Aide

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Aide à la décision

• Bloc1 Théorie des graphes et problèmes
  dordonnancement
• Mohamed Ali Aloulou
• aloulou_at_lamsade.dauphine.fr
• Une partie de ces transparents a été élaborée en
  se basant sur le document de Pierre
  Lopez, LAAS, Toulouse http//www.laas.fr/lopez/co
  urs/GRAPHES/graphes.html

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Plan du bloc 1

1. Quest ce quon peut faire avec la théorie des
   graphes ?
2. Concepts généraux en théorie des graphes
3. Le problème du plus court chemin
4. Problème central de lordonnancement

http//www.lamsade.dauphine.fr/aloulou/cours/L3ST
CF/
3
Pourquoi la théorie des graphes ?

• Modélisation
• Plusieurs problèmes dans différentes disciplines
  (chimie, biologie, sciences sociales,
  applications industrielles, )
• Un graphe peut représenter simplement la
  structure, les connexions, les cheminements
  possibles dun ensemble complexe comprenant un
  grand nombre de situations
• Un graphe est une structure de données puissante
  pour linformatique

Exemples
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Concepts généraux en théorie des graphes

• Définitions
• Représentations dun graphe
• Notions de base
• Graphes particuliers
• Algorithme de détection de circuits
• Algorithme vérifiant quun sommet est racine (ou
  pas) dun graphe

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Concepts généraux en théorie des
graphesDéfinitions

• Concepts orientés
• Un graphe G(X,U) est déterminé par
• Un ensemble Xx1,,xn de sommets
• Un ensemble Uu1, , um du produit cartésien
  XX darcs.
• Un p-graphe pas plus que p arcs (xi,xj)

boucle
Arc u(xi,xj)
3-graphe
1-graphe graphe
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Concepts généraux en théorie des
graphesDéfinitions

• Graphes et applications multivoques
• xj est successeur de xi si (xi,xj)?U
• Lensemble des successeurs de xi est noté ?(xi)
• Lensemble des prédécesseurs de xi est noté
  ?-1(xi)
• ? est appelée une application multivoque
• Pour un 1-graphe, G peut être parfaitement
  déterminé (ou caractérisé) par (X,?)

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Concepts généraux en théorie des
graphesDéfinitions

• Concepts non orientés
• On sintéresse à lexistence darcs entre deux
  sommets sans en préciser lordre
• Arc arête
• U est constitué de paires non pas de couples
• Multigraphe plusieurs arêtes entre deux sommets
• Graphe simple non multigraphe pas de boucles

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Concepts généraux en théorie des graphes
Représentations dun graphe

1. Matrice dadjacence

Place mémoire n²
Pour un graphe numérisé remplacer 1 par la
valeur de larc
9
Concepts généraux en théorie des graphes
Représentations dun graphe

1. Matrice dincidence sommets-arcs

Place mémoire n x m
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Concepts généraux en théorie des graphes
Représentations dun graphe

1. Listes dadjacence

Place mémoire n1m
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Concepts généraux en théorie des graphes
Représentations dun graphe

1. Dictionnaire des suivants / préédents

12
Concepts généraux en théorie des graphes Notions
de base
13
Concepts généraux en théorie des graphes Notions
de base
14
Concepts généraux en théorie des graphes Notions
des base

• Chaîne Cycle

• Chemin Circuit

• Ascendant descendant racine anti-racine

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Concepts généraux en théorie des graphes
Connexité dans les graphes

• Le terme parcours regroupe les chemins, les
  chaînes, les circuits et les cycles
• Un parcours peut être
• élémentaire tous les sommets sont distincts
• simple tous les arcs sont distincts
• hamiltonien passe une fois et une seule par
  chaque sommet
• eulérien passe une fois et une seule par chaque
  arc
• préhamiltonien ou moins une fois par chaque
  sommet
• préeulérien au moins une fois par chaque arc

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Concepts généraux en théorie des graphes
Connexité dans les graphes

• Exemple
• Le problème du voyageur de commerce un voyageur
  de commerce doit visiter n villes données en
  passant par chaque ville exactement une fois et
  doit revenir à la ville de départ.
• Trouver un circuit hamiltonien de coût minimal
  dans un graphe valué

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Concepts généraux en théorie des graphes
Connexité dans les graphes

• Connexité

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Concepts généraux en théorie des graphes
Connexité dans les graphes

• Forte connexité

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Concepts généraux en théorie des graphes Graphes
particuliers

• Graphes sans circuit
• Décomposition en niveaux
• Graphe biparti
• Graphe planaire
• Hypergraphe
• Arbre
• Forêt
• Arborescence

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Concepts généraux en théorie des graphes
Algorithme de détection de circuits
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Concepts généraux en théorie des graphes
Algorithme de vérifiant quun sommet est racine
dun graphe
22
Exemples
En 1736, Euler a montré que cest impossible !!
retour
23
retour
24
Références bibliographiques

• P. Lopez, Cours de graphes, LAAS-CNRS
  http//www.laas.fr/lopez/cours/GRAPHES/graphes.ht
  ml
• Ph. Vallin and D. Vanderpooten. Aide à la
  décision une approche par les cas. Ellipses,
  Paris, 2000.
• M. Gondron, M. Minoux, Graphes et algorithmes,
  Eyrolles, Paris, 1984
• C. Prins, Algorithmes de graphes, Eyrolles,
  Paris, 1994
• Ph. Lacomme, C. Prins, M. Sevaux, Algorithmes de
  graphes, Eyrolles, 2003
• B. Baynat, Ph. Chrétienne, , Exercices et
  problèmes dalgorithmique, Dunod, 2003
• E. Lawler, Combinatorial Optimization Networks
  and matroids, Dover Publications, INC, 1976.
• Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, Introduction à
  lalgorithmique, DUNOD, 2ième édition, série
  Sciences Sup,2002.
• Berstel, Beauquier, Chrétienne, Eléments
  dalgorithmique, MASSON, collection MIM, 1992.
  Téléchargeable gratuitement!
• http//www-igm.univ-mlv.fr/berstel/Elements/Ele
  ments.html
• R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, and J. B. Orlin,
  Network flows Theory, Algorithms and
  Applications http//web.mit.edu/jorlin/www/