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GLI INSIEMI
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• LA STORIA
• COSA SONO
• APPARTENENZA E NON APPARTENENZA
• RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME
• SOTTOINSIEMI
• LE OPERAZIONI

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LA STORIA

• Il concetto di insieme è sicuramente nato con
  luomo,si pensi a un insegnante che si rivolge
  agli alunni della propria classe come ad un unico
  soggetto .
• Per una teoria organica bisogna giungere però a
  Georg Cantor (1845-1918) matematico tedesco di
  origine russa, il quale intorno al 1870 fornì una
  trattazione sistematica della teoria degli
  insiemi e solo nel 1895 pubblicò lopera I
  CONTRIBUTI A UNA FONDAZIONE TRASFINITA DEGLI
  INSIEMI. In essa Cantor afferma che non ha
  importanza la natura degli elementi con cui si
  opera bensì le leggi delle operazioni a
  caratterizzare linsieme risultato.
• Gli studi di Cantor diedero origine alla
  cosiddetta teoria ingenua degli insiemi che però
  non era priva di contraddizioni.
• Il primo a mettere in evidenza tali
  contraddizioni fu il matematico e filosofo
  inglese Bertrand Russel (1872-1970), con lui
  comincia il cosiddetto periodo della crisi dei
  fondamenti della matematica che però fu
  superato grazie a studi successivi che limitavano
  e precisavano i criteri per comprendere un
  insieme.
• Agli inizi del 1900 Ernst Zermelo
  (1871-1953)sviluppava una nuova teoria detta
  assiomatica che superava le contraddizioni della
  teoria ingenua e che è ancora oggi attuale.

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COSA SONO
5

• Pare che una volta CANTOR per far conoscere la
  propria concezione degli insiemi abbia esclamato,
  guardando verso linfinito Io mi raffiguro un
  insieme come un abisso

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• DEDEKIND, invece, si raffigurava un insieme come
  un sacco chiuso che contenesse degli oggetti
  determinati, che non si potevano né vedere, né
  conoscere salvo il fatto che erano determinati.

7
UN GRUPPO DI UCCELLI IN VOLO É CHIAMATO STORMO

• UN GRUPPO DI NAVI FORMA UNA
• FLOTTA

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QUINDI UN INSIEME È UNA COLLEZIONE DI OGGETTI,
CONSIDERATI NELLA LORO GLOBALITÀ
9

• Gli oggetti, le persone, ecc. che formano un
  insieme si definiscono elementi. Essi devono
  essere riconoscibili e distinti fra loro.

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VEDIAMO SE HAI CAPITO
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Stabilisci quali delle seguenti frasi
individuano un insieme
SI
NO

• I libri di una biblioteca
• I ragazzi studiosi
• Gli uomini alti
• I giorni della settimana

NO
SI
SI
NO
SI
NO
12
(No Transcript)
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Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi
riprova.
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APPARTENENZA E NON APPARTENENZA
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APPARTENENZA E NON APPARTENENZA

• Indicheremo, in generale, gli insiemi con le
  lettere maiuscole A, B, C.. e gli elementi con
  quelle minuscole a, b, c..
• Per affermare che S è un insieme e a un suo
  elemento useremo i simboli e
• Il primo per indicare che a appartiene a S e il
  secondo per indicare che non vi appartiene.

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VEDIAMO SE HAI CAPITO
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Dato linsieme A 2, 3, 5, 7 indica quali
delle seguenti affermazioni sono vere o false

• a) 2 A V F
• b) c A V F
• c) 3 A V F
• d) 4 A V F

18
(No Transcript)
19
Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi
riprova.
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RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME

• TABULARE
• GRAFICA
• PER CARATTERISTICA

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La rappresentazione tabulare consiste
nellelencare se possibile tutti gli elementi di
un insieme.Per esempio linsieme A delle lettere
della parola mare è

• A m, a, r, e

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• La rappresentazione grafica consiste
  nellindicare gli elementi di un insieme con
  punti interni a una linea piana chiusa e non
  intrecciata.Tale rappresentazione si deve al
  logico inglese VENN che ideò il metodo più
  originale, anche se altri come EULERO e LEIBNIZ
  avevano utilizzato questa tecnica soprattutto per
  la sua efficacia didattica.

