1
Deeltjes en velden HOVO Cursus

•  
• Jo van den Brand
• 10 oktober 2013

jo_at_nikhef.nl
2
Overzicht

• Docent informatie
• Jo van den Brand Gideon Koekoek
• Email jo_at_nikhef.nl en gkoekoek_at_gmail.com
• 0620 539 484 / 020 592 2000
• Rooster informatie
• Donderdag 1000 1300, HG 08A-05 (totaal 10
  keer)
• Collegevrije week 24 oktober 2013
• Boek en website
• David Griffiths, Introduction to Elementary
  Particles, Wiley and Sons, ISBN 978-3-527-40601-2
  (2008)
• Zie website URL www.nikhef.nl/jo
• Beoordeling
• Huiswerkopgaven 20, tentamen 80

3
Inhoud

• Inleiding
• Deeltjes
• Interacties
• Relativistische kinematica
• Speciale relativiteitstheorie
• Viervectoren
• Energie en impuls
• Quantumfysica
• Formalisme
• Spin van deeltjes
• Structuur van hadronen

• Symmetrieën
• Behoudwetten, quarkmodel
• Symmetriebreking
• Veldentheorie
• Lagrange formalisme
• Feynman regels
• Quantumelektrodynamica
• Diracvergelijking
• Quarks en hadronen
• Quantumchromodynamica
• Elektrozwakke wisselwerking
• Higgs formalisme

4
Klassieke mechanica

• Vectoren
• Positie
• Snelheid
  versnelling
• Wetten van Newton
• Eerste wet indien geen kracht werkt, dan
  verandert de bewegingstoestand niet
• Tweede wet
• Derde wet actie en reactie
• Andere relaties behoudswetten
• Arbeid en kinetische
  energie
• Impuls
• Baanimpulsmoment
• Relativiteitsprincipe
• Geen verschil tussen rust en beweging
• met constante snelheid

Newton 1642 - 1727
5
Fotoelektrisch effect

• Een foton maakt elektron vrij
• Werkfunctie f
• Maximum kinetische energie elektron, Km
• Support voor fotonhypothese
• Onafhankelijk van intensiteit licht
• Afhankelijk van frequentie licht
• Er geldt Km eV0

6
Compton effect

• Een foton botst op een vrij elektron
• Compton verschuiving (zie 3.7.10)
• Handiger met SRT
• Constante van Planck in de formule
• Biljarten met fotonen en elektronen
• Foton wordt behandeld als een deeltje

Compton 1927
7
Spectra

• Licht is elektromagnetische straling
• Gekarakteriseerd door
• Golflengte (430 690 nm)
• Frequentie
• Snelheid
• Maar ook
• Energie
• Impuls
• Met behulp van een spectrometer kan men een
  spectrale decompositie maken welke frequenties
  bouwen het licht op
• Sommige lichtbronnen hebben een continue spectrum
• De zon
• Een gloeilamp

8
Atomaire spectra

• Een atoom bestaat uit een kern en een aantal
  elektronen
• Een kern bestaat uit protonen en neutronen (e.g.
  isotopen)
• Atoom is elektrisch neutraal en bevat evenveel
  elektronen als protonen
• Elektronen zijn geordenend in zogenaamde banen
  stationaire quantumtoestanden
• Deze toestanden hebben verschillende discrete
  energieen
• Als elektronen van toestand veranderen, dan wordt
  er straling uitgezonden of geabsorbeerd
• De spectra zijn discreet

Waterstof
Helium
9
Absorptiespectra

• Stel, twee stationaire toestanden zijn met
  energie E1 en E2
• Er geldt E1 gt E2
• Bij overgang van toestand 1 ? 2 wordt er een
  foton uitgezonden
• Bij overgang van toestand 2 ? 1 wordt er een
  foton geabsorbeerd

materiaal
bron
Absorptielijn
Atomair waterstof
Straling van de zon
10
Elementen in de zon

• Identificeer elementen in sterren
• Helium ontdekt in spectrum van de zon
• Pierre Janssen Norman Lockyer, 1868
• 24 van de masa-abondantie in Universum
• Roodverschuiving geeft snelheid van
  sterrenstelsels

