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Méthode Numérique III Modélisation Numérique Non
Linéaire
?
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Méthode Numérique III Modélisation Numérique Non
Linéaire
?
But de lenseignement Étendre les compétences
en modélisation numérique aux problèmes non
linéaires, en particulier pour la simulation des
procédés de fabrication et le calcul optimal des
structures.
1 - Résolution des problèmes non-linéaires 2 -
Méthodes pas à pas en dynamique 3 - Prise en
compte des comportements interfaciaux 4 -
Non-linéarités géométriques calcul en grands
déplacements 5 - Non-linéarités matérielles
lois de comportement 6 - Dynamique rapide
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Rappels
Un problème non-linéaire est un problème pour
lequel la matrice de rigidité de la structure
varie avec sa déformation.
? ?

• Au cours dune analyse non-linéaire, la matrice
  de rigidité de la structure doit être assemblée
  et inversée à chaque incrément de temps, ce qui
  rend ce type danalyse souvent très longue.
• On ne peut pas appliquer de principe de
  superposition et chaque cas de charge doit faire
  lobjet dune analyse.

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Rappels

• Types de non-linéarités
• Contact et CL
• Géométriques
• Matériaux

? ?
Traitement des problèmes non-linéaires à laide
dalgorithmes robustes et paramétrables
(Newton-Raphson standard à pas adaptatif et
méthode RIKS)
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? ? ?
Non Linéarité Matérielle Lois de Comportement
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Généralités
Non-linéarités matérielles
? ? ?

• Hyper-élasticité Comportement non linéaire
  réversible (élastique linéaire) de certains
  matériaux de type caoutchouc.

• Plasticité Ce type de non linéarité concerne
  aussi les matériaux viscoplastiques ainsi que les
  comportements avec rupture ou endommagement.

• Viscoplasticité
• Endommagement

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Plasticité
Description de la courbe décrouissage au-delà de
la zone linéaire
? ? ? ?
Contrainte découlement Re0,2
Écrouissage

• Pour la plupart des métaux lécoulement
  plastique correspond à 0,05-0,1 de E.
• Acier (E 210 GPa Re0,2 500 MPa ? ee
  2,4.10-3)

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Plasticité
Notion de contrainte et déformation nominale et
vraie
? ? ? ?
(force par unité de surface non déformée),
- contrainte nominale
(allongement par unité de longueur).
- déformation nominale
Mesure adaptée aux hypothèses de petites
déformations. Nouvelle mesure de la déformation
par passage à la limite à partir de la définition
précédente
Après intégration, nous trouvons
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Plasticité
Notion de contrainte et déformation nominale et
vraie
? ? ? ?
- déformation vraie
De même, on définit la contrainte vraie ou force
par unité de surface déformée à partir de
lhypothèse de déformation à volume constant, on
montre
- contrainte vraie
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Plasticité
Partition de la déformation totale
? ? ? ?
On mesure la déformation totale
On calcule la déformation élastique
Puis la déformation plastique
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Plasticité
Différents types de modèles de comportement
plastique
? ? ? ?
b Loi de comportement élasto-plastique avec
écrouissage linéaire (isotrope)
a Loi de comportement élasto-plastique parfait
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Plasticité
Différents types de modèles de comportement
plastique
? ? ? ?
c Loi de comportement élasto-plastique avec
écrouissage (isotrope) non linéaire
- Loi dHollomon
- Loi de Ramberg-Osgood
ou
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Plasticité
Différents types de modèles de comportement
plastique
? ? ? ?
- Traitement multiaxial de la Loi de
Ramberg-Osgood
Pression hydrostatique
Contrainte équivalents
Déviateur des contraintes
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Plasticité
Plasticité isotrope / anisotrope écrouissage
isotrope / cinématique / anisotrope
? ? ? ?

