CAMPO GRAVITATORIO

1
CAMPO GRAVITATORIO

• Física 2º Bachillerato

2
LA CONCEPCIÓN PITAGÓRICA DEL UNIVERSO Y EL MODELO
ARISTOTÉLICO
? La escuela pitagórica explicó la estructura del
universo en términos matemáticos
? El gran fuego central, origen de todo, se
relacionaba con el Uno, origen de los números
? A su alrededor girarían la Tierra, la Luna, el
Sol y los planetas
? El periodo de revolución de la Tierra en torno
al fuego central era de 24 horas, a quien le
ofrecía siempre su cara oculta
? Los periodos de la Luna y el Sol eran un mes y
un año respectivamente
? El universo concluiría en una esfera celeste de
estrellas fijas, y más allá se encontraba el
Olimpo
? El número de cuerpos que formaban el universo
era de 10 (obsesión por los números)
? Como solo observaban nueve, suponían que el
décimo estaba situado entre la Tierra y el gran
fuego, al que llamaron Antitierra
3
EL MODELO DE ARISTÓTELES
? El universo estaba constituido por dos regiones
esféricas, separadas y concéntricas
? La Tierra que ocupaba el centro del universo,
era la región de los elementos, fuego, aire, agua
y tierra
? Más allá de la esfera lunar se encontraba la
región etérea de los cielos, cuyo único elemento
era la incorruptible quinta esencia
? Los movimientos de todos los astros situados en
esferas concéntricas con la Tierra eran perfectos
? El universo concluía con la esfera de las
estrellas fijas
4
EL GEOCENTRISMO DE PTOLOMEO
? Vivió en Alejandría en el siglo II y fue el más
célebre astrónomo de la antigüedad
? Las causas más importantes de los modelos
geocéntricos frente a los heliocéntricos fueron
- La falta de cálculos y predicciones
cuantitativas sobre las trayectorias de los
planetas
- Si la Tierra no fuese el centro del universo, a
lo largo de su recorrido habría estrellas que
tendrían que verse bajo distintos ángulos. Este
fenómeno se denomina paralaje de las estrellas
fijas
? Ptolomeo justificó su modelo calculando los
movimientos planetarios y prediciendo eclipses de
Sol y de Luna
5
? Las estrellas se describen como puntos en la
esfera celeste que giran en torno a la Tierra y
mantienen las distancias fijas entre ellos, lo
que justifica que pertenezca a una única esfera
hueca
? El Sol y la Luna presentan un movimiento
diferente
? Ptolomeo introdujo la excentricidad de las
trayectorias, es decir, un desplazamiento del
centro de la órbita (Ex) respecto al centro de
la Tierra
?t
? La velocidad angular de las trayectorias debía
se constante respecto de un punto fuera del
centro de la trayectoria, punto que denominó
ecuante (Ec)
Ec
Ex
? Estos ajustes explican las diferencias de
brillo y tamaño que se observan en el Sol y la
Luna, y los cambios de velocidad del Sol a lo
largo de su trayectoria
6
? Ptolomeo observó que los planetas realizaban
movimientos retrógrados, volviendo sobre su
trayectoria formando lazos en la esfera celeste
? Para justificarlo utilizó un movimiento
compuesto por dos rotaciones
? El planeta giraba alrededor de un punto que era
el que en realidad rotaba con respecto a la Tierra
? La órbita alrededor de la Tierra se denomina
eclíptica y la del planeta epiciclo
? Un modelo sencillo de epiciclos no daba
respuesta a las caprichosas órbitas de algunos
planetas, por lo que hubo que introducir varios
epiciclos, e incluso epiciclos dentro de otros
epiciclos
7
COPÉRNICO.
? Desde la Tierra se apreciaba que planetas como
Mercurio y Venus, que están más cercanos al Sol,
tenían un brillo variable a lo largo del año, lo
que parecía indicar que las distancias con
respecto a la Tierra variaban y por tanto no
podían girar alrededor de esta se llegó a la
conclusión que todos los planetas tenían que
girar alrededor del Sol
? Este planteamiento le permitió justificar el
movimiento retrógrado de los planetas para el que
Ptolomeo había introducido los epiciclos
8
GALILEO
? Galileo consiguió observar las fases de Venus
con la ayuda de un telescopio, convirtiéndose así
en el primer defensor a ultranza del sistema
copernicano
? Encontró infinidad de estrellas nunca vistas
hasta entonces y llegó a descubrir la deformidad
de la Luna y su superficie rugosa
? En 1610 Galileo descubrió los satélites de
Júpiter, confirmando así que la Tierra no era el
centro del universo
? En 1632 publicó en Florencia su obra Diálogo
sobre los dos grandes sistemas del mundo
? Un año después fue procesado por la Inquisición
9
LAS LEYES DE KEPLER.