11
Spectra van het melkwegstelsel
12
Oude atoommodel van Bohr

• Quantumpostulaten
• Atoom kan bestaan in stationaire toestanden
• In deze toestanden zendt het atoom geen straling
  uit
• Atoom zendt enkel straling uit als het van
  toestand verandert. De frequentie van de straling
  wordt gegeven door
• Rutherford had ontdekt dat het atoom bestaat uit
  een zware kern waaromheen elektronen cirkelen

13
Oude atoommodel van Bohr

• Tweede wet van Newton
• Coulombkracht en centripetale kracht
• Kinetische energie van het elektron
• Potentiële energie
• Totale energie
• Criterium voor quantisatie
• Baanimpulsmoment is discreet
• L heeft dezelfde eenheid als h

14
Oude atoommodel van Bohr

• We vinden
• Met geeft dit
• Baanimpulsmoment
  en
• Mogelijke stralen
• Energieniveaux
• Beperkte precisie (0,02) geen info over
  intensiteit van spectraallijnen He

15
Materiegolven

• Licht bestaat uit discrete eenheden (fotonen) met
  deeltjesachtige eigenschappen (energie, impuls)
  die gerelateerd zijn aan golfachtige
  eigenschappen (frequentie, golflengte)
• In 1923 postuleerde Prins Louis de Broglie dat
  gewone materie golfachtige eigenschappen kan
  hebben, waarbij de golflengte ? op dezelfde
  manier met de impuls p in verband staat als bij
  licht
• Golflengte hangt van de impuls af
• Niet van de grootte van het object
• Voorspelling diffractie en interferentie van
  materiegolven

De Broglie, 1929
16
De Broglie golflengten

• Golflengte van een elektron met 50 eV kinetische
  energie
• Golflengte van een stikstof molecuul op
  kamertemperatuur
• Golflengte van een rubidium(87) atoom op 50 nK

17
Davisson-Germer experiment

• Het Davisson-Germer experiment
• verstrooiing van een bundel elektronen aan een Ni
  kristal
• Bij een vaste hoek worden scherpe pieken in
  intensiteit gevonden als functie van de elektron
  energie interferentie!

?i
Davisson 1937
G.P. Thomson 1937
Constructieve interferentie als
?r
a
18
Twee-spleten experiment

• Oorspronkelijk uitgevoerd door Young (1801) om
  het golfkarakter van licht te demonstreren. Het
  wordt nu gebruikt voor onder andere elektronen,
  neutronen, He atomen
• Maxima

Alternatieve detectie methode scan een detector
langs het scherm en registreer het aandeel
deeltjes dat op elke positie arriveert.
y
d
?
Invallende coherente bundel van deeltjes (of
licht)
Detectie scherm
D
19
Twee-spleten experiment
Waarom niet 2x single-slit patroon?
20
Meetresultaten

• Interferentiepatronen kunnen niet met klassieke
  fysica verklaard worden
• Demonstratie van de hypothese van materiegolven

He atoms O Carnal and J Mlynek 1991 Physical
Review Letters 66 2689-2692
C60 molecules M Arndt et al. 1999 Nature 401
680-682
Met multiple-slit grating
Neutrons, A Zeilinger et al. 1988 Reviews of
Modern Physics 60 1067-1073
Zonder grating
21
Meetresultaten

• Single elektron events
• Twee-spleten experiment
• 10 Hz, 50 kV, 120.000 km/s, 1 m lengte
• www.hitachi.com
• Golf of deeltje?

22
Interpretatie

• Deeltjesflux kan gereduceerd worden, zodat er
  steeds slechts een deeltje per keer op het scherm
  aankomt
• We zien dan nog steeds interferentie banden!
• Elk deeltje gaat door beide spleten
  tegelijkertijd
• Het golfkarakter kan gedemonstreerd worden voor
  een enkel object
• Een materie-deeltje interfereert met zichzelf
• Als we proberen te ontdekken door welke spleet
  het deeltje gaat, dan verdwijnt het interferentie
  patroon!
• We kunnen golf- en deeltjeskarakter niet
  tegelijkertijd waarnemen
• Richard Feynman a phenomenon which is
  impossible, absolutely impossible, to explain in
  any classical way, and which has in it the heart
  of quantum mechanics.
  In reality it contains the only
  mystery.