• On distingue divers aspects concernant le
  critère découlement et lécrouissage
• aspect lié au critère découlement
• aspect lié à lécrouissage

isotrope anisotrope
isotrope cinématique anisotrope
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Plasticité
Écrouissage isotrope / cinématique
? ? ? ?
Écrouissage isotrope
Écrouissage cinématique

• Écrouissage isotrope lécrouissage acquis en
  traction reste valable en compression
  (satisfaisant dans les calculs à chargement
  monotone mauvaise représentation des phénomènes
  cycliques).
• Écrouissage cinématique lécrouissage
  cinématique linéaire représente assez bien
  leffet Bauschinger (adoucissement en compression
  suite à un écrouissage en traction), mais mal les
  effets de consolidation cyclique.

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Plasticité
Écrouissage isotrope / cinématique
? ? ? ?

• On suppose dans lécrouissage cinématique que
  lors dun chargement plastique, la surface
  initiale de plasticité se translate sans se
  déformer dans lespace des contraintes.
• - Les paramètres dhérédité sont ici groupés dans
  un

tenseur (appelé Back-Stress en anglais) nul
lorsque le matériau est vierge, et représentant
la position du centre de surface de charge dans
lespace des contraintes.
Une forme simple dévolution de a est
Critère de plasticité de VM
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Plasticité numérique
Fondements de la plasticité  numérique 
? ? ? ?

• Suite au constatations expérimentales

• Partition de la déformation totale
• - Déformation plastique ? volume constant
• Décomposition du taux de déformation

La loi de Hooke pilote le changement de volume

• La loi de Hooke pilote la déformation élastique

• Le chargement est défini par un tenseur de
• comportement tangent 

• Le déchargement est toujours élastique linéaire

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Plasticité numérique
Fondements de la plasticité  numérique 
? ? ? ?

• Il existe un critère de plasticité F(s,k), qui
  permet de définir le comportement élastoplastique.

• Dans le cas de lécoulement plastique, celui-ci
  seffectue normal à la surface de charge (loi de
  normalité  direction qui rend maximal le travail
  plastique)

Se traduit par le fait que lincrément de
déformation plastique est perpendiculaire à la
surface découlement
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Plasticité numérique
Formulation de la matrice de rigidité
? ? ? ?

• différentielle de la fonction découlement

• application de la loi de comportement

• calcul de lincrément de contrainte

Cond. De normalité
- Évaluation de lincrément du critère de
plasticité  
soit, 
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Plasticité numérique
Formulation de la matrice de rigidité
? ? ? ?

• Reportons le résultat précédent dans la loi de
  comportement ? matrice de comportement
  élastoplastique telle que

Ainsi, la matrice de rigidité tangente prend la
forme 
avec suivant la nature du comportement 

• - comportement élastique 
• écoulement plastique
• décharge plastique

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Plasticité numérique
Implémentation dans un code de calcul éléments
finis
? ? ? ?
Le traitement numérique de la plasticité
seffectue généralement par des méthodes
incrémentales. Nous cherchons à résoudre avec
Partie élastique
Partie élasto-plastique
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Plasticité numérique
? ? ? ?
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Plasticité numérique
? ? ? ?
23
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Plasticité numérique
? ? ? ?
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Plasticité numérique
Méthode dintégration explicite
? ? ? ?
Une fois F choisie on évalue le multiplicateur
plastique
On évalue au temps t les quantités
Actualisation à tDt grâce à un schéma explicite
- Intégration simple.

• Conditionnellement stable,
• Précision dépendant de la taille de lincrément
  de temps,
• - Le multiplicateur plastique dl vérifie la
  condition découlement au temps t, lintégration
  ne garantie plus cette condition au temps tDt
  !!!
• - La solution peut dériver.

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Plasticité numérique
Méthode dintégration implicite (retour radial)
? ? ? ?

• Évaluation pour un incrément de chargement
  impliquant une déformation plastique, dune
  solution au-delà de la surface limite donnée par
  le critère découlement (prédicteur élastique),
• Calcul du correcteur plastique permettant de
  revenir sur la surface découlement,

• Loi de Hooke

• Déformation élastique en fin dincrément

• La méthode implicite permet de remédier au
  problème du schéma explicite, en ayant de plus
  lavantage dêtre inconditionnellement stable.

• La précision reste tout de même dépendante de
  taille de lincrément de temps.