• .a .b
• .c

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La rappresentazione caratteristica consiste nello
specificare un certo numero di proprietà, che
servano a decidere, in modo inequivocabile, quali
elementi appartengano allinsieme considerato e
quali non vi appartengano.

• Linsieme A 4, 5, 6, 7 ha la seguente
  rappresentazione
  caratteristica
• A xx N e 3 lt x lt 8

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SOTTOINSIEMI
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Sottoinsiemi di un insieme
Dati due insiemi A e B si dice che B è
sottinsieme di A se tutti gli elementi di B
appartengono anche ad A. Si dice anche che B è
incluso in A e si scrive
B A Oppure che A include B e
si scrive A
B.
.6
.4
.8
.2
.16
B
A
.14
.10
.12
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VEDIAMO SE HAI CAPITO
27
Considera gli insiemi A 1,2, 3, 4, B 1,2,
C 2,5. Quali delle seguenti affermazioni
sono vere e quali false?

1. A B
   V F
2. B C
   V F
3. B C
   V F
4. B A
   V F

28
(No Transcript)
29
Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi
riprova.
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LE OPERAZIONI

• INTERSEZIONE
• UNIONE
• DIFFERENZA
• PRODOTTO CARTESIANO

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INTERSEZIONE
Dati due insiemi A e B, si dice loro intersezione
linsieme C i cui elementi appartengono sia ad A
che a B. Per indicare che C è lintersezione di A
e B si scrive C A B

1. 6 8
2. 5 7

• 1

A
B
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Può capitare che due insiemi non abbiano elementi
comuni, ad esempio gli insiemi P a, b, c, d e
Q r, s, t in questo caso lintersezione
dei due insiemi è linsieme vuoto e si dice che i
due insiemi sono disgiunti. I due insiemi si
rappresentano separatamente.
.a .b .c .d
Q
P
.r .s .t
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LUNIONE
Dati due insiemi A e B, si dice loro unione
linsieme D i cui elementi appartengono ad A
oppure a B. Per indicare che D è lunione di A
e B si scrive D A B
4

1
B
5
2
6
A
3
D
2
3
4
1
5
6
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LA DIFFERENZA
Dati due insiemi A e B, si dice insieme
differenza A B linsieme degli elementi di A
che non appartengono a B. Quando B è un
sottinsieme di A, allora linsieme differenza
viene anche detto insieme complementare di B
rispetto ad A.
A
B
.e .f .g
.a .b .c .d
A B a,c
B A
A B
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PRODOTTO CARTESIANO

• COPPIE ORDINATE
• PRODOTTO CARTESIANO

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Coppie ordinate
Per coppia ordinata si intende un insieme di due
elementi nei quali è fissato chi deve essere il
primo e chi il secondo. Se i due elementi della
coppia sono x e y, si scrive (x,y), se x è il
primo elemento e y il secondo (y,x), se y è il
primo elemento e x il secondo.
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PRODOTTO CARTESIANO
Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama
prodotto cartesiano A B ( x,y) x A
e y B . Si può rappresentare in vari modi,i
più comuni sono per elencazione, i diagrammi di
Venn, le tabelle a doppia entrata.
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Dati gli insiemi A 1, 2, 3 e B a, b
A B ( 1,a), (1,b), (2,a), (2,b),
(3,a), (3,b)
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Dati gli insiemi A 1, 2, 3 e B a, b
1. 2 . 3.
.a .b
A
B
.(1,b)
.(2,a)
.(2,b)
.(1,a)
.(3,a)
.(3,b)
A B
40
Dati gli insiemi A 1, 2, 3 e B a, b



A
1
2
3
B
a
( 1, a )
( 2, a )
( 3, a )
b
( 1, b)
( 2, b )
( 3, b )