23
Toepassing

• Elektronenmicroscoop
• Gebaseerd op golfkarakter van elektronen
• Gewone microscoop kan details zien ter grootte
  van de golflengte van het licht
• De elektronen kunnen versneld worden tot hoge
  energie en hebben dan een kleine golflengte
• Vergroting bijvoorbeeld 50 miljoen keer

24
Staande golven

• Lokalisatie van een golf
• Staande golven op een snaar
• Golflengte gequantiseerd
• Quantumgetal n
• Frequenties gequantiseerd
• Golfsnelheid v
• Lokalisatie leidt tot quantisatie

25
Opgesloten foton

• Opgesloten foton
• Twee perfecte spiegels op afstand L
• Licht is een elektromagnetisch veld E
• Er geldt
• E 0 voor x 0 L
• Energiedichtheid
• Elk foton heeft energie
• Waarschijnlijkheid om foton aan te treffen
  evenredig met het kwadraat van de veldamplitude
• Waarschijnlijkheidsdichtheid
• Kans om deeltje aan te treffen tussen positie x
  en x dx
• Er geldt
• Energie

Nulpuntsenergie! E1 ? 0
26
Waarschijnlijkheid

• Aantal studenten in een kamer
• Histogram van leeftijden
• Totaal aantal
• Kans dat iemand 15 jaar oud is?
• Er geldt
• Meest waarschijnlijke leeftijd?
• 25 jaar
• Mediane leeftijd?
• 23 jaar (7 ouder, en 7 jonger)
• Gemiddelde leeftijd?
• Algemeen gemiddelde van functie

27
Waarschijnlijkheid

• Vergelijk 2 verdelingen
• Dezelfde mediaan, gemiddelde, meest
  waarschijnlijke waarde, en aantal elementen
• Verschillende spreiding
• Maat voor spreiding
• Echter
• Variantie

28
Waarschijnlijkheidsdichtheid

• Waarschijnlijkheidsdichtheid
• Kans dat iemand 18 jaar, 243 dagen, 11.928
  seconden, 874.231 microseconden oud is?
• Kans op leeftijd tussen 20 en 25 jaar?
• Er geldt klassiek

Quantummechanica
bijvoorbeeld
29
Hilbertruimte

• Vector en functie
• Vector a voor enkel waarde van index i 1, 2,
  hebben we een component ai
• Functie f voor enkel waarde van argument x,
  hebben we een functiewaarde f(x)
• Operaties
• Optellen vectoren a b c en optellen functies
  f(x) g(x) h(x)
• Inproduct
• Lengte van een functie
• Parallelle functies
  Orthogonale functies
• Definitie van Hilbertruimte
• Lineaire vectorruimte met inproduct en oneindig
  aantal dimensies
• Hilbertruimte is compleet
• Toestand van een systeem
• Alle informatie wordt gegeven door golffunctie
• We spreken ook over de toestandsvector
• Toestandsvector leeft in de Hilbertruimte

30
Basis in Hilbertruimte I

• Verzameling van alle polynomen P(N)
• Op interval -1 lt x lt 1
• Kies als basis
• We hebben nu een N-dimensional vectorruimte
• Deze basis is niet orthonormaal, want
• Orthonormaliseer met Gram-Schmidt procedure
• Dat levert de Legendre polynomen
• Vergelijk met vectoren

31
Basis in Hilbertruimte II

• Verzameling van alle goniometrische functies T(N)
• Op interval -1 lt x lt 1
• Kies als orthonormale basis
• Hierop berust Fourieranalyse
• We kunnen functies beschrijven door sin(npx) en
  cos(npx) op te tellen

32
Matrices en operatoren

• Matrix is een getallenschema
• Element mij voor rij i en kolom k
• Vermenigvuldiging van matrix M met vector a
• Dit levert een nieuwe vector b
• Deze actie is lineair
• Operator A
• Genereert uit een functie f een andere functie
• Actie is lineair

33
Eigenfuncties en eigenwaarden

• Actie van operator A
• Vergelijkbaar met die van een matrix
• Hij strekt of krimpt de functie f en/of roteert
  deze functie
• In sommige gevallen is er geen rotatie
• Dan geldt
• Dit zijn de eigenfuncties en eigenwaarden van
  operator A
• Hermitische operator A
• Hiervoor geldt
  voor alle functie f en g
• Bijzondere en belangrijke eigenschappen
• De eigenwaarden zijn reëel
• De eigenvectoren (die horen bij verschillende
  eigenwaarden) zijn orthogonaal
• De eigenvectoren zijn compleet

