Ivana Mihalec

1
LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA

• Ivana Mihalec

2
Sadržaj

• 1. Uvod
• 2. Laplaceova transformacija i inverzna
• Laplaceova transformacija
• 3. Svojstva Laplaceovih transformacija
• 4. Primjena Laplaceovih transformacija
• 5. Literatura

3

• 1. Uvod

4
PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 1827)

• veliki francuski matematicar i fizicar
• jedan od utemeljitelja metrickog sustava
• bavio se teorijom potencijala i matematickom
  statistikom
• dokazao stabilnost suncevog sustava

5

• Laplaceova transformacija je metoda rješavanja
• linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se
  sastoji
• od tri koraka
• 1. Jednadžba se transformira u algebarsku
• jednadžbu
• 2. Tako dobivena jednadžba se riješi
• 3. Rješenje se transformira u traženo rješenje
  originalne difrencijalne jednadžbe

6

• U tehnickoj literaturi je prihvacena i
• uobicajena primjena Laplaceove
• transformacije.
• Pomocu te se transformacije racunski
• postupci svode na algebarske, a upotreba
• transformacijskih tablica skracuje rad.

7
2. Laplaceova transformacija i inverzna
Laplaceova transformcija
8

• f(t) za t0
• F(s) je nazvana Laplaceova transformacija (prema
  Pierre
• Simon De Laplaceu) i oznacavamo je sa L(f)
• Originalna funkcija f(t) zove se inverzna
  transformacija ili
• inverzija od F(s) te ju zapisujemo

9

3. Svojstva Laplaceovih transformacija
10

• Funkcija f(t) se može transformirati ako
  zadovoljava
• sljedece uvjete
• a ) definirana je i jednoznacna za t gt 0
• b ) po dijelovima je kontinuirana unutar svakog
• konacnog intervala 0 lt a lt t lt b
• c ) njen Laplaceov intergral mora biti
  konvergentan
• Sljedeci teoremi cine osnovu za široku primjenu
• Laplaceove transformacije.

11
Teorem 1. Linearno svojstvo
Linearni operator je transformacija koja zbroj
prebacuje u zbroj, razliku u razliku, i,
opcenito, linearnu kombinaciju u linearnu
kombinaciju
Dokaz. Prema definiciji,
12
Neke elementarne funkcije f(t) i njezine
Laplaceove transformacije L(f)
f(t) L(f) f(t) L(f)
1 1 1/s 6 eat
2 t 1/s2 7 cos ?t
3 t2 2!/s3 8 sin ?t
4 tn (n1,2,) 9 cosh at
5 ta (ako je a broj) 10 sinh at
13
Teorem 2. Teorem o pomaku

• Ako je L( f )F(s) kada je sgta , tada je
• Dokaz
• Prema definiciji,

(s gt aa)
14
Teorem 3. Postojeci teorem
za sve t0, konstantea i M
Tada Laplaceova transformacija od f(t) postoji za
sve s gta
Dokaz
M


( sgta )
15
Teorem 4. Diferenciranje f(t)

• f(t) kontinuirana za sve t 0 , i ima derivaciju
  f '(t) koja je po dijelovima kontinuirana za
  svaki konaci interval unutar intervala t 0.
• tada Laplaceova transformacija derivacije f'(t)
  postoji kad je s gta , i
• L(f ')Ls(f ) - f (0) (s gt a )
• Dokaz

L ( f ')
16

• Koristeci pocetnu jednadžbu za drugu derivaciju f
  ''(t) dobivamo
• L(f '') sL(f ')-f
  '(0)
• 
  ssL(f)-f(0) - f '(0)
• L(f)-sf(0)
  - f '(0)
• Slicno dobivamo i trecu derivaciju
• L(f''') L(f) - f(0) - sf'(0) - f''(0)
• i ostale.

17
Teorem 5. Derivacija za bilo koji n

• Neka Laplaceova transformacija od
  postoji kada je sgta , i dana je formulom

18
Teorem 6. Integriranje f(t)
L
(sgt0, sgta)
Dokaz
g(t)
M
( a gt 0 )
g'(t)f(t)
L f(t) L g'(t)s L g(t)- g(0) (sgta)
g(0)0
19
4. Primjena Laplaceovih transformacija
20
Primjer. Nadimo rješenje linearne diferencijalne
jednadžbe
y?(t) - 3y'(t) 2y(t ) 4t , y(0)
1, y'(0) -1
Prevodenje te jednadžbe u Laplaceovo podrucje
21
Nadimo koeficijente
22
(No Transcript)
23
5. Literatura
24

• Ervin Kreyszig Advanced Engineering Mathematics
  second edition, John Wiley Sons, Inc. New
  York-London-Sydney 1967
• I. N. Bronštejn i K.A. Semendjajev Matematicki
  prirucnik za inženjere i studente, Tehnicka
  knjiga, Zagreb 1991.

25
HVALA NA PAZNJI !