Jocs d

1
Jocs datzar

• Angel Corberán i Francisco Montes
• Departament dEstadística i I. O.
• Universitat de València

2
Probabilitat i jocs datzar (1)
La Probabilitat li ho deu tot als jocs datzar,
pot ser lafirmació us semble una mica exagerada
, però així és. Si el Cavaller de Meré no li
hagués posat a Pascal aquells dos famosos
problemes, tot seguit en parlem, i aquest no li
hagués fes partícip a Fermat de lassumpte ...
3
Probabilitat i jocs datzar (2)
Parlarem doncs de jocs datzar, dalguns dells
és clar. En farem una mica dhistòria, obtindrem
les probabilitats associades i, si cal, alguna
anècdota.
4
Els origens. El cavaller de Méré
5
Els origens. El Cavaller de Méré (1)
Lany 1654 Antoine Gombauld, cavaller de Méré, va
proposar a Pascal dos famosos problemes. Varen
donar lloc a una fructífera correspondència entre
Pascal i Fermat que és per a molts autors
lorigen del Càlcul de Probabilitats modern.
6
Els origens. El Cavaller de Méré (2)
Un problema relatiu als jocs datzar, proposat a
un auster janseniste per un home de món, ha estat
lorigen del Càcul de Probabilitats. (Poisson,
Recherches sur la Probabilité, 1837)
7
Els origens. El Cavaller de Méré (3)
Heus aquí als personatges
8
Els origens. El Cavaller de Méré (3)
I heus aquí el lloc
9
Els origens. El Cavaller de Méré (4)
Pierre Remond de Montmort, al seu assaig sobre
les jocs datzar conta l'història i recull part
de la correspondència entre Pascal i Fermat.
10
Els origens. El Cavaller de Méré (5)
En 1654 van proposar al Sr. Pascal aquests dos
problemes. 1er. A dos jugadors els falten un cert
nombre de punts es volen conèixer les seus sorts.
2on. Es vols conèixer en quants llançaments de
dos daus es pot aconseguir avantatge dobtenir
sonnés
11
Els origens. El Cavaller de Méré (6)
Anem a pams. Parlem primer del segon problema, de
la seua solució i dels comentaris que Pascal i
Fermat en creuaren. Aquest problema es també
conegut en la literatura com la Paradoxa del
cavaller de Méré. Veureu per què.
12
La paradoxa del cavaller de Méré (1)
Del que es tractava era de trobar el número mínim
de llançament de dos daus per tal que la
probabilitat dobtenir al menys un doble 6
(sonnés) siga més gran (avantatge) que la de no
obtenir-ne cap. Es a dir, que siga superior a
0.5 solució
13
La paradoxa del cavaller de Méré (2)
La solució no li va agradar al cavaller de Méré.
Llegiu el que conta Montmort al respecte.
14
La paradoxa del cavaller de Méré (3)
I no li va agradar perquè el bon cavaller pensava
que la probabilitat devia seguir les regles de
lAritmètica. Pascal li ho explica a Fermat en
aquesta carta.
15
La paradoxa del cavaller de Méré (4)
El comentari final de Pascal és ... ... és un
bon esperit, però no és Geòmetra la qual cosa
és, com sabeu, un gran defecte.
16
El problema dels punts (1)
El 1er problema que de Mèrè proposa a Pascal està
lligat, al seu torn, a un altre com repartir-se
laposta quan el joc satura sense que cap dels
jugadors haja assolit el nombre de punt
necessaris per a guanyar. Proposa Pascal que la
manera justa de repartir-se laposta és fer-ho
proporcionalment a la probabilitat que cada
jugador té de guanyar el joc si aquest es
reprengués.
17
El problema dels punts (2)
Podem enunciar el problema de la següent
manera Dos jugadors A i B juguen a un joc
consistent en un número indeterminat de partides.
La probabilitat de guanyar en cada partida es p
per a A i 1-p per a B. Aquell dels dos que abans
arriba a vencer en r partides guanya el joc i
laposta que feren. Si el joc es interromput
abans de finalitzar, com hauria de repartir-se
laposta?
18
El problema dels punts (3)
Vejam la solució i una taula de com repartir-se
laposta en funció de p i r i els punts que li
falten a cada jugador en interrompres el joc.
19
El joc del Tretze
20
El joc del Trezte (1)
21
El joc del Trezte (2)
En essència el joc consisteix en que el jugador
que per sorteig té la mà alça 13 cartes a latzar
dun baralla, una rere laltra. Si en cap ocasió
carta i ordre coincideixen paga a la resta de
jugadors el que cadascun haja apostat i passa la
mà al de la seua dreta. En cas contrari, guanya
les apostes dels altres i comença de nou el
compte d1 a 13.
22
El joc del Trezte (3)
Al seu assaig sobre el jocs datzar, Montmort
estudia el joc del Trezte i planteja i resol
diferents problemes, que no són més que variants
del jocs. Aquest joc ha donat lloc al que en la
literatura actual anomemen problema de les
coincidències i que té múltiples versions.
23
El joc del Trezte (4)
Neutra.- Probabilitat de que al permutar
aleatòriament els n primers números cap dells
coincideisca amb el seu ordre natural.
Laboral.- Una secretaria introdueix a latzar n
cartes adreçades a n clients en n sobres que
tenen escrites les adreçes, probabilitat de que
cap delles arribe al seu destinatari.

