MATRICES

1
MATRICES

• CONTENIDO DEL TEMA
• Concepto de matriz de orden n x m
• Clases de matrices según su forma
• Tipos de matrices cuadradas
• Suma de matrices
• Producto de un escalar por una matriz
• Producto de matrices
• Transposición de matrices. Matriz simétrica y
  hemisimétrica 

2
Definición

• La matriz se usa en la vida cotidiana, en juegos,
  como el de barquitos, en una clasificación de
  una competición deportiva o en la cotizaciones de
  la bolsa.
• En estas tablas numéricas, cada valor tiene un
  significado preciso, y para mayor facilidad de
  consulta, los números están repartidos en filas y
  columnas.
• Por conclusíón una matriz es la ordenación de m
  x n, de elementos ordenados en filas y columnas.

3
1. Concepto de matriz m x n.

• Se llama matriz de orden m x n a la aplicación
  que a cada elemento del producto cartesiano M x N
  le asigna un número real
• En otras palabras, a cada par ordenado de números
  naturales se le asigna un número real. Así
  tenemos un conjunto de m x n números reales que
  se acostumbra a escribir distribuidos en m filas
  (horizontales) y n columnas (verticales e
  introducidos entre paréntesis.

Diapositiva siguiente
4
Representación de una matriz m x n

•  
•  
• cada número real ocupa una posición determinada
  por los dos subíndices. El primer subíndice
  indica el número de la fila y el segundo el
  número de la columna.

5
Suma de matrices

• Solo se pueden sumar dos matrices si tienen las
  mismas dimensiones. 
• Dadas dos matrices de orden n x m
•   
•  
• Su suma es de dimensión
•  
• Cada elemento se obtiene sumando los elementos de
  las matrices sumandos que están en la misma
  posición.
• Ejemplo

6
Calcular A B y A B  
     
7

• la suma de matrices presenta una estructura de
  grupo abeliano, cumple las cuatro propiedades
  siguientes
• Asociativa (AB)CA(BC)
• Conmutativa ABBA
• Elemento neutro es la matriz nula
• Elemento opuesto Para cada matriz A existe su
  opuesta (-A), que se obtiene cambiando en A los
  signos de todos sus elementos, tal que A(-A)N.

8
2. Clases de matrices según su forma.

• matriz fila( 1x n)
•  
• matriz columna (m x 1)
• matriz cuadrada, nm
• Matriz diagonal,escalar, unidad, nula y
  triangular

9

• Matriz diagonal Matriz escalar
• 
  
•  
• M. unidad M. triangular M. nula
•  

10
1. Producto de un escalar por una matriz.

• Dada una matriz A(aij) de orden n x m y un
  número real k (escalar), se llama matriz producto
  de A por k a la matriz de orden n x m cuyo
  elemento genérico es de la forma
• Ejemplo

11
Producto de un escalar por una matriz  
12
Propiedades del producto de un escalar

• Distributiva respecto a la suma de escalares
  (kk')AkAk'A
• Distributiva respecto a la suma de matrices
  k(AB)kAkB
• Asociativa mixta (kk')Ak(k'A)
• Producto por el elemento unidad de R 1.AA

13
1. Producto de matrices.

• Dos matrices sólo son multiplicables si el número
  de columnas de la primera es igual al número de
  filas de la segunda, si son de órdenes n x m (la
  primera) y m x p (la segunda, se obtiene una
  matriz de orden n x p.

14
Propiedades del producto de matrices

• Asociativa (AB)CA(BC)
• No es conmutativa ya que, en general,
• Matriz unidad Toda matriz cuadrada A de orden n
  multiplicada por la matriz identidad del mismo
  orden queda inalterada, o sea AIA
• El producto de matrices no es simplificable,
  ABAC no implica que BC.
• El producto de matrices es distributivo respecto
  de la suma, o sea A(BC)ABAC.
•  

15
1. Trasposición de matrices. Matriz simétrica y
hemisimétrica.

• Se llama matriz traspuesta de la matriz A de
  orden n x m y la representamos por A a la matriz
  de orden m x n que se obtiene cambiando las filas
  por las columnas.

16
Propiedades

• La traspuesta de la traspuesta es la matriz
  inicial, (A)A
• La traspuesta de una suma de matrices es la suma
  de las traspuestas, (AB)tAtBt.
• La traspuesta de un producto de matrices es el
  producto de las traspuestas en orden inverso, o
  sea (AB)tBtAt
• Se llama matriz simétrica a una matriz cuadrada
  en la que los elementos simétricos respecto de la
  diagonal principal son iguales, esto es cuando
  aijaji.

17

• En una matriz simétrica, la traspuesta coincide
  con la propia matriz.
• Se llama matriz hemisimétrica a una matriz
  cuadrada en la que los elementos simétricos
  respecto a la diagonal principal son números
  opuestos, esto es cuando aij-aji
• En una matriz hemisimétrica los elementos de la
  diagonal principal han de ser nulos.

18
 1. Potencia de una matriz cuadrada.

• Es el producto matricial de n matrices iguales a
  A, esto es