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Plasticité numérique
Quelques idées sur Abaqus/Standard
? ? ? ?

• utilisation dun schéma dintégration implicite,
• utilisation de la contrainte de Cauchy (sv) et
  de la déformation logarithmique (ev),
• partition de la déformation totale, rapport
  additif des taux de déformation,

• incompressibilité de epl ? défm. à volume
  contant ? phénomènes de verrouillage ? éléments
  du second ordre à intégration complète à
  proscrire,
• pas de problème avec les éléments du 1ier ordre
  à intégration complète (de même que pour les
  éléments du 1ier ordre à intégration réduite),
• les éléments du second ordre à intégration
  réduite posent problème pour les fortes
  déformations (gt 30),
• Il existe sur Abaqus des éléments du 2nd ordre
  hybrides ou modifiés qui permettent de
  saffranchir des inconvénients des éléments du
  2nd ordre à intégration complète (voir doc.
  appropriée).

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Viscoplasticité
? ? ? ? ?
Prise en compte du comportement viscoplastique
des matériaux
Viscoplasticité ? évolution temporelle des
déformation permanentes
La plasticité concerne essentiellement le
comportement anélastique pour de faibles
températures (T lt 0,5 Tf-absolue), et de faibles
taux de déformation . En revanche,
la visco-plasticité concerne comportement
anélastique aux hautes températures (T gt 0,5
Tf-absolue), et aux forts taux de déformation.
On rencontre deux types de phénomènes
viscoplastiques - la plasticité fonction de
(rate dependent plasticity) - le fluage
viscoplastique (creep)
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Viscoplasticité
? ? ? ? ?
La viscoplasticité ou (rate dependent plasticity)
le fluage viscoplastique ou (creep)
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Viscoplasticité
La viscoplasticité (rate dependent plasticity)
? ? ? ? ?
La prise en compte de la viscoplasticité
seffectue par lintroduction dans le modèle dun
seuil découlement sy dépendant de la vitesse de
déformation plastique . (pb de dynamique
rapide mise en forme)

• Une façon de faire consiste à estimer la sur
  contrainte à partir de la relation

contrainte découlement à
contrainte découlement statique
Paramètres matériau (fonctions de la T et de
variables détat)
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Viscoplasticité
La viscoplasticité (rate dependent plasticity)
? ? ? ? ?
OK pour ces 2 méthodes à condition davoir les
mêmes formes de lois pour les différentes
températures. Dans le cas contraire il faut
spécifier directement la dépendance / q.

• Autres lois

• Cowper-Symonds overstress power law

• Johnson Cook rate dependent

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Viscoplasticité
Le fluage viscoplastique (creep)
? ? ? ? ?
La prise en compte du fluage viscoplastique
seffectue par lajout dun nouveau terme dans la
décomposition de la déformation totale. Ce terme
sera caractérisé par une loi de type Andrade
(fluage primaire), Norton (fluage
secondaire) Abaqus propose plusieurs lois
permettant dévaluer en fonction du temps,
du chargement,.
- Pour les régions à forte concentration de
contrainte (pointe de fissure) on observe
généralement une évolution exponentielle de la
contrainte. On retrouve se caractère en utilisant
une loi de fluage de type sinus-hyperbolique
(pour s/sy gtgt1).
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Viscoplasticité
Le fluage viscoplastique (creep)
? ? ? ? ?
- Bien que limitée dans ces applications (niveau
de contrainte relativement faible), la loi
puissance est intéressante de par sa simplicité.
La version  time hardening  doit être utilisée
lorsque létat de contrainte reste sensiblement
constant, c'est-à-dire pour le cas de simulations
de type fluage.
La version  strain hardening  est utilisée
lorsque létat de contrainte varie au cours de
lanalyse, c'est-à-dire pour le cas de
simulations de type relaxation.
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Élasticité non linéaire
Prise en compte du comportement élastique non
linéaire des matériaux
? ? ? ? ? ?

