Ciencia y Revoluci

1
Ciencia y Revolución
Feria de Londres 1851
2
Ciencia y Revolución
Feria de Londres 1851
3
Ciencia y Revolución
Feria de Londres 1851
4
Ciencia y Revolución

• Francia después de Napoleón
• Luis XVIII moderado
• Carlos X autoritario huye
• Luis Felipe de Orleáns (1830-1848) rey del
  pueblo francés monarquía burguesa -
• Revolución 1848 2a república. Paris contra la
  provincia
• Elecciones con sufragio universal masculino
• Elegido Luis Napoleón Bonaparte
• Napoleón III (1848-1871) se vuelve dictador y
  emperador
• Renovación francesa y de Paris
• Pierde estruendosamente contra Prusia 1871
• 1871 Comuna de Paris
• 3a República (1871 1940) educación obligatoria

5
Nacionalismo en Italia

• Italia
• Unificación 1850- 1870
• Conde Camilo de Cavour ministro del reino de
  Sardeña y el Piemonte a través de alianzas con
  Napoleón III
• José Garibaldi héroe del pueblo
• Víctor Emmanuel

6
Nacionalismo en Alemania

• Alemania
• Resurge universidad alemana basada en modelo de
  Berlín (1810) luego copiada mundialmente
• Guillermo I de Prusia - Unificación 1862-1871
• Canciller Otto von Bismarck
• Serie de guerras y diplomacia

7
El rigor en el cálculo (Análisis)

• Antecedentes
• Problemas desde su nacimiento
• Cantidades infinitesimales e infinitas
• Curvas divididas en átomos o infinitesimales
  indivisibles
• Cantidades desvanecientes
• DAlembert apoya la noción de Newton sobre la de
  Leibniz como límite de un cociente pero habla de
  que 0/0 puede tomar cualquier valor.

8
El rigor en el cálculo (Análisis)

• Antecedentes
• Euler usa erróneamente la serie geométrica
• para afirmar que

9
El rigor en el cálculo (Análisis)

• Siglo XIX
• Carl Gauss (Brunswick 1777-1855)
• Bernardo Bolzano (Praga 1781-1848)
• Agustin Cauchy (Paris 1789-1857)
• Karl Weierstrass (Ostenfelde1815-1897)

10
El rigor en el cálculo (Análisis)

• Ampliación del concepto de función
• no necesita expresión analítica,
• puede estar definida a trozos, discontinua
• continua pero no diferenciable.
• Bolzano y Cauchy primeras definiciones de límite
• definen derivada como el límite que conocemos
  hoy.
• Cauchy define dy y dx
• Bolzano (1817) intenta demostrar el Teorema del
  Valor Intermedio (le falta definición de los
  reales).
• Cauchy insiste en definir la integral como límite
  de una suma
• Primera demostración del teorema Fundamental del
  Cálculo

11
El rigor en el cálculo (Análisis)

• Weierstrass
• Límite definición e-d (1841-56)
• muestra que una función continua alcanza su
  mínimo en un conjunto cerrado y acotado
• Series
• Gauss (1812) es de los primeros en investigar la
  convergencia de series, .
• Cauchy criterios de la raíz n-ésima y del
  cociente.
• Pero los matemáticos tendrán dificultad en dejar
  de usar series divergentes en sus pruebas hasta
  finales del siglo

12
Los números reales

• 1872
• Cantor define los reales como clases de
  sucesiones convergentes de números racionales.
• Weierstrass Enfoque similar al de Cantor
• Dedekind cortes de la recta
• Estos tres enfoques permiten ver a los reales
  como límites de sumas infinitas de la forma
• ? na110-1a210-2a310-3.
• donde los ai son dígitos y n es un entero
• (Los racionales tienen desarrollos periódicos)

13
Los números reales

• Georg Cantor (S.Petersburgo 1845-1918 Halle)
• 1873 Teoría de conjuntos de Cantor. Prueba que
• los racionales son enumerables
• los reales no son enumerables
• los algebraicos son enumerables (Liouville 1851
  había probado que existían los números
  trascendentes)
• 1880 Teoría de Conjuntos recibe oposición fuerte
  y enemistad de Leopold Kronecker

14
Movimiento Axiomático

• Problemas
• Geometrías no euclidianas
• No se han elaborado teorías rigurosas de los
  números naturales, enteros, fraccionarios
• Las teoría de los reales invocan conjuntos
  infinitos actuales
• La teoría de conjuntos tiene problemas de
  paradojas (Paradoja de Russell Barbero de
  Sevilla)
• Soluciones propuestas mejorar método de
  axiomatización de Euclides.

