BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA

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BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FISICO MATEMATICAS
DOCTORADO EN FISICA APLICADA
RESTRICCIONES COSMOLOGICAS A EXTENSIONES NO
CONMUTATIVAS DEL MODELO ESTANDAR
Tesista Mónica Sánchez Arteaga
Asesores Dr. Cupatitzio Ramírez Romero Dr. Mario
Alberto Maya Mendieta
Junio 2010
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RESUMEN
TEORÍA NO CONMUTATIVA Se describe un método para
obtener teorías de campo no conmutativas a través
del mapeo de Moyal-Weyl y éste lo que hace es dar
un mapeo de campos conmutativos en campos no
conmutativos, que corresponde a transformar las
coordenadas conmutativas en no conmutativas. Y se
describe otro método para teorías de norma a
través del mapeo de Seiberg-Witten, para
cualquier grupo de norma. El mapeo de
Seiberg-Witten lo que hace es transformar los
campos conmutativos a los campos no
conmutativos. TEORÍA DE CAMPOS A TEMPERATURA
FINITA El formalismo de tiempo imaginario tiT,
aplicado a sistemas estadísticos, proporciona una
forma de evaluar a la función de partición a
temperatura T usando un método perturbativo a
través de diagramas de Feynman, el cual es
análogo al empleado en teoría cuántica de campos
convencional a temperatura cero. Pero, el llamado
formalismo de tiempo real tiene la propiedad de
descomponer de forma simple a los propagadores,
es decir, contienen una parte a temperatura cero
y otra parte que depende de la temperatura. Se
extiende este último formalismo introduciendo no
conmutatividad con la intención de calcular los
diagramas de Feynman no conmutativos a
temperatura finita.
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TEORIA NO CONMUTATIVA
EVIDENCIA DEL ESPACIO TEMPORAL NO CONMUTATIVO
Dirac demuestra en teoría cuántica de campos se
reemplazan las funciones definidas clásicamente
por los operadores de acuerdo a
A esto se le conoce como condición de Dirac.
Una relación cualitativa del producto de
operadores se obtiene de la relación de
incertidumbre
En general, dos operadores hermíticos A y
B, con la relación de conmutación
Tiene la relación de incertidumbre
4
Espacio no conmutativo las coordenadas espacio
temporales son reemplazadas por los generadores
Hermitianos de un álgebra no conmutativa, los
cuales obedecen la relación de conmutación
(1)
se llama tensor de no conmutatividad, es una
constante y es antisimétrico.
La relación de incertidumbre para este caso es
(2)
Debido a esta relación, un punto espacio temporal
es reemplazado por una celda de Planck y como
resultado se obtiene un espacio borroso en lugar
de un conjunto de puntos bien definidos en el
espacio tiempo. De esta manera uno puede pensar
en coordenadas espacio temporales ordinarias como
parámetros de orden macroscópicos obtenidos por
un espacio granulado en escalas más pequeñas. La
escala fundamental esta definida como
(3)
5
OPERADORES DE WEYL
Dada la función f(x) y sus correspondientes
coeficientes de Fourier
(1)
Se introduce el símbolo de Weyl de la forma
(2)
Sustituyendo (1) en (2) tenemos
(3)
Se define el mapeo entre campos y operadores como
(4)
Entonces tenemos
(5)
El operador es Hermitiano. Lo que hace el
mapeo es transformar las coordenadas del espacio
tiempo clásico a las coordenadas del espacio
tiempo no conmutativo.
6
Por ejemplo, si tomamos un vector de un espacio
vectorial y le aplicamos una transformación
lineal
En el espacio no conmutativo, juega el
papel de la matriz de transformación de algebra
lineal
Si consideramos conmutativa en lugar de
y, entonces de la ecuación (3) tenemos
Usando las propiedades de la delta de Dirac
tenemos
En resumen, en el caso conmutativo ,
entonces se reduce a una función
delta de Dirac
(6)
Por lo que el operador de Weyl se convierte en el
campo
(7)
7
Una forma sencilla para pasar de a
es la siguiente Trabajando con la transformada
inversa de Fourier
Definimos la integral
(8)
entonces
(9)
tiene la propiedad de que es simétrica.
Si consideramos no conmutativa entonces
Desarrollando el producto
8
Definimos el producto simétrico de operadores
como
En general
(10)
Usando la definición de la integral (8) y la
definición de producto simétrico de operadores
(10) tenemos
(11)
Por lo tanto, una forma sencilla para pasar de
a es a través del producto simétrico
de operadores y la definición de la integral
(12)
9
CUANTIZACIÓN DE WEYL
En el marco de la cuantización, Weyl da una
receta de cómo asociar un operador con una
función clásica de variables canónicas. Esta
receta se puede utilizar para asociar un elemento
del espacio no conmutativo en términos de un
conjunto de generadores con una función de
variables clásicas .
