A Boltzmann-egyenlet megold

1
A Boltzmann-egyenlet megoldása nem-egyensúlyi
állapotban
Amennyiben S az egyensúlyi helyzethez közeli
állapotban van, felteheto, hogy lokális egyensúly
áll fenn minden pontban
Fizikai értelemben
Matematikai értelemben
A lokális egyensúly pedig abból áll, hogy n, ? és
u függ a helytol és az idotol. Mivel a fenti
átlagok v-tol függetlenek
viszont
Erre bevezetjük a D operátort
2
Ha a lokális egyensúly fennáll, akkor az elozo
egyenlet jobbol- dala kis szám. Ebbol viszont
az következik, hogy a bevezetett helyfüggo
átlagmennyiségek közelítoleg kiegyenlítik az
egyen- súlyi állapotra levezetett
mérlegegyenletet. Ehhez értékeljük ki a lokális
hoáramot és a nyomást
Ez utóbbit vessük össze a nyomás definíciójával
3
A Boltzmann-eloszlásban öt szabad állandó van,
ezek kifejez-hetoek a lokális (sebességekre
vonatkozó) momentumokkal. Nézzük a nyomástenzor
elemeit
Mivel
Ami egy összefüggés a lokális homérséklet, nyomás
és részecske-szám között-lokális egyensúly
feltételezése mellett.
4
A vizsgált közelítésben a mérlegegyenletek
Következtetés sohasem áll be az egyensúly!!! (az
anyag- és energia áramok nem csökkennek az
idovel) Ezzel a 0. rendu közelítés tárgyalását
befejeztük.
5
Az elso és harmadik egyenletbol következik, hogy
egy áramvonal Mentén csak adiabatikus folyamat
mehet végbe. Írjuk az elso és Harmadik egyenlet
az alábbi alakba
Itt beírtam, hogy cv3/2. A két egyenletet
összeadjuk és felhasználjuk az alábbi
összefüggést P??/m, amivel
Megmutatható, hogy a suruség is, a nyomás is
kielégít egy lineáris hullámegyenletet, azaz,
nincs gyengítés.
6
Az elso-rendu közelítésben feltesszük, hogy
Elso lépésként kiszámítjuk az ütközési integrált
(g2 elhagyásával)
A második tag részletezve
7
Amivel a Botzmann-féle transzportegyenlet így
írható
Amennyiben gltltf(0), és f(0)-ban csak valamely L
távolság után látunk észreveheto változást, az
alábbi összefüggést kapjuk
Vagy
Ebbol az látható, hogy f(0) akkor jó közelítés,
ha az a karakterisz- tikus L távolság, amelyen a
lokális suruség, homérséklet és átlag- sebesség
megváltozik sokkal nagyobb, mint a szabad úthossz.
8
A, Hilbert módszere
Az elozoekben bemutatott közelítések ad hoc
jelleguek. Kívá- natos egy szisztematikus és
általános módszer kidolgozása. Ez egyben leírja,
hogyan kapcsolódik a molekulák dinamikája
(a transzportelmélet) a gáz vagy folyadék
egészének viselkedéséhez. Jelölés az ütközési
integrálra bevezetjük a
jelölést, explicit módon kifejezve, hogy az
ütközési integrál nem lineáris. A megoldandó
egyenletben az ütközési integrálba
becsem- pésszük a dimenziótlan e paramétert, ami
a szabad úthosszt méri alkalmas egységekben. A
megoldandó egyenlet
9
Mivel D-ben van ido szerinti deriválás ezért kell
kezdeti felté- tel, aminek súlya a megoldásban
tt/e idoállandóval expo- nenciálisan csökken. A
hely szerinti deriválás miatt egy véges közeg
határán peremfeltételt kell eloírni. A
peremfeltétel súlya a megoldásban a felülettol
távolodva csökken. Nyomáshullámok esetén r, ? és
u szakadásos függvény lehet. Az említett
tranziens jelenségek leírásához is szükség van
egy pontos elméletre.
Keressük a megoldást
alakban.
10
A keresett forma egy fajta aszimptotikus
sorfejtés. Az elso három egyenlet
Az elso egyenlet adja az egyensúlyi megoldást.
Bevezetjük az L lineáris operátort
Jelölje N az L operátor nullterét, amit a
megmaradó mennyiségek és az egyensúlyi megoldás
meghatároznak ?if0(r,v,t) egy bázis az N térben,
itt i1,,4 a megmaradó mennyiségeknek
megfeleloen.
11
Bevezetjük az N-térre vetíto P projektor
operátort. Jelölje R az L operátor
értékkészletét, R-ben olyan F függvények található
ak, amelyekre
i1,,4.
Azaz, az R térbeli függvények nem adnak járulékot
a megmaradó mennyiségekhez. A megoldás minden
komponensét felbontjuk egy N-beli Y-re és egy
R-beli F-re
?n -a hidrodinamikai komponens, Fn-a kinetikus
vagy transzport komponens, továbbá a
hidrodinamikai komponens kifejezheto
az egyensúlyi állapothoz tartozó megoldással.
Ebben szerepelnek a (rn, un, ?n) ismeretlen
függvények.
12
Most visszatérünk az egyenletek megoldásához. Az
egyenletek alakja LFnqn. Ez a Fredholm
alternatíva szerint akkor oldható meg, ha a
forrás ortogonális a homogén egyenletre. A
megoldást egyszeruen L inverzével (tehát csak
formálisan) fogjuk felírni
Egyenlet f0-ra
Forrásos egyenlet F1-re
Forrásos egyenlet Y1-re
Forrásos egyenlet F2-re
Forrásos egyenlet Y2-re
13
Célszeru a hidrodinamikai tagot az alábbi alakban
keresni
Ne felejtsük el, hogy a P projektor az 5
megmaradó mennyiségnek megfeleloen 5 integrál
eltunését adja meg. Ezért az elso sárga egyenlet
5 csatolt diff. egyenletet jelent, amit meg lehet
oldani (r0, u0, ?0)-ra. A második sárga egyenlet
újra 5 csatolt diff. Egyen- letet jelent (r1, u1,
?1) -re, stb. A két fekete egyenlet lokális (L
csak a sebességekre hat) az r és t változókban.
Peremfeltételek és kez- deti értékek.
14
B, Chapman-Enskog módszer