• Lúdica.- En eixir duna festa n convidats agafen
  els seus n barrets a latzar, probabilitat de que
  cap dells haja agafat el seu barret.

24
El problema de les coincidències (1)

• Vegem les solucions i algunes curiositats
  relacionades amb el problema
• la que va proposar el propi Montmort
• a partir del principi dinclusió-exclusió
• emprant probabilitats condicionades

25
La Primitiva
26
La Primitiva (1)
En què consisteix el joc? En endevinar total o
parcialment els número de la combinació
guanyadora, consistent en 6 números trets a
latzar sense reemplaçament dentre el 49 primers
enters. Hi ha una també extracció dun número
complementari dentre els 43 que no formen part
de la combinació guanyadora.
27
La Primitiva (2)
Els premis Categoria Números encertats 1ª 6
2ª 5 C 3ª 5 4ª 4 3ª 3
28
La Primitiva (3)
Com de difícil és encertar alguns dels premis?
Prou més del que ens agradaria com veurem tot
seguit. Vegem-ho.
29
La Primitiva (4)
No cal dir que per a la resta de jocs de la
família, Bonoloto i Gordo de La Primitiva, les
probabilitats són les mateixes. Tots tres jocs
són un pou sense fons a lhora de proveir
material destudi i exemples.
30
La Primitiva (5)
La gent juga perquè els premis son sucosos i
perquè confia en el que el LAE diu el sorteig
és a latzar Pot ser el primer que caldria fer
es comprovar-ho. Hi moltes maneres de fer-ho.
Vegem-ne algunes.
31
La Primitiva (6)
La primera i més obvia és veure si els números
apareixen com cal. Es a dir, si les extraccions
són de debò aleatòries. Quantes vegades han
apareguts el 49 números en la combinació
guanyadora al llarg del temps? Comprovem si les
freqüències són les que caldria esperar.
32
La Primitiva (7)
Si parlem de ... les freqüències que caldria
esperar és perquè sabem la probabilitat de que
qualsevol del 49 números aparega en qualsevol de
les 6 extraccions de cada sorteig. Tenim clar
que aquesta probabilitat es 1/49? A partir
daquí caldrà fer una mica dEstadística amb les
dades que segueixen.
33
Freqüències dels 49 números en els 5088 sorteigs
de La Primitiva, Bonoloto i Gordo (des de
17/10/1985 fins a 08/6/2003)
34
Sorteigs de La Primitiva, Bonoloto i Gordo (des
de 17/10/1985 fins a 08/6/2003) 5088 sorteigs
35
La Primitiva (10)
Una segona podiem dir-li La comprovació del
desconfiat És la daquell que juga sempre el
mateixos 6 números i un bon dia sen adona que fa
un bon grapat de setmanes que algun dells no ha
eixit. Daquí a la desconfiança del ... ja
savia jo que això de que tots el números eixen
per igual ... no hi ha res. Vegem fins a quin
punt en té motius.
36
La Primitiva (11) Sumas
Podríem també emprar la suma del números de la
combinació guanyadora per a comprovar que el joc
és correcte.
37
La Primitiva (12) Sumas
38
La Primitiva (13) Sumas
39
La Primitiva (14) Sumas
40
La Primitiva (15)
Però el joc dona també per a moltes curiositats,
particularment aquells relacionades amb com juga
la gent. Trien els jugadors les seues apostes a
latzar o ho fan deixant-se dur per Deu sap què?
41
La Primitiva (16)
Una estadística sobre els encertants de totes les
categories en els 5088 sorteigs