Usando para los elementos del espacio no
conmutativo y x para las variables clásicas
conmutativas , se tiene
Sustituyendo la forma de
Trabajando con la segunda integral y usando
y
Tenemos
10
Integrando por partes
Finalmente obtenemos
(13)
se le llama producto estrella o producto de
Moyal-Weyl y esta definido como
(14)
MAPEO DE MOYAL-WEYL
Una función no conmutativa esta definida como
El mapeo de Moyal-Weyl hace que una función
conmutativa normal sea mapeada a una función no
conmutativa
El producto de dos funciones conmutativas es
mapeado al producto estrella de f y g no
conmutativas
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PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL PRODUCTO ESTRELLA
Asociativa
Distributiva
En el espacio infinito, la divergencia se hace
cero, por lo que
Cíclica
Lo anterior se tomó de artículos que mostraremos
al final y se logró reproducir los cálculos. Esto
con la finalidad de familiarizarnos con la
notación y poder entender el significado físico
de los resultados.
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TEORIAS DE NORMA NO ABELIANAS SOBRE ESPACIOS NO
CONMUTATIVOS
Seiberg y Witten argumentaron que las teorías de
norma no conmutativas son equivalentes a las
teorías de norma conmutativas y en particular en
las que existe un mapeo de un campo de norma
conmutativo a uno no conmutativo, que son
compatibles con la estructura de norma de cada
uno.
Tomemos en cuenta las teorías de norma sobre
espacios no conmutativos, definidas por

La ecuación que define el mapeo de Seiberg-Witten
requiere de que la invariancia de norma se
conserve en el siguiente sentido. Dados el campo
de norma conmutativo ai y el parámetro de norma
de la teoría conmutativa a, la transformación de
norma infinitesimal es
Dados el campo de norma no conmutativo Ai y el
parámetro de norma no conmutativo ?, la
transformación de norma infinitesimal es

En una teoría de norma sobre coordenadas no
conmutativas, la transformación de norma
conmutativa
es reemplazada por
(1)
13
El hecho de que dos funciones no conmuten refleja
las propiedades algebraicas del espacio de
coordenadas. Como consecuencia, dos
transformaciones del tipo (1) no pueden ser
reducidas al conmutador matricial de los
generadores del álgebra de Lie
Esto implica que los parámetros L y S no pueden
ser valores del álgebra de Lie, tienen que ser
valores del álgebra envolvente
Los puntos indican una suma sobre una base del
vector espacial. Productos completamente
simetrizados forman tal base
Conmutadores de las transformaciones de norma
infinitesimales
Reescribiendo la transformación de norma no
conmutativa
Para la estructura del álgebra envolvente tenemos
(2)

Para resolver esta ecuación es necesario expander
el producto estrella en serie de potencias,
introduciendo un parámetro h
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Expansión de ?aa en el parámetro h
A orden cero en h, la ecuación (2) se convierte
en
donde
A primer orden en h, la ecuación (2) es
verificándose que una solución para esta ecuación
es
A segundo orden en h, la ecuación (2) es
Se verificó que una solución para esta ecuación
es
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Teoría de campos a temperatura finita
FORMALISMO DE TIEMPO IMAGINARIO
CONCEPTOS GENERALES DE EQUILIBRIO TERMODINAMICO
El comportamiento estadístico de un sistema
cuántico en equilibrio térmico es estudiado a
través de un ensamble adecuado. Se define la
matriz de densidad para el sistema como
donde ß representa el inverso de la temperatura
en equilibrio y H es el Hamiltoniano
correspondiente al sistema.
Por ejemplo, para el ensamble gran canónico
donde µ es el potencial químico y N son los
operadores de número para el sistema en estudio.
Dada la matriz de densidad, podemos definir la
función de partición del sistema como
La temperatura aparece cuando tenemos un conjunto
muy grande de partículas y la información de la
interacción la encontramos en la función de
partición a través del Hamiltoniano.
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El promedio en el ensamble de cualquier
observable A se define como
(3)
esta ecuación nos dice que a cada observable se
le asocia un operador.
El promedio térmico de la función de cualesquiera
dos operadores A y B, con diferentes coordenadas
puede escribirse de como
(4)
Para cualquier operador de Schrödinger arbitrario
A, tenemos el operador de Heisenberg AH(t)
definido como
(5)
Entonces, para una función de correlación térmica
general de dos operadores de Heisenberg AH(t) y
BH(t), podemos escribir
(6)
Esta se le conoce como relaciones de
Kubo-Martin-Schwinger (KMS).
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FORMALISMO DE MATSUBARA
El formalismo de Matsubara proporciona una manera
de evaluar la función de partición
perturbativamente a través de diagramas de
Feynman, el cual es análogo al empleado en teoría
cuántica de campos convencional a temperatura
cero.
