DOGRUSAL PROGRAMLAMA

1
DOGRUSAL PROGRAMLAMA

• KARAR VERME VE MODELLER

2
Karar Verme

• Algilanan ihtiyaçlara özgü kasitli ve düsünceli
  seçim (Kleindorfer ve dig., 1993)
• Karar Verici (KV)nin mevcut tüm seçenekler
  arasindan amacina veya amaçlarina en uygun bir
  veya birkaç seçenegi seçme sürecine girmesi
  (Evren ve Ülengin, 1992)
• En genel hali ile karar verme KVnin mevcut
  seçenekler arasindan bir seçim, siralama ya da
  siniflandirma yapmasi gibi bir sorunu çözmesi
  sürecidir

3
Iyi Bir Karar

• Karar verme kalitesini ölçecek tek bir ortak ölçü
  saptanamamistir (Olson ve Courtney, 1992)
• Iyi karar verme sanati sistematik düsünce ile
  olusur (Hammond ve dig., 1999)
• Iyi bir karar
• Mantiga dayanir
• Tüm mevcut kaynaklari kullanir
• Tüm olasi seçenekleri inceler
• Sayisal bir yöntem uygular

4
Karar Verme Süreci

• Dar anlamda karar verme, çesitli alternatifler
  içinde en uygun olaninin seçiminin yapildigi bir
  süreç olarak tanimlanabilir.
• Karar Verme Süreci, degisik kaynaklarda farkli
  asamalarla siralanmistir. Ancak farkli
  yaklasimlarin ortak noktalari dikkate
  alindiginda, söz konusu sürecin asamalarini
  asagidaki gibi ifade etmek yanlis olmaz.
• Karar probleminin tanimlanmasi
• -Karar verecek kisi veya kisiler
• -Amaç
• -Alternatif eylem biçimleri
• -Belirsizlik
• 2. Karar probleminin modelinin kurulmasi
• Problemin kolayca çözümlenebilmesi için diger
  bir deyisle problemi en iyi biçimde temsil
  edecek ve problemin çözümündeki belirsizlikleri
  en aza indirecek bir modelin kurulmasi gerekir.
  
• Model Bir sistemin degisen sarlar altindaki
  davranislarini incelemek, kontrol etmek ve
  gelecegi hakkinda tahminlerde bulunmak amaciyla
  elemanlari arasindaki bagintilari kelimler veya
  matematik terimlerle belirten ifadeler
  topluluguna model denir.
• 3. Modelden çözüm elde edilmesi
• 4. Modelin çözümünün test edilmesi
• 5. Karar verme ve kararin uygulamaya konulmasi

5
Yöneylem Arastirmasinin metodolojisi Iyi bir YA
uygulamasinin alti basamagi

• Her basamak arasinda geribesleme bulunmaktadir

6
Yöneylem arastirmasinin metodolojisi Iyi bir YA
uygulamasinin alti basamagi

• Amaçlar nelerdir?
• Problem çok dar kapsamli mi ele alindi?
• Problem çok genis kapsamli mi ele alindi?

7
Problemin tanimlanmasi

• Mümkün seçenekler arasindan bir faaliyet veya
  faaliyetler dizisinin benimsenmesine karar denir
• Karar verici, alternatif stratejiler arasindan en
  uygun olanini seçme konusunda karar verme
  yetkisine sahip birey ya da topluluga verilen
  genel isimdir
• Karar vericinin ulasmak istedigi bir amacinin
  olmasi, bu amaca ulasmada izlenebilecek
  alternatif stratejilerin bulunmasi ve
  alternatifler içinden hangisinin amaci
  gerçeklestirebilecegi konusunda kusku içinde
  bulunulmasi gerekmektedir
• Ancak bu kosullarda bir problem vardir denir

8
Yöneylem arastirmasinin metodolojisi Iyi bir YA
uygulamasinin alti basamagi

• Hangi veriler toplanmali?
• Veriler nasil toplanmali?
• Sistemin farkli parçalari birbirleriyle nasil
  etkilesmektedir?