• Phénoménologie
• - Les élastomères sont couramment désignés sous
  le terme de caoutchouc,
• - Ce sont des polymères qui présentent à la
  température ambiante une très grande capacité de
  déformation, totalement réversible donc
  élastique,
• De part leur structure moléculaires, ils sont
  isotropes,

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Élasticité non linéaire
Prise en compte du comportement élastique non
linéaire des matériaux
? ? ? ? ? ?
Phénoménologie - Caractère visco-élastique plus
ou moins marqué (relaxation, fluage, effet de la
vitesse),
- Effet Mullins
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Élasticité non linéaire
Modélisation du comportement hyperélastique
? ? ? ? ? ?
- Le comportement hyperélastique des élastomères
doit vérifier l'isotropie. Il est défini par
l'expression de la densité d'énergie de
déformation W qui ne dépend que de l'état de
déformation courant, et se présente comme une
fonction des élongations principales (l1, l2, l3)
ou des invariants du tenseur des déformations de
Cauchy-Green droit
- La variation de volume est entièrement
caractérisée par le 3ième invariant du tenseur de
C. En effet Jl1 l2 l3 doù, I3J².
Lincompressibilité sera traduite par I31.
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Élasticité non linéaire
Modélisation du comportement hyperélastique
? ? ? ? ? ?

• Les matériaux hyper-élastiques sont décrits à
  l'aide d'un potentiel d'énergie de déformation,
  W(l1,l2,l3), qui définit l'énergie de déformation
  par unité de volume stockée.
• Les contraintes principales de Cauchy associées
  à un état de déformation sont données par

p, représente un niveau arbitraire de pression
hydrostatique (multiplicateur de Lagrange).
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Élasticité non linéaire
Modélisation du comportement hyperélastique
? ? ? ? ? ?

• Plusieurs formes de potentiel d'énergie de
  déformation conduisent à différentes
  modélisations des élastomères isotropes et
  incompressibles

. Forme polynomiale
Pour les cas où les déformations nominales sont
petites ou seulement modérément grandes (lt100),
le premier terme de la série polynomiale procure
habituellement un modèle suffisamment précis.
. Forme Mooney-Rivlin
La forme la plus simple de la fonction
polynomiale (N1) donne la forme compressible de
la loi classique de Mooney-Rivlin.
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Élasticité non linéaire
Modélisation du comportement hyperélastique
? ? ? ? ? ?
. Forme neo-hookien
Quand C100 dans la loi de Mooney-Rivlin, la
fonction énergie de déformation correspond à la
forme compressible de la forme neo-hookien.
. Forme de Ogden
Quelques recommandations Abaqus - Si lon
dispose de plusieurs expérimentations valables
(1D et biaxial), alors Ogden et Van der Walls
sont plus précis. - Si les données sont limitées
pour létalonnage, les formes Arruda-Boyce, Van
der Walls, Yeoh ou polynomial réduit donnent des
résultats corrects. - Si lon ne dispose que dun
jeu de données (1D, biaxial ou test plan), il est
recommandé de choisir la forme de Marlow.
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Endommagement
Modélisation de lendommagement
? ? ? ? ? ? ?

• Lendommagement se traite comme une extension de
  la mécanique des milieux continus, à partir du
  principe déquivalence en déformation ou en
  énergie.
• Il permet la prise en compte des variations de
  propriété du matériau au cours du chargement
  et/ou du temps.
• Il y a donc bien nécessité dactualisation de la
  matrice de comportement au cours dun calcul,
  doù le caractère non-linéaire.
• (voir module approprié)

