Matrices

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Matrices
Montage préparé par
André Ross Professeur de mathématiques Cégep de
Lévis-Lauzon
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Introduction
Nous présentons ici la notion de matrice, les
opérations daddition et de multiplication par un
scalaire ainsi que la transposition des matrices.
Les mises en situation utilisées dans cette
présentation sont du domaine de ladministration.
Elles ont le mérite dêtre simples, car elles
visent à donner un sens concret aux notions
présentées sans surcharger ce premier contact
avec des notions trop complexes.
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Mise en situation
Deux marchands ambulants vendent des jus de
fruits dans les parcs de la municipalité durant
les fins de semaine. Dans les tableaux suivants,
on a compilé les ventes dans chaque parc pour les
trois jours dune fin de semaine.
27 36 39
43 68 55
33 58 49
38 46 42
43 65 58
63 72 63
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Représentation par des matrices
Ces tableaux donnent une information que lon
peut véhiculer sans tenir compte des en-têtes si
on conserve la même structure, cest-à-dire la
même disposition des nombres.
27 36 39
43 68 55
33 58 49
38 46 42
63 72 63
43 65 58
Ces nouveaux tableaux sont appelés des matrices.
Les matrices sont notre premier objet détudes en
algèbre linéaire, donnons de ce nouvel objet une
définition précise.
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Matrice
DÉFINITION
On appelle matrice tout tableau rectangulaire de
la forme 
mn
où les aij sont les éléments de la matrice.
Lindice i indique la ligne de lélément et
lindice j, sa colonne. Ces indices donnent
ladresse de lélément.
a12 est lélément a un deux et non pas a
douze.
On dit quune matrice qui comporte m lignes et n
colonnes est une matrice de dimension mxn (ce qui
se lit m par n).
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Notations
On représente normalement une matrice par une
lettre majuscule, A, B, C, . Pour des matrices
dont les éléments sont inconnus, on emploiera les
majuscules X, Y et Z.
Lorsquil est nécessaire de préciser la dimension
dune matrice, on écrit Amn pour représenter une
matrice A de dimension m n.
Lensemble des matrices de dimension mxn sera
noté Mm n. Ainsi, on notera M2 3 lensemble de
toutes les matrices de dimension 2 3.
On peut également représenter par (aij) ou (aij)m
n une matrice de dimension m par n dont les
éléments sont les aij.
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Égalité de matrices
DÉFINITION
Deux matrices Am n et Bp q sont égales si et
seulement si 
les matrices ont la même dimension (m p et
n  q)
les éléments de même adresse sont égaux (aij
bij, pour tout i et pour tout j).
23 12
14 27
19 21
23 12
14 27
19 21

2 3
2 3
On emploiera le signe dégalité usuel pour
légalité des matrices.
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Opérations sur les matrices
On peut définir différentes opérations sur les
matrices. Laddition et la multiplication par un
scalaire sont les deux premières que nous verrons.
Mise en situation
Considérons à nouveau les matrices des ventes
dans les parcs de la municipalité. En
additionnant les éléments de même adresse entre
eux, on obtient la somme des ventes par jour pour
chaque sorte de jus durant la fin de semaine
considérée.
27 36 39
43 68 55
33 58 49
38 46 42
63 72 63
43 65 58
65 82 81
106 140 118
76 123 107
B M


On doit donc additionner les éléments de même
adresse entre eux. Cela nous indique comment
définir laddition.
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Addition de matrices
DÉFINITION
Soit A  (aij) et B  (bij), deux matrices de
même dimension mn.
La somme de ces matrices, notée A  B, est une
matrice de dimension mn
définie par 
A B (aij) (bij) (aij bij)
4 3
2 5
9 4
3 8
7 2
2 1
7 5
5 7
7 5


2 3
2 3
2 3
Cette définition signifie que la somme des
matrices est obtenue en additionnant les éléments
de même adresse entre eux. Cela respecte la
structure de linformation véhiculée par les
matrices.
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Multiplication par un scalaire
Mise en situation
Supposons que le tableau ci-contre donne les prix
de vente et les coûts unitaires des jus de nos
marchands ambulants.
À partir de ce tableau, on peut écrire la matrice
des prix.
Supposons que le propriétaire de lentreprise
envisage de majorer ses prix de 20 . On peut
déterminer la nouvelle matrice des prix par une
opération sur la matrice.
1,2 1,00 1,2 1,40 1,2 1,20
1,20 1,68 1,44
1,00 1,40 1,20


