EVARISTE GALOIS

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(No Transcript)
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• Vita
• Studi
• Morte
• Memorie
• Algebra pura
• Teoria di Galois
• Dimostrazione

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• Evariste Galois nasce a Bourg-la-Reine
  nellottobre del 1811 ragazzo prodigio, poco più
  che adolescente riuscì a determinare un metodo
  generale per scoprire se una equazione è
  risolvibile o meno con operazioni quali somma,
  sottrazione, moltiplicazione, divisione,
  elevazione di potenza ed estrazione di radice

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Questo studente dimostra una netta superiorità
su tutti i colleghi."(Louis Richard)

• Nel 1828 cercò di essere ammesso allEcolè
  polytechnique ma fallì l'esame d'ammissione.
  Ritentò l'anno successivo ma venne nuovamente
  bocciato, sempre all'esame d'ammissione. Leggenda
  vuole che considerasse gli esercizi di matematica
  banali e non interessanti e che quindi si
  rifiutasse di risolverli esasperato
  dall'esaminatore che gli voleva imporre di
  risolvere quegli esercizi, egli gli avrebbe
  scagliato contro il cancellino.

Emesso dalla Francia nel novembre 1984
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• Galois morì durante un duello, combattuto per
  salvare l'onore di una donna che il giovane
  amava. Vi sono altre versioni che accusano la
  polizia segreta del Re della responsabilità del
  duello affermando che la motivazione dell'onore
  fu solo una copertura per nascondere un omicidio
  politico.

Quale sia la vera versione non è noto. È certo
invece che Évariste fosse sicuro di morire
durante quel duello, al punto che passò tutta la
notte precedente a cercare di sistemare i suoi
lavori matematici e in questi vi sono delle
annotazioni in cui afferma che gli manca il tempo
per un'esposizione più completa e chiara.
Il 30 Maggio 1822 di prima mattina veniva colpito
da un proiettile all'addome e il giorno seguente
moriva (probabilmente di peritonite) all'ospedale
di Cochin. Le sue ultime parole, dette a suo
fratello Alfred furono Non piangere! Ho bisogno
di tutto il mio coraggio per morire a vent'anni.
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"In Francia, verso il 1830, apparvenel
firmamento della matematica pura un nuovo astro,
d'incomparabilesplendore... Evariste
Galois."(Felix Klein)

• La memoria di Galois sulla teoria delle equazioni
  fu proposta diverse volte per la pubblicazione,
  ma non venne mai pubblicata mentre lui era in
  vita.
• Inizialmente il matematico fece pervenire la sua
  memoria a Cauchy. Questi la esaminò e gli disse
  di modificarla dato che coincideva in alcuni
  punti con un lavoro di Abel. Galois modificò la
  memorie e la inviò a Fourier verso l'inizio del
  1830 per poter competere al Gran Premio indetto
  dall'Accademia.
• Nel gennaio 1831, Galois inviò al matematico
  Poisson un breve riassunto dei suoi lavori
  chiedendogli di presentare il suo lavoro
  all'Accademia. questi rifiutò il lavoro,
  affermando che l'esposizione non era chiara ed
  era impossibile analizzarne con chiarezza la
  rigorosità, e lo invitava a lavorare per rendere
  il lavoro più rigoroso e comprensibile.

I contributi matematici di Galois furono alla
fine pubblicati nel 1843 da Joseph Liouville che,
ricevuto il manoscritto, lo lesse attentamente e
lo sistemò per rendere l'esposizione più semplice.
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• In base al teorema fondamentale dell'algebra, o
  teorema di Gauss, un'equazione di grado enne può
  essere risolta per enne radici, quindi dovrebbe
  esistere una formula per calcolare le cinque
  radici di un'equazione di quinto grado... Eppure
  questa formula non si riusciva a ricavarla.
• Il grande matematico franco-piemontese
  Joseph-Louis Lagrange (1734-1813) aveva
  individuato un metodo generale per ricavare le
  formule risolutive per radicali di equazioni di
  ennesimo grado. Questo metodo riduce un'equazione
  di primo grado ad una semplice divisione,
  un'equazione di secondo grado ad una di primo,
  una di terzo ad una di secondo ed una di quarto
  ad una di terzo. Tuttavia, se applicato ad una di
  quinto la trasforma in una di sesto, e se
  applicato ad una di sesto la rende addirittura di
  decimo grado!
• Un matematico italiano, Ruffini, sul finire del
  Settecento aveva dato una dimostrazione piuttosto
  complessa, e poco elegante, del fatto che le
  equazioni di quinto grado non potessero essere
  risolte per mezzo di radicali. Alla stessa
  conclusione era giunto, nel 1824, il norvegese
  Niels Henrik Abel, il quale aveva inoltre
  ipotizzato che, non potendosi risolvere equazioni
  di quinto grado, non se ne potevano risolvere
  neppure di gradi superiori.

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• Galois decise che da allora in avanti avrebbe
  ricercato le condizioni necessarie e sufficienti
  a risolvere, per mezzo di radicali, equazione
  algebriche di qualsiasi grado. Iniziò, nel 1829
  (a diciassette anni e mezzo!!) a studiare quelle
  equazioni che avevano per grado un numero primo
  ben presto verificò e dimostrò che si potevano
  risolvere solo quelle di grado pari a due o tre,
  mentre per quelle di grado dal quinto in su non
  era possibile trovare una formula risolutiva per
  radicali.
• Evariste Galois riuscì, per primo nella storia
  della matematica, a dimostrare l'insolubilità per
  radicali di equazioni algebriche di grado
  superiore al quarto.

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• Se abbiamo un dato polinomio, può succedere che
  alcune delle radici del polinomio siano connesse
  da varie equazioni algebriche. Ad esempio, può
  succedere che per due delle radici, diciamo A e
  B, valga l'equazione A2 5B3 7. L'idea
  centrale di Galois è di considerare per queste
  permutazioni (o riarrangiamenti) delle radici la
  proprietà che ogni equazione algebrica
  soddisfatta dalle radici è ancora soddisfatta
  dopo che le radici sono state permutate.
  Un'importante clausola è che ci limitiamo ad
  equazioni algebriche nelle quali i coefficienti
  sono numeri razionali.
• L'insieme di queste permutazioni forma un gruppo
  di permutazione, chiamato anche gruppo di Galois
  del polinomio (sui numeri razionali).

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• Si consideri lequazione quadratica
• x2 - 4x 1 0.
• Usando la formula quadratica, troviamo che le due
  radici sono
• A 2 v3,   e
• B 2 - v3.
• Esempi di equazioni algebriche soddisfatte da A e
  B includono
• A B 4,   e
• AB 1.
• Ovviamente, in entrambe queste equazioni, se
  scambiamo A e B, otteniamo un'altra espressione
  vera. Ad esempio, l'equazione A B 4 diventa
  semplicemente B A 4.

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• Concludiamo quindi che il gruppo di Galois del
  polinomio x2 - 4x 1 consiste in due
  permutazioni la permutazione identica che lascia
  A e B inalterati, e la permutazione di
  trasposizione che scambia A e B.
• Una discussione simile si applica ad ogni
  polinomio quadratico ax2 bx c, dove a, b e c
  sono numeri razionali.