15
Axiomatización de los Naturales

• Giuseppe Peano (1858-1932)

16
Axiomatización de los Naturales

• Peano (1889)
• Términos básicos número natural, 1, sucesor
• 1 es un número natural
• Para todo número natural n existe otro número
  natural n llamado el sucesor de n.
• 1 no es el sucesor de ningún número natural
• Si n m entonces n m
• Si P es una propiedad tal que
• 1 tiene la propiedad P
• si n tienen la propiedad P entonces n tienen la
  propiedad P
• Entonces la propiedad P vale para todos los
  números naturales. (OJO infinito actual)

17
Axiomatización de los Naturales

• Peano (1889)
• Definición 1 Adición
• Para todo n, defina n1 n
• Para todo n, m, defina nm (nm) .
• Definición 2 Multiplicación
• Para todo n, defina n1 n
• Para todo n, m, defina nm nmn
• Definición de los enteros como parejas ordenadas
  de naturales.
• Definición de los racionales como parejas
  ordenadas de enteros

18
Movimiento Axiomático

• David Hilbert (Königsberg 1862-Göttingen1943)

19
Axiomatización de los Reales

• Hilbert (1897)
• Términos básicos número real, , , lt, 0, 1
• Clausura de y
• Conmutatividad de y
• Asociatividad de y
• Existencia de neutros
• Existencia de inversos
• Distributividad de y
• Axiomas de orden Tricotomía, transitividad,
  signos, aditividad
• Propiedad arquimediana
• Completitud

20
Axiomatización de la Geometría

• Peano (1894) Hilbert (1899) y otros
• Los términos básicos punto, línea, plano,
  pertenencia no deben definirse
• A Euclides le faltaron axiomas
• Interestancia y continuidad en las rectas
• Separación del plano y del espacio
• Medida de ángulos
• Lado-Angulo-Lado
• Apartarse de los dibujos
• Posibilidad de tomar otros axiomas para
  geometrías no euclidianas
• Modelos para geometrías no euclidianas basados en
  la geometría euclidiana (plano y disco
  hiperbólico de Poincaré)

21
Escuela Logicista

• Gottlob Frege (Alemania 1848-1925),
• Bertrand Russell (Gales1872-1970),
• Alfred N.Whitehead (Inglaterra 1861- USA 1947)

22
Escuela Logicista

• Frege, Russell, Whitehead
• La matemática se puede desarrollar toda a partir
  de la lógica utilizando las nociones de conjuntos
  que tuvieron que ser modificadas (tipos) por la
  paradoja de Russell
• Axiomatización de la lógica Términos básicos
• Cualquier cosa implicada por una proposición
  elemental verdadera es verdadera
• Modus ponens si se tienen p y p implica q, se
  tiene q
• Teoremas de la lógica

23
Escuela Formalista

• Hilbert, Ackermann, Bernays, von Neumann
• La lógica es parte de la matemática no al revés
• Utilización de símbolos para no equivocarse
  suponiendo cosas no postuladas (compartido por
  los logicistas)
• Definición de una demostración como cadena de
  afirmaciones enlazadas por modus ponens
• Los axiomas son arbitrarios
• Consistencia - necesaria (no deben llevar a
  contradicción)
• Independencia deseable (un axioma no se debe
  poder demostrar de los otros)
• Axiomatización de la Teoría de Conjuntos
  (Zermelo-Frankel) Hilbert no está muy de
  acuerdo
• Tarea (1920) Utilizar lógica intuicionista en la
  metamatemática para demostrar la consistencia de
  la matemática

24
Teoría de Conjuntos (ZF)

• Términos básicos ? (conjunto, elemento)
• Axioma de extensibilidad Dos conjuntos son
  iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
   
• Axioma del conjunto vacío Existe un conjunto que
  no tienen elementos
• Axioma de parejas no ordenadas Dados dos
  conjuntos, existe un tercer conjunto que los
  tiene como elementos y solo a ellos.
• Axioma de la unión Dado un conjunto de
  conjuntos, existe otro conjunto cuyos elementos
  son los elementos de los elementos del primer
  conjunto, y solo ellos.
• Axioma del infinito existe un conjunto semejante
  a N
• Axioma de sustitución
• Axioma de potencias Dado cualquier conjunto,
  existe otro conjunto cuyos elementos son los
  subconjuntos del primer conjunto.
• (Axioma de elección) Si C es un conjunto de
  conjuntos no vacíos, se puede escoger un elemento
  de cada conjunto para formar otro conjunto.

25
Escuela Intuicionista

• Leopold Kronecker (Prusia 1823-91)
• L.E.J.Brouwer (Holanda 1881-1966)
• Al principio no está muy fundamentada. Solo se
  oponen a las otras escuelas
• Las matemáticas las construye el hombre a partir
  de conceptos intuitivos
• Sienten que los conjuntos infinitos siempre van a
  llevar a paradojas (antinomias). Solo aceptan
  infinito potencial
• No están de acuerdo con ninguna de las teorías de
  reales e irracionales
• No están de acuerdo con el principio del tercio
  excluso
• No están de acuerdo con el Axioma Elección.
• Las demostraciones de existencia deben ser
  constructivas