Si en la definición de la matriz de densidad, el
Hamiltoniano total de un sistema puede separarse
en una parte libre y otra de interacción,
entonces podemos escribir
(7)
y la matriz de densidad toma la forma
(8)
donde ?0(ß) es la matriz de densidad para la
parte libre y S(ß) es la matriz de densidad para
la parte de interacción.
Las ecuaciones de evolución en el intervalo 0 t
ß de ?0(ß) y S(ß) son
(9)
con la definición HI'(t)?0'(ß)H'?0(ß) que,
comparando con la teoría cuántica de campos a
temperatura cero, ésta define una representación
de las interacciones.
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Si t fuese compleja, entonces para valores
imaginarios de t, la tranformación t?it', es
unitaria, es decir, . Por este
motivo, al formalismo de Matsubara se le conoce
como formalismo de tiempo imaginario.
integrando (9) se obtiene que
(10)
Las funciones de Green en dos puntos pueden
definirse, en la representación de Heisenberg,
como
(11)
El orden t, es sensible a la paridad de
Grassmann, definida como
(12)
donde el signo menos en el segundo término es
para campos fermiónicos y el signo más para
campos bosónicos. La relación entre la
representación de interacción y la representación
de Heisenberg toma la forma
(13)
Las función de Green en el intervalo 0 t , t'
ß puede escribirse como
(14)
el subíndice "0" indica que los promedios
estadísticos son calculados en un ensamble no
interactuante.
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FRECUENCIA DE MATSUBARA
De la definición de paridad de Grassmann, así
como de la relación entre las representaciones de
Heisenberg y Schrödinger, se puede mostrar que
las funciones de Green dependen sólo de la
diferencia t-t'. Por lo que el argumento de las
funciones tiene el intervalo ß t-t' ß.
Como quiera que estén definidas las funciones de
Green con un intervalo a tiempo finito, la
correspondiente transformación de Fourier puede
involucrar solo frecuencias discretas. En
general, podemos escribir
(16)
donde ?n(np)/ß con n0,1,2?
Los modos de integración pares contribuyen a las
funciones de Green bosónicas mientras que los
impares contribuyen a las funciones de Green
fermiónicas..
Esto puede verse si consideramos
(17)
y para t gt 0,
(18)
entonces, podemos escribir la segunda relación
de (16) como
(19)
20
Entonces concluimos que
Estos se les conoce como las frecuencias
Matsubara.
Escribiendo todas las coordenadas tenemos
(20)
21
Ahora estamos listos para obtener la forma del
propagador de cualquier teoría. Por ejemplo, si
tomamos la ecuación de Klein-Gordon bosónica, la
función de Green a temperatura cero satisface
(21)
Cuando se rota hacia el tiempo imaginario, t ?
-it y G ? -g. Entonces, la función de Green a
temperatura finita satisface la ecuación
siguiente
(22)
Sustituyendo la primera ecuación de (20) así como
la forma discreta de las funciones delta de
Dirac, tenemos que la función de Green en el
espacio de momentos, se convierte en
(23)
con la correspondiente ?n. La función de Green
para los fermiones puede ser obtenida de la misma
forma.
22
Con el formalismo de tiempo imaginario
encontramos los propagadores de bosón y fermión a
temperatura finita. Pero, necesitamos que los
propagadores contengan una descomposición simple,
es decir, contengan una parte a temperatura cero
y otra parte que dependa de la temperatura la
cual, como veremos después, es una propiedad de
la formulación de tiempo real a temperatura
finita de teoría de campos. Extenderemos este
formalismo introduciendo no conmutatividad con la
intención de calcular los diagramas de Feynman no
conmutativos a temperatura finita.
Cuál es el objetivo del trabajo?
Con la unión estas dos teorías queremos calcular
los propagadores de bosón y fermión no
conmutativos a temperatura finita. Con esto se
espera tener una publicación y si queda tiempo,
vamos a determinar la razón de decaimiento del
proceso en teorías no conmutativas
a temperatura finita y examinar las cotas
establecidas por los valores de los parámetros
cosmológicos.
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REFERENCIAS
1 R. J. Szabo, Quantum Field Theory on
Noncommutative Spaces. arXivhep-th/0109162
(2006). 2 Weigert. Baker-Campbell-Hausdorff
Relation for Special Unitary Groups SU(N).
Journal of Physics A. 30(24). 1997. 3
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Editorial McGraw-Hill, 1945. 4 J. Madore.
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Theories on Noncommutative Spaces. The European
Physical Journal C21, 383-388 (2001). 8 A.
Das. Finite Temperature Field Theory. Editorial
Word Scientific, 1999. 9 J. I. Kapusta. Finite
Temperature Field Theory. Editorial Cambridge
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Física 2009. 11 D. Brace et al.
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