9
Sistemin gözlenmesi

• Sistem gözlemlenir ve probleme etki eden
  parametreler tahmin edilmeye çalisilir
• Bu amaçla veri derlenmesi, bu adimin çok önemli
  bir kismini olusturur
• Tahmin degerleri sabit sayilar olarak isleme tabi
  tutulurlar ve matematiksel modelin
  gelistirilmesinde kullanilirlar
• Problem elemanlarinin duruma en uygun biçimde
  belirlenebilmesi için sistem yaklasimi kullanilir

10
Sistem nedir?

• Bir sinir içerisinde, birbirleriyle etkilesim
  içinde bulunan ve ortak bir amaca yönelmis olan
  ögeler toplulugudur
• Sistem, girdileri çiktilara dönüstüren
  birbirleriyle iliskili faaliyetlerden ve
  ögelerden (elemanlardan) olusmaktadir
• Sistemin çok sayida girdisi ve çiktisi olabilir

11
Yöneylem arastirmasinin metodolojisi Iyi bir YA
uygulamasinin alti basamagi

• Hangi tür model kullanilmali?
• Model, problemi tam olarak ifade ediyor mu?
• Model çok mu karmasik?

12
Model gelistirmek

• Problemin kolayca çözülebilecek bir yapiya
  oturtulmasi gerekmektedir
• Model nedir?
• Bir sistemin degisen kosullar altindaki
  davranislarini incelemek, kontrol etmek ve
  gelecegi hakkinda varsayimlarda bulunmak amaciyla
  elemanlari arasindaki baglantilari kelimeler veya
  matematiksek terimlerle belirleyen ifadeler
  topluluguna model denir

13
Model gelistirmek
14
Model gelistirmek

• Her modelin kurulus amaci, belirli bir ekonomik
  sistemi yönetmekle görevli kisi veya kisilere
  (karar vericiye) mümkün karar seçeneklerini
  sunmak, bunlarin sonuçlarini belirlemek ve
  karsilastirmalar yapmaktir
• Yöneylem arastirmasinin karar vermeye en önemli
  katkisi matematiksel modellerdir
• Bir sistemin davranislariyla ilgili kurallarin
  matematiksel olarak ifade edilmesiyle
  matematiksel modeller kurulur
• Eger ele alinan sistem matematiksel modellerle
  çözülemeyecek kadar karmasik bir yapiya sahipse
  sistemin bir simülasyon modeli kurulur.
• Simülasyon, bir sistemin tüm çalisma zamani
  boyunca davranis seklinin bilgisayar ortaminda
  taklit edilmesidir

15
Matematiksel modellerin elemanlari

• Ekonomik sistemlerin matematiksel modellerinde
  kullanilan elemanlarini üç ana grupta toplamak
  mümkündür
• Amaç fonksiyonu
• Karar degiskenleri
• Kisitlar
• Bir karar verme durumunda ilgilenilen sistem
  dikkatli bir sekilde gözlemlenir ve degerleri
  kontrol edilebilen ve sistemin performansini
  etkileyen parametreler belirlenir. Bu
  parametreler yöneticilerin kontrolü altindadir ve
  karar degiskenleri olarak tanimlanirlar. Bir
  üretim sisteminde farkli ürünlerin üretilecek
  miktarlari, bir yerden baska yere tasinacak ürün
  miktari, isçi sayisi, makina sayisi vb
• Karar degiskenlerinin amaç üzerindeki etkilerinin
  analitik olarak gösterilmesiyle amaç fonksiyonu
  olusturulur
• Kisitlar, sistemin içinde bulundugu kosullardan
  kaynaklanmaktadir (talep kisitlari, kapasite
  kisitlari gibi)

16
Yöneylem arastirmasinin metodolojisi Iyi bir YA
uygulamasinin alti basamagi

• En uygun çözüm teknigi nedir?
• Analitik çözüm
• Algoritmalar
• Simülasyon
• Sezgisel

17
Modelin çözülmesi

• Analitik çözüm Problemin Lagrange çarpanlari,
  diferansiyel ve integral hesaplari ile kosullu en
  iyi çözümünün bulunmasidir. Analitik çözümde
  sadece matematigin degil iktisat teorisinin de
  temel kurallari kullanilir
• Algoritma çözümü Analitik çözüm bazen çok zor
  veya imkansiz olabilir. Belirli bir sira
  içerisinde gerçeklestirilen matematiksel ve
  mantiksal islemler kümesine algoritma denir.
  Yinelemeli olarak uygulanan algoritmalar her
  adimda optimuma daha yakin bir çözüme dogru
  ilerler
• Simülasyon çözümü Problem, analitik olarak veya
  algoritmalarla çözülemiyorsa kullanilir. Sistemin
  davranis sekli bilgisayar ortaminda taklit edilir
• Sezgisel çözüm Problem optimum çözümü
  bulunamayacak kadar karmasiksa, sezgisel
  yöntemler sezgiye veya bazi deneysel kayitlara
  dayanan karar kurallari ile belirli sayida
  adimdan sonra en iyi olmasa da tatminkar bir
  sonuç verirler

18
Yöneylem arastirmasinin metodolojisi Iyi bir YA
uygulamasinin alti basamagi

• Modelden elde edilen çiktilar sistemin
  kendisinden elde edilen çiktilarla uyusuyor mu?
• Modelden elde edilen çiktilar mantikli mi?
• Model hatali olabilir mi?