• Tekintsük a Hilbert- módszer sárga egyenleteit és
  a forrástagok-
• ban vegyük figyelembe az e-ban magasabb rendu
  tagokat is,
• pontosabban
• a keresett függvény legyen fn
• az elso egyenlet baloldalához társítsuk a második
  egyenlet
• jobboldalát, és írjuk ki, hogy az e-rendu.
• Ezt ismételjük meg a második és harmadik sárga
  egyenlettel. A
• kapott egyenletek

15
Az elso egyenlet a Navier-Stokes egyenletrendszer
amibol ?0, ?0, u0 meghatározható
viszkozitás
nyomástenzor
Hovezetési eh
16
A Hilbert-módszernek és a Chapman-Enskog
egyenleteknek több változata is használatos. Az
itt megadott változat megtalálható J.
Fertziger, H. Kaper Mathematical Theory of
Transport Processes in Gases, North-Holland,
Amsterdam, 1972
A sorfejtésben szereplo e paraméter egyik
értelmezése Knudsen-szám
17
C, Az ütközési integrál linearizálása
Tekintsünk egy ritka gázt, nem távol az
egyensúlyi állapotától. Ekkor a suruségfüggvény
jó közelítéssel
Ahol a második tag kicsi, a négyzete elhagyható.
18
Ez a lineárizált Boltzmann-egyenlet. A részecskék
közötti poten- ciálból kiszámítható s. A
neutrontranszporthoz hasonló alakra hozva
Az elso tag divergál, ha a potenciál
alakú.
Ezért fel szokás tételezni, hogy a potenciál egy
távolság után levág. Az s kitevotol függ, hogy
az ütközési suruség hogyan változik a sebességgel.
Néhány egyéb lineáris ütközési integrál
19
Diffúzió közegben
Amennyiben a makroszkópikus hkrm független a
fázistérbeli suruségtol az egyenlet lineáris.
Kollektív jelenségek
Jellemzoen nemlineáris
20
A szerkezetvizsgálat többnyire lassú (termikus)
neutronokkal történik. Van Hove kimutatta, hogy
ebben az esetben a szórás magfüggvénye két
részbol áll
G(r,t)d3r--annak val.sége, hogy amennyiben egy
neutron található az origóban t0-kor, akkor egy
másik mag található t-kor az r körüli d3r-ben
. Gs(r,t)d3r--annak val.sége, hogy amennyiben egy
neutron található az origóban t0-kor, akkor egy
másik, ugyanolyan mag található t-kor az r
körüli d3r-ben .
21

• A termikus neutron tehát nem egyes atomokról
  szóródik, hanem
• csoportokról, aggregátumokról. Ennek tömege a
  neutron tömegé-
• nek sokszorosa, ezért rugalmas szóráskor
  energiaváltozás
• lényegében nincs. Ezért a következo szórástípusok
  lehetségesek
• rugalmas, inkoherens szórás
• rugalmatlan inkoherens szórás
• rugalmas koherens szórás
• rugalmatlan koherens szórás.

inkoherens
koherens
22
Töltött részecskék transzportja
Az elektron az elektronhéjjal is, a maggal is
kcshat. A kschatás távolsága elvileg végtelen.
Következmény lényegében folytonos, gyenge
kcshatás (elektronoktól), idonként lórúgás-szeru
kcshatás magoktól. A lineáris Boltzmann-egyenletbe
n nem ismertek a mag- függvények, ezért a
Monte-Carlo módszer használatos.
Foton transzport
A kcshatás erosen függ a foton energiájától,
ezért a szórás erosen nemlineáris. A
makroszkópikus hkrm folytonos függvénye a
helynek, ahogyan az összetétel változik. A
szabadúthossz erosen függ a hullámhossztól.