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Méth. pas à pas
? ? ? ? ? ? ? ?
Méthodes pas à pas en dynamique
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Méth. pas à pas
Méthodes pas à pas en dynamique
? ? ? ? ? ? ? ?
Système déquations couplés en dynamique
Ce système ne peut être découplé que dans
quelques cas - M et K indépendants du
déplacement et C nul (syst. linéaires non
amortis), - M et K indépendants du
déplacement et C combinaison linéaire de M et
K nul (syst. linéaires à amortissement
linéaire), Il est alors possible les résoudre par
la méthode de superposition modale
Dans le cas général, on accède à la solution à un
instant donné, en déterminant lhistoire de cette
solution. On génère la solution à linstant
suivant à partir de la solution aux instants
précédents, doù le nom de  méthodes de
résolution pas à pas . Méthode de résolution
pour les pb non-linéaires ou à amortissement
quelconque.
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Méth. pas à pas
Schéma dintégration numérique
? ? ? ? ? ? ? ?
Schéma dintégration numérique ? façon
dapprocher les vecteurs inconnus
En général, une relation de différences finies
Utilisation dun développement en série de Taylor
- /
Approximation de laccélération et de la vitesse
en fonction des déplacements
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Méth. pas à pas
Formulation explicite
? ? ? ? ? ? ? ?
Écrivons le système à linstant tdt à laide du
schéma dintégration numérique
Le terme de droite nutilise que des quantités
connues à tdt ? explicite La solution est
obtenue par le produit . Si
ne dépend pas du déplacement, une seule
inversion gt itérations très rapides.
Problème méthode non conditionnellement stable
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Méth. pas à pas
Formulation explicite
? ? ? ? ? ? ? ?
Pour ce cas la matrice K obtenue ne dépend pas
de la matrice de raideur K, mais uniquement de
la matrice de masse M, soit 
Schéma dintégration explicite des différences
centrales 
Le schéma explicite nest pas inconditionnellement
stable. Une condition de stabilité lie le pas de
temps au pas despace et sexprime 
Ainsi plus le maillage est fin plus le pas de
temps est petit. Un schéma dintégration
explicite permet de rendre compte des phénomènes
locaux et dassurer un transfert numérique des
efforts au sein de la structure.
Modélisation des phénomènes de dynamique rapide -
(choc ou explosion)
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Méth. pas à pas
Formulation implicite
? ? ? ? ? ? ? ?
Si on utilise une relation de différences finies
décentrée à droite, on obtient lalgorithme de
Houblot qui est implicite.
Le système doit être résolu à chaque
itération, Le schéma est inconditionnellement
stable Itérations moins nombreuses, mais plus
longues à effectuer
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Méth. pas à pas
Formulation implicite
? ? ? ? ? ? ? ?
Le vecteur déplacement du pas suivant est
fonction des caractéristiques du pas précédent et
du pas suivant (algorithme de type déplacement).
Algorithmes généralement inconditionnellement
stable
aucune condition sur le pas de temps.
Si calcul élastique linéaire
un seul calcul de la matrice de raideur doù un
seul assemblage et une seule inversion de K

• Une force locale appliquée a un effet immédiat
  sur le reste de la structure. Pas de traitement
  dynamique local, mais rendu à léchelle de la
  structure dune force transitoire appliquée.

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Méth. pas à pas
Formulation mixte algorithme de Newmark
? ? ? ? ? ? ? ?
On exprime les vecteurs vitesses et déplacement
en fonction des vecteurs accélérations et des
anciens vecteurs vitesse et accélération
Il existe des variantes selon les valeurs de a et
b utilisées, (a 0 b 0) ? schéma purement
explicite (a ½ b ½) ? schéma mixte Le
schéma est conditionnellement stable !
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Dynamique Rapide
? ? ? ? ? ? ? ? ?
Dynamique rapide
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Dynamique Rapide
Dynamique rapide
? ? ? ? ? ? ? ? ?
Domaine Forces dinertie (liées à la masse et à
la vitesse) supérieures aux efforts internes
(liés à la rigidité)

• Difficultés auxquelles il faut faire face
• distorsion du maillage en raison des très grands
  déplacements,
• lois de comportement extrêmes, epl ? forte
  élévation locale de température,
• - traitement explicite des équations ? très
  faible pas de temps (nombre ditérations élevé,
  104-106) (ici 6.10-6s Dtcrit? 10-9 à 10-10s),
• - Gestion délicate des zones de contact.

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Dynamique Rapide
Dynamique rapide - (ou explicit dynamic)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Cest une méthode efficace pour résoudre une
large variété de problèmes non linéaires en
mécanique du solide et des structures.