19
Modelin geçerliliginin gösterilmesi

• Modelden elde edilen çözümü uygulamaya koymadan
  önce gerçege uygunlugunun kanitlanmasi gerekir
• Eger çözüm sistemin geçmis dönem sonuçlarini
  aynen veya daha olumlu bir sekilde sagliyorsa,
  modelin geçerli oldugu kabul edilir
• Eger sistemin geçmis dönem sonuçlari yoksa
  simülasyondan yararlanilir
• Model geçerliliginin kanitlanmasinda bir baska
  yol olarak da sistemdeki deneyimli kisilerin
  görüslerine basvurulabilir

20
Yöneylem arastirmasinin metodolojisi Iyi bir YA
uygulamasinin alti basamagi

• Yöneylem arastirmasi ekibi, uygulama sürecini
  açiklamali ve uygulamada yardimci olmalidir
• Uygulamanin nasil yapilacagi bir rapor halinde
  yönetime sunulmalidir

21
Basarili Yöneylem Arastirmasi Uygulamalari
22
Matematiksel Model Türleri

• Yöneylem arastirmasinda karsilasilabilecek
  matematiksel model türleri, ilgilenilen karar
  probleminin yapisina göre sekillenir

23
(No Transcript)
24
Matematiksel Model Türleri

• Eger karar degiskenleri üzerinde hiçbir sinirlama
  yoksa kisitsiz modeller ortaya çikar, en azindan
  bir sinirlama olmasi kisitli modelleri ortaya
  çikarir. Gerçek hayatta genellikle kisitli
  problemler karsimiza çikar.
• Eger problem tek bir dönem için çözülecekse
  statik model, birden fazla dönem göz önüne
  alinarak çözülecekse dinamik model ortaya çikar.
• Eger birden fazla amaç varsa çok amaçli
  problemler ortaya çikar.
• Eger tüm karar degiskenleri pozitif reel (gerçel)
  degerler aliyorsa sürekli optimizasyon problemi
  söz konusudur
• Tüm karar degiskenlerinin tamsayi degerler almasi
  gerekiyorsa kesikli optimizasyon problemi ortaya
  çikar
• Bazi karar degiskenlerinin reel, bazilarinin
  tamsayi deger almasi durumunda ise karisik
  kesikli optimizasyon problemi ile karsilasiriz.
• Eger karar degiskenlerinin kombinatoryal
  seçenekleri söz konusuysa kombinatoryal
  optimizasyon problemleri ortaya çikar.

25
Matematiksel model türlerine göre kullanilan
çözüm yaklasimlari

• Dinamik modeller için kullanilan yaklasim dinamik
  programlamadir.
• Eger optimize edilecek birden fazla amaç varsa
  genellikle kullanilan yaklasim hedef
  programlamadir.
• Modeldeki tüm fonksiyonlarin dogrusal olmasi
  durumunda sürekli optimizasyon problemleri
  dogrusal programlama yöntemi ile çözülür. Sürekli
  optimizasyon modelinde en azindan bir fonksiyonun
  dogrusal olmamasi durumundaysa dogrusal olmayan
  programlama yöntemi kullanilir.
• Eger kesikli optimizasyon problemlerinde karar
  degiskenleri herhangi bir tamsayi deger aliyorsa
  tamsayili programlama yöntemi kullanilir.
• Kombinatoryal optimizasyon problemlerinin belirli
  bir boyuta kadar olani tamsayili programlama
  yöntemi ile çözülürken, orta ve büyük boyutlu
  problemlerin sezgisel yöntemlerle çözülmesi
  gerekmektedir.

26
Dogrusal Programlama

• Günümüzde, isletme, ekonomi ve muhasebe dallarini
  en yakindan ilgilendiren konulardan bir olan
  dogrusal programlama, ayni zamanda yöneylem
  arastirmasinda da en önemli konulardan biridir.
  Dogrusal programlama, kaynaklarin optimal
  dagilimini elde etmeye, maliyetleri minimize,
  kari ise maksimize etmeye yarayan bir tekniktir.
• Dogrusal Programlama, optimizasyon problemlerinin
  çözümünde kullanilan bir yöntemdir. 1947 de,
  George Dantzig, dogrusal Programlama
  problemlerinin çözümünde kullanilan etkin bir yol
  olan Simpleks Algoritma yi buldu ve bu bulusla
  birlikte dogrusal Programlama, siklikla ve hemen
  hemen her sektörde kullanilmaya baslandi.
• Temel olarak, dogrusal Programlama, kit
  kaynaklarin optimum sekilde dagilimini içeren
  deterministik bir matematiksel tekniktir.
• Dogrusal programlama, iyi tanimlanmis dogrusal
  esitliklerin veya esitsizliklerin kisitlayici
  kosullari altinda dogrusal bir amaç fonksiyonunu
  en iyi (optimum/ maksimizasyon-minimizasyon)
  kilan degisken degerlerinin belirlenmesinde
  kullanilan matematiksel programlama teknigidir.