42
La Primitiva (17)
i dels encerts dels 6 números
43
La Primitiva (18)
Com són les combinacions amb molts encertants?
Heus aquí algunes delles.
I si la gent és capritxosa i una mica maniàtica
a lhora de jugar?
44
La Primitiva (19)
Freqüència dels 49 números en les combinacions
encertades
45
La Primitiva (20)
i en les que no hi ha cap encertant
46
La Primitiva (21)
Els més jugats
Els menys jugats
47
La Primitiva (22)
I les dates de naixement?
48
La Primitiva (23)
Quant deuria costar una aposta de La Primitiva?
El que sasigna per a premis és aproximadament el
61 de la recaudació
49
Jocs de guerra

• No cal exgerar, digam-li

Sorteigs per a la guerra
50
Excedentes de cupo del 98 en España (1)

• A finales de 1997 se celebró un sorteo para
  elegir a los llamados excedentes de cupo del
  reemplazo del 98.
• El sorteo no fue equiprobable y los mozos no
  gozaron de la garantía de igualdad de
  oportunidades exigible.

51
Excedentes de cupo del 98 en España (2)El sorteo

• Los mozos implicados eran 165.342 y 16.442 habían
  de ser declarados excedentes de cupo.
• Se trataba de extraer un número entre el 1 (0) y
  el 165.342 (165.341) y designar excedentes a su
  poseedor y a los 16.441 siguientes (lista
  circular).
• El sorteo se efectuó con 6 bombos que contenían
  bolas numeradas tal como se indica
• B10,1, Bk0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, k2,,6

52
Excedentes de cupo del 98 en España (3)Mecánica
del sorteo
53
Excedentes de cupo del 98 en España
(4)Probabilidades de extracción
La tabla anterior sugiere establecer la partición
siguiente, constituida por subconjuntos en los
que sí hay equiprobabilidad
54
Excedentes de cupo del 98 en España
(5)Probabilidades de extracción
55
Excedentes de cupo del 98 en España
(6)Probabilidades de extracción
56
Excedentes de cupo del 98 en España
(7)Probabilidad de formar parte del excedente de
cupo
Un mozo cualquiera n será declarado excedente de
cupo si y solo si el número extraído pertenece al
conjunto Jnn-16.441, n, con el extremo
inferior igual a 165.341-n-16.441 si
n-16.441lt0, dado el carácter circular de la
lista. Si mediante Jn designamos también el
suceso, el número extraído pertenece al conjunto
Jn, entonces P(n excedente)P(Jn)
57
Excedentes de cupo del 98 en España
(8)Probabilidad de formar parte del excedente de
cupo
58
Excedentes de cupo del 98 en España
(9)Probabilidad de formar parte del excedente de
cupo
59
Excedentes de cupo del 98 en España
(10)Conclusiones

• Las probabilidades obtenidas confirman lo que
  decíamos al principio y el diseño del sorteo
  hacía sospechar.
• Posibles alternativas hubieran podido ser

• Declarar excedentes a los 16.442 primeros, puesto
  que la asignación de números había sido aleatoria
• Efectuar extracciones de los bombos sin
  restricción alguna hasta conseguir un número
  inferior al 165.342 (la probabilidad de repetir
  la extracción es 0.17)

60
I per acabar ...La versió moderna del jugador
professional
61
(No Transcript)
62
fin