? Tras cuatro años de observaciones sobre Marte,
llegó a la conclusión de que los datos colocaban
las órbitas ocho minutos de arco fuera del
esquema circular de Copérnico
? Comprobó que este hecho se repetía para todos
los planetas
? Descubrió que la elipse era la curva que podía
definir el movimiento planetario
10
? Kepler observó que la velocidad de los planetas
dependía de su posición en la órbita
? El módulo del producto vectorial de 2 vectores
es el área del paralelogramo que forman.
Para un triángulo
siendo dA/dt la velocidad areolar
11
? Sirvió como base de la ley de Newton de la
gravitación universal, y permitió calcular la
masa de los planetas
? Cada planeta, parecía tener su órbita propia y
su velocidad independiente del resto. Buscó la
regla y encontró la solución en las medidas de
Tycho Brahe
? Esta ley muestra la relación entre los tamaños
de las órbitas y el tiempo empleado por los
planetas en recorrerlas
? La conservación de la dirección y el sentido
obliga a que los planetas siempre giren en el
mismo sentido y en órbitas planas
? La conservación del módulo justifica la ley de
las áreas
12
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN EL CAMPO
GRAVITATORIO
? Un campo de fuerzas es central cuando, en
cualquier punto de él, la fuerza ejercida sobre
un cuerpo está en la misma recta que une el
cuerpo con el origen del campo y su valor solo
depende de la distancia entre ambos
13
Representa el área del paralelogramo formado por
los dos vectores que constituyen el producto
vectorial
2º LEY DE KEPLER
14
NEWTON Y LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
? La atracción de la esfera actúa como si toda su
masa estuviese concentrada en el centro
? Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la
fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m situado
a una altura h sobre su superficie responde a la
ley de Newton
La fuerza gravitatoria con que se atraen dos
cuerpos es directamente proporcional al producto
de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que les separa
? A partir de esta ley, Newton pudo explicar
fenómenos tales como
- Las protuberancias de la Tierra y de Júpiter a
causa de su rotación
- El origen de las mareas
- Las trayectorias de los planetas
- La variación de la gravedad con la altura
- El cambio en el eje de rotación de la Tierra,
etc
15
? H. Cavendish verificó experimentalmente el
valor de la constante G, y a partir de su valor,
se puede deducir la tercera ley de Kepler de la
gravitación universal de Newton
? En el sistema formado por un planeta en su giro
en torno al Sol, la única fuerza que mantiene a
los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta
? Despejando v resulta
Que es la velocidad de un planeta o satélite
girando en una órbita de radio r alrededor de un
cuerpo de masa M
? Como v es aproximadamente constante
? Igualando (1) y (2)
? Este resultado permite calcular la masa de
cualquier planeta conocido el período y el radio
de uno se sus satélites
? Si M es la masa del Sol, el valor de la
constante coincidirá con el valor que calculó
Kepler
16
Deducción de la ley de Newton a partir de las
leyes de Kepler
? Se supone que las órbitas descritas por los
planetas en torno al Sol son circulares, sin que
ello suponga cometer un gran error puesto que en
realidad son prácticamente así
? Su aceleración centrípeta a ?2 R
Ley de la gravitación universal
? Dicha constante incluye la masa del Sol es
decir cte GM ?