34
Axiomas van de quantummechanica

• Toestand van een systeem wordt door
  toestandsfunctie voorgesteld
• Iedere fysische grootheid correspondeert met een
  hermitische operator
• Een toestand van een systeem, waarin een fysische
  grootheid A een nauwkeurig bepaalde (zogenaamde
  scherpe) waarde heeft, moet door een eigenfunctie
  van de corresponderende operator beschreven
  worden. De waarde van de grootheid A
  in deze toestand is de bijbehorende eigenwaarde
  a.
• Als de fysische grootheid A, gekenmerkt door de
  operator A, voor een systeem dat beschreven wordt
  door de toestandsfunctie geen scherp bepaalde
  waarde heeft, dan kan men toch een
  verwachtingswaarde aangeven, namelijk
• Indien de metingen aan het systeem in dezelfde
  toestand meerdere malen worden uitgevoerd, dan
  vindt men voor de gemiddelde waarde van A precies
  de waarde lt A gt.

35
Toelichting axiomas

• De toestandsfunctie geeft alle informatie, maar
  is zelf niet meetbaar
• Het is een vector in de Hilbertruimte
• De verwachtingswaarde voor observable A en
  toestand
• Verwachtingswaarden moeten reëel zijn, dus geldt
• Dit is equivalent met
• Als een operator hieraan voldoet, dan is dat een
  Hermitische operator
• Dan geldt ook (voor bewijs, zie dictaat)

36
Axiomas van de quantummechanica

• Wanneer is het resultaat van een meting uniek?
• Beschouw spreiding
• Uniek resultaat betekent
• Als het systeem zich in een eigentoestand
  bevindt, dan levert een meting als uniek
  resultaat de eigenwaarde a die hoort bij deze
  eigentoestand
• Fysische operator heeft een spectrum van
  eigenwaarden
• Resultaat van metingen zijn de eigenwaarden an
• Na de meting wordt de toestand beschreven door
  eigenfunctie
• De eigenfuncties zijn compleet
• Voor een willekeurige toestand geldt

met
37
Operatoren van positie en impuls

• Operatoren kunnen niet algemeen afgeleid worden
• Analogie met klassieke mechanica van Hamilton en
  Lagrange
• Operator x voor positie x
• Operator px voor impulscomponent px
• Toestanden met scherpe impuls
• Reële deel is een harmonische golf
• Golflengte zoals vereist door de Broglie
• Definieer golfgetal
• Toestand met scherp bepaalde positie,
  bijvoorbeeld x a
• Oplossing noemen een delta functie
• Als geen delta-functie
• Waarschijnlijkheidsverdeling

38
Onzekerheidsrelaties

• Beschouw golffunctie
• Superpositie van golven
• Golfpakketje van een deeltje
• Gemiddelde impuls px
• Er geldt
• Voor de breedte geldt
• Onzekerheidsrelatie van Heisenberg
• Onzekerheid zit ingebouwd in formalisme

p
px
39
Commutatierelaties

• Laat operatoren voor positie en impuls werken op
  een functie f
• en verwissel de volgorde ...
• Het verschil bedraagt
• Dit geldt voor elke functie f
• We vinden de operatorvergelijking
• Het is principieel onmogelijk om geconjugeerde
  variabelen tegelijkertijd scherp te bepalen
• Dit geldt ook voor de andere component, voor
  energie en tijd, voor impulsmoment componenten
  onderling, etc.
• Voor verdieping zie sectie 3.2.6

40
Schrödingervergelijking

• Impulsoperator
• Vectoroperator die een gradiënt neemt
• Operator voor kinetische energie
• Laplace-operator
• Operator voor potentiële energie
• Hamiltoniaan
• Operator voor totale energie
• Operatorvergelijking
• Schrödingervergelijking

41
Energieoperator

• Energieoperator
• Eigenfuncties
• Harmonische functies met hoekfrequentie
• Materie- en lichtgolven met frequentie n hebben
  energie
• Toestandsfunctie met scherpe energie
• Correspondeert met een harmonische trilling op
  ieder punt in de ruimte
• Het is een staande golf!
• Om de golf te karakteriseren, dienen we de
  ruimtelijke verdeling van de amplitude te weten
• Tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking
• Ook wel

42
Waterstofatoom

• Schrödingervergelijking
• Coulombpotentiaal
• Operator