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P1 Propagation dans les fluides
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II Propagation dans les fluides
1 Généralités
? Par fluide en entendra liquide et gaz.
? Un fluide pourra être considéré comme un milieu
isotrope
Ses propriétés physiques sont identiques dans
toutes les directions de lespace

• la propagation dune onde est la même
• quelle que soit sa direction de propagation.

? Les fluides étudiés seront considérés parfaits
On négligera donc leur viscosité

• labsence de frottements entre les
• particules fluides ne permet pas
• la propagation dondes transversales

Dans un fluide parfait, seules des ondes
longitudinales peuvent se propager.
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? Les ondes étudiées seront considérées planes
Si une onde se propage suivant un axe x, alors
tous les points de lespace ayant la même
abscisse x subissent au même moment la même
vibration.

• tous les points de lespace atteints par
  londe à un instant donné forment un plan le
  plan donde

? Action de londe sur le fluide
sa masse volumique ?
Un fluide se caractérise par
son coefficient de compressibilité ?
Par exemple, pour leau, on a ?eau 103 kg.m-3
et ?eau 5.10-10 Pa-1
Au repos (sans perturbation), le fluide se
caractérise également par sa pression soit P0
sa pression homogène.
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Au passage dune onde, le fluide est localement
comprimé et étiré ? localement la pression du
fluide, à linstant t, sécrit
où dP(x,t) p(x,t) est appelée pression
acoustique.
Corrélées à ces variations locales de pression,
des variations locales de volume sont produites
au passage de londe. Ces deux variations sont
liées entre elles par le coefficient de
compressibilité du fluide
où dV/V est la variation relative de volume.
on peut exprimer une relation simple entre
pression acoustique et variation relative de
volume (dilatation)
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Analysons laction de londe sur le fluide
On considère un cylindre horizontal, daxe Ox, de
section S, rempli dun fluide parfait tel quon
la défini précédemment. On suppose alors quune
onde se propage suivant laxe Ox.
On considère une tranche, volume V, comprise
entre les plans x et xdx.
Au passage de londe longitudinale, à linstant
t, cette tranche est déformée
? le plan x est déplacé en xU(x,t)
? le plan xdx est déplacé en xdxU(xdx,t)
La déformation se traduit alors par un nouveau
volume
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On peut alors exprimer la variation de volume
engendrée par le passage de londe
Or, les déplacements étant faibles, on a le droit
de poser le développement au 1er ordre suivant
Il reste alors
dilatation ou variation relative de volume
On peut finalement relier la pression acoustique
au déplacement généré par londe
Comme londe provoque un déplacement des
particules fluides par rapport à leurs positions
déquilibre, celles-ci sont donc animées dune
certaine vitesse
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On définit alors la vitesse particulaire cest
tout simplement la dérivée du déplacement par
rapport au temps.
Attention ! Il ne faut pas confondre vitesse
particulaire et vitesse de propagation de londe
(célérité).
Rappel
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2 Equation de propagation
Raisonnons sur la même tranche de fluide étudiée
précédemment. Au passage de londe, celle-ci
subit des déformations qui résultent de
lapplication de forces. Faisons le bilan des
forces qui sexercent et appliquons le Principe
Fondamental de la Dynamique (PFD)
où il est encore possible deffectuer un
développement au 1er ordre
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V
x
xdx
Les forces sexerçant sont dues à la pression
acoustique, donc
Dautre part, la vitesse particulaire dérive du
déplacement, donc
Par suite, le PFD se traduit par
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Et enfin, puisque la pression acoustique dérive
également du déplacement, on a
équation de propagation de la vibration
Soit encore
Or on sait en physique que la propagation dune
grandeur quelconque G est toujours régie par
léquation
où c est la vitesse de propagation (célérité)
On peut alors en déduire que la vibration étudiée
se propage à la vitesse c, telle que
où c est la célérité de londe acoustique
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équation de propagation de la vibration
On admettra que les solutions de cette équation
sont de la forme
Vérification
Donc
On en déduit que la vibration peut sexprimer
comme
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On connaît donc parfaitement lexpression de la
vibration générée par londe
avec, ce qui est propre à londe
? son amplitude de vibration U0
? sa pulsation ?
et ce qui est propre au fluide propageant londe
A partir de cette vibration, on peut alors en
déduire les expressions de la pression acoustique
et de la vitesse particulaire
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On peut de même expliciter lexpression de la
vitesse particulaire
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Illustration concrète seuils de douleur et
daudibilité du tympan
Le tympan est une membrane qui vibre à la
fréquence de londe acoustique quil reçoit.
Le signal sonore perçu par le cerveau est
proportionnel à lamplitude de la pression
acoustique
Remarque
Le domaine daudibilité est également dépendant
de la fréquence de londe (on ne peut entendre
les ultrasons ni les infrasons)
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3 Cas dun gaz parfait
Tout gaz parfait obéit à léquation détat
On peut en déduire une expression de sa masse
volumique
où M est la masse molaire des molécules
constituant le gaz.
et comme
on obtient
Par ailleurs, on sait que la propagation du son
est un phénomène purement mécanique (pas
déchange de chaleur)
? dun point de vue thermodynamique, il sagit
donc de transformations adiabatiques
on peut utiliser la loi de Laplace
donc
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Or, on sait que