17
EL CAMPO GRAVITATORIO
? La ecuación de Newton proporciona la expresión
de la fuerza entre dos masas
? Para explicar la acción que una masa ejerce
sobre otra situada a cierta distancia, se
introduce el concepto de campo de fuerzas
? La masa m hace que las propiedades del espacio
que la rodea cambien, independientemente que en
su proximidad se sitúe otra masa m
18
? Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone
la masa concentrada en el centro de masas, y
además se considera para las distancias que r
RT h
19
? Los campos de fuerzas se representan mediante
líneas de campo
? En el campo gravitatorio, las líneas de campo
como es un campo atractivo se dirigen hacia las
fuentes del campo
? Módulo se indica mediante la densidad de
líneas de campo. Si se dibujan más líneas de
campo se trata de un campo más intenso
? Dirección del campo en un punto es la tangente
a la línea en dicho punto
? El sentido viene indicado por la flecha, y es
el que seguiría la unidad de masa colocada en
dicha línea por efecto de las fuerzas del campo
20
Principio de superposición
? La intensidad del campo en un punto P, creado
por un conjunto de masas puntuales, se obtiene
calculando la intensidad de campo creada por cada
una de las partículas y sumando los resultados
parciales
? También se puede aplicar al cálculo de la
fuerza ejercida sobre cierta masa por la acción
de un conjunto discreto de ellas
21
CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS
? Sea una partícula de masa m situada en el seno
de un campo de fuerzas
22
? En un campo de fuerzas conservativo, el
resultado de la integral del trabajo realizado
para ir desde A hasta B puede expresarse como una
nueva función, Ep que depende solo de los puntos
inicial y final
? Si el campo de fuerzas es conservativo,
? Si se invierte el segundo camino,
23
EL CAMPO GRAVITATORIO ES UN CAMPO CONSERVATIVO
? Las fuerzas gravitatorias creadas por una
partícula m que actúan sobre la partícula m, son
radiales y con sentido hacia m
? Cualquier camino de A hasta B se descompone en
suma de arcos circulares centrados en m y de
desplazamientos radiales
? El trabajo por el arco circular es nulo, por
ser la fuerza perpendicular al desplazamiento
? El trabajo por el camino radial, es igual para
todos los caminos que se elijan entre A y B
? Si el campo es conservativo, la circulación a
lo largo de una línea cerrada es nula
? Para el campo de fuerzas gravitatorio
24
ENERGÍA POTENCIAL
? Una característica de los campos conservativos
es que puede definirse una magnitud denominada
energía potencial
? Los cambios producidos en la energía potencial,
indican el trabajo realizado por las fuerzas del
campo
? Este trabajo no depende del camino recorrido
sino de las posiciones inicial (A) y final (B) en
las que se encuentra el cuerpo
? Si se integra la fuerza del campo entre dos
puntos A y B del campo gravitatorio, se obtiene
la diferencia de potencial
25
? La Energía potencial gravitatoria es cero
cuando r tiende a infinito, y por tanto C 0
Cuando se trata de energías potenciales en
realidad siempre se está calculando su diferencia
entre dos puntos, tomando como referencia (valor
cero) uno de ellos
En el caso del campo gravitatorio terrestre y
para distancias cercanas a su superficie se puede
tomar como referencia la propia superficie de la
Tierra. De ahí sale la expresión Epm.g.h
26
Si estamos cerca de de la superficie de la Tierra
o sobre ella h es mucho menor que RT y por tanto
despreciable frente a ella
No se puede resolver un problema usando dos
sistemas de referencia diferentes, así que mgh
solo se emplea si todos los puntos del problema
están muy cerca de la superficie de la Tierra y
no hay ninguno en el espacio exterior.
POTENCIAL GRAVITATORIO
? Por ser el campo gravitatorio conservativo, se
puede definir una magnitud que depende únicamente
del cuerpo m1 que crea el campo y no del m2 que
se coloca como testigo
27
? Se obtiene de la misma forma que en el caso de
la energía potencial
Potencial es energía potencial por unidad de masa
introducida en el campo
28
Forma de las trayectorias
? Dado que dentro de de un campo de fuerzas
gravitatorio la energía potencial de un cuerpo
siempre es negativa, y su energía cinética
siempre positiva, la ET de ambas podrá ser
negativa, nula o positiva
? Atendiendo al signo de dicha energía, la
trayectoria descrita por el cuerpo, será una
circunferencia, una elipse, una parábola o una
hipérbola
? Si es la mitad de la Ep
? Si es mayor que la anterior pero menor que cero
ELIPSE
? Si ET 0 ? Ec Ep
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA
? Si ET gt 0 ? Ec gt Ep
29
SATÉLITES ARTIFICIALES ENERGÍA TOTAL Y ENERGÍA
DE SATELIZACIÓN
E0 Ef ? Ec,0 Ep,0 Ec,f Ep,f
30
? A partir del valor de la Ec de satelización, la
v0 de lanzamiento necesaria para ponerlo en
órbita circular desde la superficie terrestre, es
? Para que el satélite escape de la atracción
terrestre, supondremos que se marcha al infinito,
(r es infinito), y la energía de escape será
? La velocidad de escape será