• Étude des événements survenant à grande vitesse
  sur des temps très courts (explosion),
• Problèmes complexes de contact (en raison dune
  formulation plus simple) gestion du contact entre
  différentes pièces indépendantes étude du
  transitoire dans les problèmes dimpact et des
  variations rapides de surfaces de contact,
• Problèmes dévolution post-flambement
  (traitement dinstabilités),
• Problèmes quasi-statiques fortement
  non-linéaires (pb. de contact de mise en forme
  forgeage, filage, étirage),
• Problèmes avec prise en compte dendommagement
  et de ruine des matériaux (fissuration fragile
  dans les bétons et les céramiques, endommagement
  ductile des métaux avec gestion de la disparition
  des éléments totalement endommagés)

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Dynamique Rapide
Méthode éléments finis dynamique explicite
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

• Un schéma dintégration explicite est construit
  à laide des différences finis centrés pour
  lintégration temporelle de la cinématique

Pour ce cas la matrice K obtenue ne dépend pas
de la matrice de raideur K, mais uniquement de
la matrice de masse M, soit 
Au début dun incrément, on doit résoudre
léquilibre dynamique tel que la matrice de masse
nodale M par laccélération nodale , soit
égale aux forces nodales (différence entre les
forces extérieures P et les forces internes I.
Laccélération au début de lincrément courant
(temps t) sera
La matrice de masse utilisée étant diagonale
(lumped mass matrix), ce calcul est trivial et
très rapide.
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Dynamique Rapide
Méthode éléments finis dynamique explicite
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Lintégration temporelle de laccélération par
différences finis centrés donne
Lintégration temporelle de la vitesse, ajoutée
au déplacement au temps t, permet le calcul du
déplacement en fin dincrément
On constate bien que le déplacement en fin
dincrément sexprime uniquement en fonction des
quantités (déplacement, vitesse, accélération)
calculées au début de lincrément.
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Dynamique Rapide
Algorithme - Méthode éléments finis dynamique
explicite
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 résolution aux nœuds
a équilibre dynamique
b intégration temporelle explicite
2 Calcul sur les éléments
a évaluer lincrément de déformation à partir
du taux des déformations
b calcul des contraintes s à partir de loi
constitutive
c assemblage des forces internes aux nœuds
3 Actualiser t à tDt puis aller à létape 1.
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Dynamique Rapide
Méthode éléments finis dynamique explicite
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Le schéma explicite nest pas inconditionnellement
stable. Le critère de stabilité fait intervenir
la plus grande fréquence propre du système et
vaut en labsence damortissement
Dune façon pratique la condition de stabilité
lie le pas de temps au pas despace par la
relation
Le longueur du plus petit élément Cd plus
grande célérité des ondes dans la structure
Acier (210 GPa 7800 kg.m-3) ? Cd 5200 m/s
Si Le 5mm alors Dt 1.10-6 s
Ainsi plus le maillage est fin plus le pas de
temps est petit. Un schéma dintégration
explicite permet de rendre compte des phénomènes
locaux et dassurer un transfert numérique des
efforts au sein de la structure.
Distorsion / mass scaling ?
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Dynamique Rapide
Méthode de résolution exemple
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Propagation numérique dune force sur une barre
dont le modèle est exposé ci-dessous.
56
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Dynamique Rapide
Méthode de résolution exemple
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

• inc 1
• le nœud 1 possède une accélération résultant de
  la force P exercée

- laccélération engendre une vitesse au nœud 1
qui en retour induit un taux de déformation de
lélément 1.

• lincrément de déformation est obtenu par
  intégration du taux de déformation sur linc. de
  temps 1. La déformation totale sera la somme de
  lincrément de déformation et de la déformation
  initiale.

• La contrainte au sein de lélément 1 sera
  calculée à partir de la loi de comportement

• Les nœuds 2 et 3 ne bougent pas au cours de cet
  inc. puisque aucune force ne leur est appliquée.

57
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Dynamique Rapide
Méthode de résolution exemple

• inc 2
• Au cours de cet incrément, la contrainte au sein
  de lélément 1 induit des forces internes
  agissant sur les nœuds liés à 1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

• Config début inc2

• Le processus se poursuit jusquà atteindre le
  temps souhaité.