Par identification, on trouve alors
On obtient finalement la vitesse de propagation
dans le gaz parfait
Remarque
? est le coefficient polytropique du gaz il
dépend de la nature des molécules constituant le
gaz
monoatomiques ? ? 5/3
diatomiques ? ? 7/5
polyatomiques ? ? 4/3
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Illustration propagation du son dans lair
Lair étant essentiellement composé de molécules
diatomiques (N2 et O2), on peut choisir ? 7/5.
On donne par ailleurs Mair 29 g.mol-1.
Par conséquent, à T273K (0C), on a
Pour une onde sonore de fréquence f800 Hz,
quelle doit être lamplitude de vibration
minimale pour que loreille humaine puisse la
percevoir ?
Le seuil daudibilité est fixé à environ p0
2.10-5 Pa, donc
0,1 Å
Calcul de lamplitude de vitesse particulaire
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4 Densité volumique dénergie Pression de
radiation
On peut définir la densité volumique dénergie
comme la quantité dénergie par unité de volume
transportée par londe au cours de la propagation.
Elle se décompose en
? due à la vitesse des particules
? due aux interactions entre particules
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Par conséquent
Calcul de la valeur moyenne dans le temps
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densité volumique dénergie moyenne
Remarque
la densité volumique dénergie est donnée en
J.m-3, soit encore
J.m-3 N.m.m-3 Pa.m2.m.m-3 Pa
la densité volumique dénergie a donc la
dimension dune pression on lappelle aussi
pression de radiation.
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5 Intensité acoustique Notion dimpédance
acoustique
Lintensité acoustique correspond à la puissance
par unité de surface transportée par londe.
Par ailleurs, la puissance acoustique sobtient
par le produit de la force exercée sur une
particule par sa vitesse
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Calcul de la valeur moyenne dans le temps
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Remarque
cette intensité acoustique est directement
proportionnelle à la pression de radiation
Par ailleurs, on peut exprimer lintensité
acoustique en fonction de lamplitude de pression
acoustique
? On définit alors limpédance acoustique dun
milieu comme le rapport de lamplitude de
pression acoustique sur lamplitude de vitesse
particulaire
cest une propriété intrinsèque du milieu de
propagation (analogue de limpédance électrique)
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On remarque alors que I augmente avec Z
Donc
Une même onde se propageant dans un gaz est
beaucoup moins intense que dans un liquide.
Remarque
Puisque I augmente aussi avec ? , on a
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6 Niveau sonore en décibels
La pratique montre que la sensation sonore
est sensiblement proportionnelle au logarithme de
lintensité acoustique (loi de Fechner)
On utilise alors plutôt la quantité sans
dimension
LdB ? niveau dintensité acoustique en décibel
(dB)
Pour définir ce niveau sonore, il faut se donner
une intensité de référence Ir
où
Par ailleurs, on a vu que
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Concrètement
En pratique, lintensité acoustique de référence
choisie est celle du seuil daudibilité de
loreille humaine, soit
p0r 2.10-5 Pa
Donc, pour une amplitude de pression acoustique
p0 pOr, on a LdB 0 dB.
A linverse, le seuil de douleur est atteint pour
p0 20 Pa, soit pour
Remarque
Les décibels sont également utilisées pour
mesurer latténuation ou lamplification dune
onde à la traversée dun milieu
où I(0) correspond à lintensité de la source,
c-à-d lintensité de référence au départ de la
propagation suivant x.
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7 Effet Doppler
Leffet Doppler traduit laltération de la
fréquence dune onde lorsquelle est reçue par un
détecteur en mouvement ou émise par une source
mobile.
? Cas dune source mobile et dun détecteur fixe
On supposera que la source sonore se rapproche du
détecteur à la vitesse vs.
On pose t1 linstant auquel londe émise à t1
est reçue par le détecteur
On pose t2 linstant auquel londe émise à t2
est reçue par le détecteur
Avec T t2-t1 la période du son émis par la
source,
et T t2-t1 la période apparente du son
reçu par le détecteur.
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t1
t2t1T
S1
S2
D
On pose t1 linstant auquel londe émise à t1
est reçue par le détecteur
On pose t2 linstant auquel londe émise à t2
est reçue par le détecteur
Avec T t2-t1 la période du son émis par la
source,
et T t2-t1 la période apparente du son
reçu par le détecteur.
On peut alors calculer
cest la période apparente du son perçu par le
détecteur
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et en terme de fréquences, on a
le détecteur perçoit une fréquence apparente fgtf
? le son perçu est plus aigu que le son émis.
Remarque
Si la source séloigne du détecteur, il suffit de
changer le signe de la vitesse dans les équations
qui viennent dêtre établies
? le son perçu est alors plus grave que le son
émis.
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? Cas dune source fixe et dun détecteur mobile
On pose t1 linstant auquel la source a émis le
son perçu par le détecteur à t1
On pose t2 linstant auquel la source a émis le
son perçu par le détecteur à t2
La période apparente pour le détecteur est donc
T t2t1
La période émise par la source vaut T t2t1
On peut alors calculer
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Soit finalement
ou bien
le détecteur perçoit une fréquence apparente fgtf
? le son perçu est plus aigu que le son émis.
Remarque
Si le détecteur séloigne de la source, il suffit
de changer le signe de la vitesse dans les
équations qui viennent dêtre établies
? le son perçu est alors plus grave que le son
émis.
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? Cas dune source et dun détecteur mobiles dans
un référentiel immobile
On pose que la source se déplace à la vitesse vs
et le détecteur à la vitesse vD.
le détecteur se rapproche
- le détecteur séloigne
On a alors
la source séloigne
- la source se rapproche