1,2
P
1,2
3 1
3 1
3 1
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Multiplication par un scalaire
DÉFINITION
Soit A (aij), une matrice de dimension m n et
k, un scalaire (nombre réel). 
La multiplication de la matrice A par le scalaire
k donne une matrice notée kA
et définie par légalité 
kA k(aij) (kaij)
Cette définition signifie que chaque élément de
la matrice A est multiplié par le scalaire k.
4k 3k
6k 4k
2k 5k
4 3
2 5
6 4

k
k
A
2 3
2 3
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Transposition dune matrice
Considérons à nouveau le tableau donnant les prix
de vente et les coûts unitaires des jus de nos
marchands ambulants et la matrice véhiculant
cette même information.
On peut également transmettre cette information
par le tableau et la matrice ci-dessous.
Les matrices C et D sont dites matrices
transposées lune de lautre.
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Transposition dune matrice
DÉFINITION
Soit A (aij), une matrice de dimension m n.
On appelle matrice transposée de A, notée At, la
matrice de dimension n m dont la ie colonne est
la ie ligne de la matrice A pour
i  1, 2, ..., m.
4 2 6
3 5 4
4 3
2 5
6 4
A
A t
2 3
3 2
La matrice transposée de la matrice A  (aij)m n
est donc la matrice définie par At (bij)n m,
où bij aji.
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Exercices
Trouver les éléments de la matrice
Cliquer pour la réponse.
Calculer 4B 2C
Bt Ct
Calculer 2B
3C
Cliquer pour les réponses.
Cliquer pour les réponses.
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Vocabulaire
Avec les matrices, on utilise un vocabulaire
descriptif.
Matrice nulle  matrice dont tous les éléments
sont nuls.
Matrice carrée  matrice dont le nombre de lignes
est égal au nombre de colonnes. On dit quelle
est dordre n, où n est le nombre de lignes et de
colonnes.
Dans une matrice carrée, les éléments
a11a22a33ann forment la diagonale principale.
Lautre diagonale est appelée diagonale
secondaire.
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Matrices particulières
Matrice triangulaire supérieure  matrice carrée
dont tous les éléments sous la diagonale
principale sont nuls.
Matrice triangulaire inférieure  matrice carrée
dont tous les éléments au-dessus de la diagonale
principale sont nuls.
Matrice diagonale  matrice carrée dont tous les
éléments hors de la diagonale principale sont
nuls.
Matrice scalaire  matrice diagonale dont tous
les éléments non nuls sont égaux.
Matrice identité  matrice scalaire dont le
scalaire est 1. On la représente par I.
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Matrices particulières
Matrice symétrique  matrice carrée qui est sa
propre transposée At A
Matrice antisymétrique  matrice carrée A dont la
transposée est A At A
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Propriétés des opérations
Pour toute matrice A, B et C Î Mm n et pour
tout scalaire p et q Î  R, les propriétés
suivantes sappliquent 
1. Fermeture de laddition sur lensemble des
matrices
A B Î  Mm n
2. Commutativité de laddition
A B B A
3. Associativité de laddition des matrices  
A (B C) (A B) C
4. Existence dun élément neutre pour
laddition des matrices
Il existe, dans Mm n, une matrice nulle,
notée 0, telle que   A 0 0 A A
5. Existence dun élément inverse pour
laddition 
Pour toute matrice A Î Mm n, il existe, dans
Mm n, une matrice opposée, notée A, telle
que  A (A) (A) A 0
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Propriétés des opérations
Pour toute matrice A, B et C Î Mm n et pour
tout scalaire p et q Î  R, les propriétés
suivantes sappliquent 
6. Fermeture de la multiplication par un
scalaire sur lensemble des matrices
pA Î  Mm n
7. Distributivité de la multiplication dune
matrice sur une somme de scalaires  
(p q)A pA qA
8. Distributivité de la multiplication par un
scalaire sur une somme de matrices  
p(A B) pA pB
9. Associativité de la multiplication dune
matrice avec le produit de scalaires 
(pq)A p(qA)
10. Élément neutre pour la multiplication dune
matrice par un scalaire
1A A
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Conclusion
Les matrices sont de nouveaux objets
mathématiques et lusage lorsquon aborde létude
de nouveaux objets est
de définir à quelles conditions deux tels
objets sont égaux
de définir les opérations sur ces objets
de déterminer les propriétés de ces opérations.
Les propriétés des opérations sont données en
page 7 du volume.
À partir des matrices véhiculant de
linformation, comme les ventes par jour de la
mise en situation, nous avons vu quil est
possible, par les opérations daddition et de
multiplication par un scalaire, de tirer des
informations supplémentaires des données de
départ.
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Lecture
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 10.1, p. 297 à 303.
Exercices
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 10.2, p. 304 et 305.