27
DP Modelinin Yapisal Unsurlari-devam

• Amaç fonksiyonu
• Karar vericinin ulasmak istedigi hedef dogrusal
  bir denklem ile açiklanir. Amaç fonksiyonu olarak
  bilinen bu denklem, karar degiskenleri ile karar
  vericinin amaci arasindaki fonksiyonel iliskiyi
  gösterir.
• Zenk/enbc1x1 c2x2 .....cnxn
• 2. Kisitlayici fonksiyonlar (kisitlayicilar/kisitl
  ar)
• Karar degiskenleri ve karar degiskenleriyle
  parametrelerin birbirleriyle olan iliskilerinde
  saglanmasi zorunlu olan iliskilerin matematiksel
  olarak açiklanmasiyla elde edilen denklemlere
  kisitlayici fonksiyonlar denir. Kisitlayicilarin
  degerleri kesin olarak önceden belirlenmis olup
  sistemin tanimlanmasinda kullanilir. Kisitlayici
  fonksiyonlar sadece kaynaklarin sinirlarini
  degil, gereksinim ve yönetim kararlarini ifade
  etmekte de kullanilir.
• a11x1a12x2..................a1nxn??b1
• a21x1a22x2..................a2nxn??b2
• am1x1am2x2................amnxn??bm
• 3. Negatif olmama kosullari
• Karar degiskenlerinin degerleri negatif olmaz.
• x1, x2,........xn ? 0 veya kisaca xj ? 0 (j1,
  2, 3, , n)

28
DP Modelinin Yapisal Unsurlari-devam

• 4. Karar degiskenleri
• Karar vericinin denetimi altinda olan niteliklere
  karar degiskenleri denir. Bunlar modele iliskin
  bilinmeyenler olup degerleri modelin çözümünden
  sonra belirlenir. Bu degiskenler karar vericinin
  denetimi altinda olduklarindan bunlara kontrol
  degiskenleri de denir.
• xj Belirli bir zaman döneminde jinci ürünün
  üretim miktari veya faaliyet düzeyi.
• j1, 2, 3, n Ürün çesidi, faaliyet sayisi.
• 5. Parametreler
• Alabilecegi degerlerde karar vericinin hiçbir
  etkisi olmayan niteliklere parametre veya kontrol
  disi degiskenler denir. Belirli kosullarda
  belirli degerler alan parametreler problem için
  veri durumundadir.
• Cj jinci karar degiskeninin amaç fonksiyonu
  katsayisi (parametre)-(birim kar, birim fiyat,
  birim maliyet vs.).
• aij jinci üründen bir birim üretmek için iinci
  kaynaktan tüketilen kaynak miktari veya girdi
  katsayisi
• bi n sayidaki ürün için elde bulunan iinci
  sinirli kaynak miktari.
• i 1, 2, 3, , m Üretim bölümlerinin veya
  üretim kaynaklarinin sayisi.

29
DP Modelinin Genel Görünümü

• Amaç Fonksiyon Zenk/enbc1x1 c2x2 .....cnxn
  
• Kisitlayici fonksiyonlar a11x1a12x2............
  ......a1nxn??b1
• a21x1a22x2..................a2nxn??b2
• am1x1am2x2................amnxn??bm
• Negatif Olmama Kosulu x1, x2,........xn ? 0

30
DP Modelinin Matris Gösterimi
31
DPnin Varsayimlari

• Dogrusallik (veya Oransallik) Varsayimi
  Modeldeki fonksiyolarin hepsi dogrusaldir. Bu
  varsayim gerçeklesmedigi takdirde DOP söz
  konusudur.
• Toplanabilirlik Varsayimi
• Kesinlik Varsayimi
• Bu varsayim, tüm parametrelerin (amaç fonksiyonu
  katsayisi, sag el tarafi ve teknolojik katsayi)
  kesin olarak bilindigini ve ilgili dönemde
  degismeyecegini öngörür. Eger bu degerler tam
  olarak bilinmiyorsa, sonuç güvenilir
  olmayacaktir. Böyle bir durumda duyarlilik
  analizine basvurulabilir.
• 4. Negatif Olmama Varsayimi
• Karar degiskenleri negatif degerler alamaz.
• 5. Bölünebilirlik Varsayimi
• Bu varsayim, her karar degiskenlerinin ondalikli
  bir sayi alabilecegi anlamina gelir. Bu varsayim
  ortadan kalktiginda tamsayili programlama söz
  konusu olur.

