B i 4 tj.
više od 12 onda se preporuca da stanemo
ako dealer ima otvorenu npr. 7, a mi u rukama
imamo A i 5 (soft 16), tada se preporuca uzimanje
još jedne karte, a ako imamo A i 8, preporuca se
da stanemo (soft 19)
32
Kada udvostrucavati?
Jedinstvena vrijednost igracevih karata 12 11 10 9 8
Vrijednost od D gdje bi igrac trebao udvostruciti ulog nema 2D10 2D9 2D6 nema
Soft vrijednost igracevih karata 19 18 17 13-16 12
Vrijednost od D gdje bi igrac trebao udvostruciti ulog nema D4,5,6 D3,4,5,6 D5,6 D5
kod soft slucaja ako imamo vrijednost primjerice
A i 7, a dealer ima otvorenu 5, tada ima smisla
da udvostrucimo ulog
npr. u rukama imamo 4 i 5, ima smisla da
udvostrucimo ulog ako dealer ima otvorenu neku od
karata vrijednosti 2, 3, 4, 5 ili 6
33
A kada razdvajati parove?
Par A,A 8,8 9,9 7,7 2,2 3,3 6,6 4,4 ostalo
Kod kojih D razdvojiti par? sve 2,3,4,5, 6,8,9 2,3,4,5, 6,7,8 2,3,4, 5,6,7 5 nema
34
I što da igrac ocekuje?

• ispada da je ukupno ocekivanje dobitka pri
  korištenju opisane strategije -0,006
• zanimljivo uvjetno ocekivanje ako se uzme u
  obzir poznavanje D je pozitivno ako dealer ima
  otvorenu kartu vrijednosti manje od 9

D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A
E(WD) 0,090 0,123 0,165 0,218 0,230 0,148 0,056 -0,043 -0,176 -0,363
35
(No Transcript)