Specifiche Algebriche ESERCIZI Versione 0.0

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Specifiche AlgebricheESERCIZIVersione 0.0

• Gianna Reggio
• reggio_at_disi.unige.it

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Esercizio 1

• Sig S
• Sort tipo, cosa
• Opns a, b tipo
• c tipo -gt cosa
• d cosa -gt tipo
• Preds prop cosa
• Quali di questi assiomi su S sono condizionali
  positivi?
• a b ? c(Y) d(X)
• def(a) ? def(b) ? a b
• d(c(X)) c(d(X))
• def(a) ? ? Xcosa. d(X) a
• prop(X) ? ? prop(a)
• prop(b) ? ? prop(a)
• Dare esempi di assiomi positivi condizionali
  riguardanti la verità di prop.
• Dare esempi di assiomi del primordine definenti
  il predicato prop.
• Definire il predicato prop con assiomi del
  primordine in modo tale che sia vero solamente
  sugli elementi rappresentabili usando a e c.

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Esercizio 2

• Si considerino le seguenti specifiche, dove S è
  la segnatura definita nel foglio precedente
• SP1 sig S axiom def(a) ? def(b) ? a b
• SP2 sig S axiom ? Xtipo.d(c(X))X
• SP3 sig S axioms def(c(X))
  def(d(Y)) d(c(X)) X ? def(a) ? def(b) prop(b)
  ? ? prop(a)
• SP4 sig S axioms def(c(X)) def(d(Y)) (?
  Xtipo.? Ycosa. d(c(X)) X) ? def(a) ?
  def(b)
• Quali sono condizionali positive ?
• Quali ammettono il modello iniziale ?
• Per quelle soluzione del punto precedente
  caratterrizzare tale modello
• Per i 1,,4, dire quali delle seguenti
  affermazioni sono vere
• Mod(SPi) prop(a) ? def(a)
• Mod(SPi) d(c(a)) a
• Mod(SPi) d(c(X)) X ? a d(c(a))

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Esercizio 3

• spec SEQ
• Sort seq, nat
• Opns 0 nat
• succ nat -gt nat
• __ nat x nat -gt nat
• L seq
• _ _ nat x seq -gt seq
• size seq -gt nat
• _ _ seq x seq -gt seq
• Preds isEmpty seq
• what seq x nat
• axioms
• def(0) def(succ(x)) def(nm)
• 0 n n
• succ(n) m succ(nm)
• def(L)
• def(n s)

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Esercizio 4

• spec SEQFancy
• Sort seq, nat
• Opns 0 nat
• succ nat -gt nat
• __ nat x nat -gt nat
• diff nat x nat
• L seq
• _ _ nat x seq -gt seq
• axioms
• def(0) def(succ(x)) def(nm)
• 0 n n
• succ(n) m succ(nm)
• diff(0, succ(n))
• diff(n,m) ? diff(succ(n),succ(m))
• diff(n,m) ? diff(m,n)
• def(L)
• def(n s)
• estendere SEQFancy intesa con semantica iniziale
  aggiungendo operazioni/predicati ed assiomi in
  modo da arrichire le sequenze con la seguente
  funzionalità

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Esercizio 5

• spec SEQFirsti
• Sort seq, nat
• Opns 0 nat
• succ nat -gt nat
• __ nat x nat -gt nat
• L seq
• _ _ nat x seq -gt seq
• axioms
• def(0) def(succ(x)) def(nm)
• 0 n n
• succ(n) m succ(nm)
• def(L)
• def(n s)
• AXi
• AX1 s s
• AX2 n s s
• AX3 s L

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Esercizio 6

• spec SEQFancy2 extend SEQ Fancy
• Opns op seq x seq -gt seq
• axioms
• diff(n,m) ? op(ns,ms) op(s,s)
• op(L,s) L
• op(ns,ns) op(s,s)
• op(s,L) L
• Quali delle seguenti affermazioni sono vere?
• nel modello iniziale di SEQFancy2 op ritorna il
  massimo postfisso comune alle due sequenze prese
  come argomento
• nel modello iniziale di SEQFancy2 op è totale
• esiste un modello di SEQFancy2 dove op è parziale
• spec SEQFancy3 extend SEQ Fancy
• Preds pr seq x nat
• axioms
• diff(n,0) ? pr(ns,n)
• diff(m,0) ? diff(n,m) ? pr(s,m) ? pr(ns,m)
• Quali delle seguenti affermazioni sono vere?
• nel modello iniziale di SEQFancy3 pr controlla se
  un naturale diverso da 0 appartiene ad una
  sequenza