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Curso Propedéutico de Física Moderna I Instituto
de Ciencias Físicas UNAM Semana 2
Dinámica relativista Antonio M.
Juárez Reyes, Instituto de Ciencias Físicas
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Temario, semanas 1 y 2
Parte 1 1.1.- Sistemas de referencia. 1.2.-
Transformaciones de Galileo. 1.3.- Constancia de
la velocidad de la luz y sus consecuencias,
concepto de simultaneidad. 1.4 Transformaciones
de Lorentz y consecuencias, espacio-tiempo.
Parte 2 2.1 Velocidades relativistas, efecto
doppler. 2.2 Invariantes relativistas s2 x2
y2 z2 c2 t2 E2 p2 c2 2.3 Dinámica
relativista masa, fuerza y energía
relativista. 2.4 Aceleración bajo una fuerza
constante. 2.5 Transformación de campos
electromagnéticos.
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2.1 Velocidades relativistas,.
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2.1 Velocidades relativistas,.
En ésta segunda sesión continuaremos explorando
las implicaciones del postulado de la relatividad
especial, concerniente a la invariancia de
las leyes físicas en sistemas inerciales.
En esta sección revisaremos cómo se modifican las
fórmulas de velocidades en relatividad. La
derivación será una aplicación directa de las
transformadas de Lorentz vistas en la clase
pasada
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2.1 transformaciónde velocidades.
Las transformadas de Lorentz
Saquemos las diferenciales de éstas Expresiones
(2 minutos)
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2.1 transformaciónde velocidades.
Definimos la velocidad medida en el sistema de
referencia Ocomo
Utilizando (2.1) obtengan la expresión para vx,
vy y v z (3 minutos)
Ya?
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2.1 transformaciónde velocidades.
Lo que debieron haber obtenido
Fórmulas de transformación de velocidades.
Noten que vx es la velocidad en el sistema O,
vx en el O y v es la Velocidad relativa entre O
y O.
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2.1 transformaciónde velocidades.
Problema Probar que la velocidad de la luz es
invariante respecto al Movimiento uniforme
rectilíneo
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2.1 Efecto doppler relativista.
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2.1 Efecto doppler relativista.
Una fuente de luz se mueve con velocidad v, como
se muestra en la figura
cuál es la longitud de onda, en función de la
frecuencia en reposo y de la velocidad de la
fuente? ( 1 minuto)
Clásico
Considerando la transformación de Lorentz para el
período.
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2.1 Efecto doppler relativista.
Ejercicio Probar que la expresión anterior se
puede escribir Como
Recordando que clambda x frecuencia ( 5 minutos)
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2.2 Dinámica relativista masa, fuerza y energía
relativista.
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2.2 Dinámica relativista masa, fuerza y energía
relativista.
Evaluemos ahora las implicaciones que la
relatividad especial tiene respecto A la
invariancia de las leyes mecánicas
Imaginemos el siguiente experimento pensado
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2.2 Dinámica relativista masa, fuerza y energía
relativista.
cuál es el cambio de momento vertical que mide O
y O en la colisión Que se ilustra en la figura?
Según el principio de relatividad especial
2moVy 2mVy qué implica esto?
R.-2moVy en O 2mVy en O
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2.2 Dinámica relativista masa, fuerza y energía
relativista.
Según el principio de relatividad especial
2mVy 2mVy qué implica esto?
Empleando la ecuación de transformaciones de
velocidades
2mVy 2mVy g
Pues Vx0
Lo anterior implica que la masa m y la masa m
están relacionados de la siguiente Manera
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2.2 Dinámica relativista masa, fuerza y energía
relativista.
Lo anterior implica que la masa m y la masa m
están relacionados de la siguiente Manera
Ésta es la fórmula de transformación relativista
de la masa. Esta expresón es muy útil, pues
nos permitirá encontrar la expresión Para las
distintas energías de un cuerpo, desde el punto
de vista relativista.
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2.2 Dinámica relativista masa, fuerza y energía
relativista.
Elevando al cuadrado
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2.2 Dinámica relativista masa, fuerza y energía
relativista.
Integrando
Probar que esta expresion se reduce a la clasica
a bajas velocidades v. (5 minutos)
(1-x)1/2 (1x/2 )
Curso propedéutico, Física moderna 2008
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2.3 Momento relativista
La energía cinética puede considerarse como la
diferencia entre la energía Total, E menos la
energía en reposo T E -Er
Dado que T mc2 moc2 Se puede asignar Emc2
Se puede probar que E2 (pc)2 (mo c)2 ( ver
tarea 2)
Momento relativista
Dado que la masa varía con la velocidad, es
necesario redefinir el momento En relatividad de
la siguiente manera p (mov)
g
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2.3 Momento relativista
Momento relativista
Dado que la masa varía con la velocidad, es
necesario redefinir el momento En relatividad de
la siguiente manera p (mov)
g Si se usa esta definición, la segunda ley de
Newton es Igual, salvo por la consideración de
p, definida en la Ecuación anterior. Explorarán
las implicaciones de esta fórmula en su tarea (
regla de la cadena).
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2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
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2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Supongamos que se tiene un alambre con una
densidad de carga por unidad De longitud ? de
cargas positivas y negativas, respectivamente.
Dado que la carga positiva ve una corriente I,
experimentará un campo Magnético B, dado por
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2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Donde la corriente esta dada por la densidad Por
la velocidad de las cargas.
Considerando la fuerza de Lorentz
Se tiene
Esta fuerza empujará a la carga lejos Del alambre
( convencerse) 2 min
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2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Analicemos ahora el problema considerando el
sistema de referencia en el Que la carga está en
reposo
Dado que la carga q está en reposo no hay fuerza
de Lorentz, aunque haya Corriente. Sin embargo
la carga experimentará una fuerza de donde
viene Tal fuerza?
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2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
La solución de la paradoja está en que, debido a
la contracción de Las longitudes, dada por la
transformada de Lorentz, la densidad de
cargas Positivas es distinta ahora de las
negativas
Corroborar esto 2 minutos
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2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Corroborar esto 2 minutos
Empleando el teorema de Gauss, podemos probar que
Donde se ha usado que
La fuerza experimentada por la carga, en su
sistema de referenica Es la misma en magnitud que
la sentida en el sistema en el que ella Aparece
en movimiento.
Sin embargo, en un caso el campo era magnético y
en el otro eléctrico.
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2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
El ejemplo anterior nos permite apreciar que,
dependiendo del sistema de Referencia el campo
puede ser eléctrico o magnético.
La derivación de las transformadas de Lorentz de
los campos E y B Es relativamente sencilla,
aunque larga. En los apéndices 1 y 2 en La
sección notas, encontrarán una derivación
sencilla de ellas. Aquí las tienen
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2.5 Notas finales
1.- Las soluciones de la tarea anterior están ya
en la red, puden revisarlas para ver en donde
fallaron. 2.- La tarea 2 ya está en la red.
Bájenla, imprímanla y deberán entregarla sin
falta al inicio de la próxima clase. 3.- Al
inicio de la próxima clase se hace examen
diagnóstico De este tema. Asegúrense de hacer los
problemas de la tarea. El Examen será a ese
nivel.