32
DPnin Uygulama Alanlari

• Ulastirma ve dagitim kanallar
• Beslenme ve karistirma problemleri
• Üreim planlamasi
• Yatirim planlamasi
• Görev dagitimi
• Arazi kullanimi planlamasi
• Kurulus yeri seçimi
• Oyun teorisi

33
DP Problemlerinin Modelinin Kurulmasi

• DP Problemlerinin modelinin kurulmasinda
  asagidaki adimlarin izlenmesi gerekmektedir.
• Karar degiskenlerinin tanimlanmasi ve bunlarin
  sembolize edilmesi
• Amacin belirlenerek amaç fonksiyonun karar
  degiskenlerinin dogrusal bir fonksiyonu olarak
  yazilmasi
• Tüm kisitlamalarin karar degiskenlerinin
  dogrusal bir fonksiyonlari olarak esitlik veya
  esitsizlik olarak yazilmasi
• Negatif olmama kosullarinin yazilmasi.

34
Örnek DP Modeli-1

• Inci kimya firmasi X ve Y gibi iki tip kimyasal
  madde üretmektedir. 1 litre X ürününün maliyeti
  160 TL. , 1 litre Y ürününün maliyeti ise 240 TL.
  dir. Müsteri talebine göre, firma, gelecek hafta
  için en az 6 litre X ve en az 2 litre Y ürünü
  üretmelidir. X ve Y kimyasal ürünlerinde
  kullanilan hammaddelerden birisinin sunumu azdir
  ve sadece 30 gr. saglanabilmektedir. X ürününün
  bir litresinde bu hammaddeden 3 gr. ve Y nin
  litresinde de 5 gr. gerekli olmaktadir.
• Inci firmasi, toplam maliyetini minimize etmek
  için X ve Y ürünlerinden kaçar litre üretmesi
  gerektigi konusunda çok büyük bir kararsizlik
  içerisine girmistir. Bu soruyu yanitlayacak
  modeli kurunuz.

35
Örnek DP Modeli-1-devam

• Problemde karar degiskenleri,
• x1 Üretilecek X ürününün miktari ( litre )
• x2 Üretilecek Y ürününün miktari ( litre )
• Minimize edilmek istenen toplam maliyet
• 160x1 240x2 dir.
• Istenen gerekli minimum miktar ise
• x1 ? 6 ve x2 ? 2 dir.
• Hammadde kisitlayicisi ise
• 3x1 5x2 ? 30 dur.
• Böylece minimizasyon modeli söyle olacaktir
• Min z 160x1240x2
• x1?6 
• x2?2 
• 3x15x2?30 
• x1, x2 ? 0

36
Örnek DP Modeli-2

• Mügesüt sirketi kapasite sorunu yüzünden günde
  120.000 kg. dan daha çok süt isleyememektedir.
  Yönetim, yag veya islenmis süt için kullanilan
  sütün dengelenmesi için peynir fabrikasinda en az
  10.000 kg. lik günlük süt kullanmak istemektedir.
  Bir kg. sütün yag üretimi için kullanildiginda,
  kara katkisi, 4 TL., sise sütü olarak
  kullanildiginda katkisi 8 TL. ve peynir üretimi
  için kullanildiginda ise katkisi 6 TL. dir.
• Yag bölümü günde 60.000 kg., süt siseleme
  donanimi günde 40.000 kg., peynir donanimi ise
  günde 30.000 kg. süt isleyebilir.
• Sirket karini maksimize etmek istedigine göre
  problemi dogrusal programlama modeli olarak ifade
  ediniz.

37

• Çözüm
• Karar Degiskenleri
• x1 Yag yapiminda kullanilan süt miktari ( kg )
• x2 Siselemede kullanilan süt miktari ( kg )
• x3 Peynir yapiminda kullanilan süt miktari ( kg
  )
• Isletmenin karini maksimize edecek amaç
  fonksiyonu
• Maksimum z 4x1 8x2 6x3
• Kisitlar ise
• x3 ? 10.000
• x1 ? 60.000
• x2 ? 40.000
• x3 ? 30.000
• x1 x2 x3 ? 120.000
• Negatif Olmama kosulu
• x1, x2, x3 ? 0