• Config début inc3

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Dynamique Rapide
Description du mouvement
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La prise en compte dune description particulière
du mouvement permet de limiter les fortes
distorsions du maillage.

• Description Lagrangienne
• Lobservateur est fixe par rapport à lécoulement
  de la matière, on suit le mouvement dune
  particule observée. Les grandeurs physiques sont
  exprimées dans la configuration de référence. (pb
  distorsion maillage, HPP)
• - Description Eulérienne
• Lobservateur fixe un point géométrique de
  lespace, qui est le siège découlement de
  matière. Les grandeurs physiques sont exprimées
  dans la configuration déformée. (pb gestion des
  CL, des surfaces libres)
• - Description Euléro-Lagrangienne Arbitraire
• Description mixte du mouvement. Lobservateur
  fixe un point de référence dont on gère
  arbitrairement le mouvement. Cette description
  est associée à un algorithme de remaillage
  automatique et adaptatif(Cf. cours spécialisé).

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60
Dynamique Rapide
Description du mouvement
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Avantage dune description ALE avec remaillage
automatique
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Dynamique Rapide
Lois de comportement thermo-élasto-viscoplastique
J-C
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Sensibilité de lécrouissage à la vitesse de
déformation et à la température.
Lécriture des équations constitutives dans les
axes corotationnels permet dutiliser un schéma
dintégration de la loi constitutive
élasto-plastique identique à celui utilisé en
petites déformations
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Dynamique Rapide
Intégration dun critère dendommagement à la loi
de comportement.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Endommagement plastique ductile des métaux
(J.-C.).
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Dynamique Rapide
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Modélisation de lusinage coupe orthogonale
fraisage
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Plasticité numérique
Exemple
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Plasticité numérique
Exemple
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Plasticité numérique
Exemple
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Solveur ?
Problème à résoudre

• Équations déquilibre locales
• Conditions initiales u(0) ? déplacement,
• v(0) ? vitesses,
• Conditions aux limites sur les déplacements.
• MMC ? conservation de lénergie totale,
• ? conservation de la masse.

sur un élément de volume V de la structure sur
un élément de surface dG de la structure
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69
Solveur ?

• Formulation variationnelle  Principe des
  Puissances Virtuelles

• Discrétisation de lespace par éléments finis 
  équation matricielle

(1)
Soit  ou encore 
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Solveur ?
Problème à résoudre

• Discrétisation en temps ? résolution successive
  du système sur p pas de temps

• Résolution sur chaque pas de temps par
  intégration directe 
• Exprimer grâce à des approximations (schémas
  dintégrations) les déplacements, vitesses ou
  accélérations du pas suivant en fonction des
  résultats du pas précédent
• ? deux types de schémas dintégrations
  Implicite Explicite

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Solveur ?
Algorithme de résolution Schéma implicite
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Solveur ?
Algorithme de résolution Schéma implicite
Le vecteur déplacement du pas suivant est
fonction des caractéristiques du pas précédent et
du pas suivant (algorithme de type déplacement).
Algorithmes généralement inconditionnellement
stable
aucune condition sur le pas de temps.
Si calcul élastique linéaire
un seul calcul de la matrice de raideur doù un
seul assemblage et une seule inversion de K

• Une force locale appliquée a un effet immédiat
  sur le reste de la structure. Pas de traitement
  dynamique local, mais rendu à léchelle de la
  structure dune force transitoire appliquée.

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Solveur ?
Algorithme de résolution Schéma explicite
Pour ce cas la matrice K obtenue ne dépend pas
de la matrice de raideur K, mais uniquement de
la matrice de masse M, soit 
Schéma dintégration explicite des différences
centrales 
Le schéma explicite nest pas inconditionnellement
stable. Une condition de stabilité lie le pas de
temps au pas despace et sexprime 
Ainsi plus le maillage est fin plus le pas de
temps est petit. Un schéma dintégration
explicite permet de rendre compte des phénomènes
locaux et dassurer un transfert numérique des
efforts au sein de la structure.
Modélisation des phénomènes de dynamique rapide -
(choc ou explosion)
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