La Rivelazione di Onde Gravitazionali

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La Rivelazione diOnde Gravitazionali
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Contenuto della Lezione
Richiami sulle Onde Gravitazionali in Relatività
Generale Introduzione sui rivelatori
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Richiami sulla derivazione
Linearizzazione delle Equazioni di Einstein
Il tensore energia-impulso definisce la metrica
attraverso le equazioni di Einstein
In generale non risolvibile analiticamente..
APPROSSIMAZIONE AL PRIMO ORDINE IN h DEL
TENSORE DI RIEMANN
GAUGE ARMONICA (ANNULLA TERMINI E MANTIENE IL
CAMPO DEBOLE)
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Cosè unonda gravitazionale
() t ed r indicano le coordinate
spazio-temporali del sistema di riferimento
particolare in cui vale la gauge armonica ed in
cui il campo è debole.
Linearizzazione delle Equazioni di Einstein
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Cosè unonda gravitazionale
() t ed r indicano le coordinate spazio
temporali del sistema di riferimento particolare
(anzi dei sistemi di riferimento particolari,
esistono infatti altre gauge possibili) in cui
vale la gauge armonica ed in cui il campo è
debole. () Bisogna riflettere sul significato
di questi termini Il primo è la solita
espressione del vettore donda ci dice che il
vettore è massless (E2/c2 p2 0). Lo vedi
applicando loperatore quadratello allonda
piana.Resta km km eikmxm 0, da cui la
condizione che hai scritto ed il suo ovvio
significato. Il secondo è la gauge armonica che
tradotta sulla particolare soluzione di onda
piana mi dice che la divergenza di h barra è
nulla, ovvero che vale la condizione di
trasversalità. Quindi onda piana trasversa a
massa nulla (ovvero che si propaga alla velocità
della luce).
Linearizzazione delle Equazioni di Einstein
()
Soluzione tipo potenziali ritardati (già
descrive la propagazione a velocità c)
Nel vuoto
(Dalle Equazioni del moto)
()
(Condizione di Gauge Armonica per londa piana)
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Cosè unonda gravitazionale
Linearizzazione delle Equazioni di Einstein
Nel vuoto
Gauge TT
Si annullano 4 delle 6 componenti indipendenti
del tensore e
Direzione di propagazione
z
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Cosè unonda gravitazionale
Linearizzazione delle Equazioni di Einstein
Sovrapposizione di due onde piane polarizzate e
X
5 parametri reali identificano londa due angoli
(direzione di propagazione) e due ampiezze di
polarizzazione complesse, ovvero due numeri reali
più la fase relativa.
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Cosè unonda gravitazionale
() t è il tempo proprio misurato nel sistema di
riferimento mentre la forma di h è la stessa di
sopra, ricavata nel TT.
Linearizzazione delle Equazioni di Einstein
Per comprendere il significato dei due stati di
polarizzazione e X è necessario riprendere
lequazione che governa la distanza tra due
particelle libere (Equazione delle geodetiche)
Se vltltc questa si riduce a scrivere.
Nellipotesi di campo debole la relazione che
determina levoluzione della distanza tra due
masse x è
()
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Cosè unonda gravitazionale
() t è il tempo proprio misurato nel sistema di
riferimento mentre la forma di h è la stessa di
sopra, ricavata nel TT.
Linearizzazione delle Equazioni di Einstein
Integrando, per piccole variazioni della
distanza.
Si può quindi comprendere il significato dei due
stati di polarizzazione guardando gli effetti su
un anello di masse libere di questa deformazione
di natura mareale, semplicemente inserendo al
posto del tensore h ciascuno dei due tensori di
polarizzazione di cui sopra ed ottenere le note
deformazioni indotte
Stato
Stato X
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Cosè unonda gravitazionale
Linearizzazione delle Equazioni di Einstein
Per comprendere il significato dei due stati di
polarizzazione e x è necessario riprendere
lequazione che governa la distanza tra due
particelle libere (Equazione delle geodetiche)
Se vltltc questa si riduce a scrivere.
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Leffetto su masse in caduta libera
E la distanza spazio-temporale tra il punto di
partenza ed il punto di arrivo di un raggio di
luce.
y
(0,L,0)
x
Free Fall Mirrors
Intervallo tra due eventi contigui dello
spazio-tempo connessi da un raggio di luce
(0,0,0)
()
(L,0,0)
Svolgiamo lesercizio sullasse x dydz 0
Tempo impiegato dal raggio di luce per
raggiungere lo specchio terminale come
visto dallorologio sul Beam-Splitter
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Leffetto su masse in caduta libera
() Il segno è necessario dal fatto che sto
tornando indietro e quindi la distanza dx tra i
due punti contigui è negativa.
y
(0,L,0)
x
Free Fall Mirrors
(0,0,0)
(L,0,0)
Idem per il ritorno
()
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Leffetto su masse in caduta libera
y
(0,L,0)
x
Free Fall Mirrors
(0,0,0)
(L,0,0)
Ripetiamo il ragionamento sullasse y (dxdz0),
ottenendo lespressione identica con hyy in luogo
di hxx
Tempo totale andata-ritorno asse y
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Leffetto su masse in caduta libera
y
(0,L,0)
x
Free Fall Mirrors

• Ipotesi di bassa frequenza wt ltlt 1
• (Perturbazione costante durante il round trip)

(0,0,0)
Consideriamo unonda polarizzata che si
propaga lungo lasse z (hyy - hxx, h, ovvero
perturbazioni di segno opposto nei due bracci).
(L,0,0)
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Leffetto su masse in caduta libera
y
(0,L,0)
x
Free Fall Mirrors
Se L è troppo grande lipotesi di perturbazione
costante durante il round-trip viene
meno Esufficiente ripetere lesercizio
considerando invece In luogo di h costante
(0,0,0)
(L,0,0)
A frequenze maggiori dellinverso del tempo di
round trip si ha una depressione delleffetto
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Leffetto su masse in caduta libera
Si può affrontare il caso generale in cui londa
gravitazionale proviene da una generica direzione
(identificata dagli angoli q e f) per i due stati
di polarizzazione e x
Si osservi dove si annullano gli effetti dovuti
alle due polarizzazioni. Leffetto per
incidenze lungo i piani bisettrici (Cos 2f 0)
e leffetto X per incidenze lungo i piani
assiali x-z ed y-z (Sin 2f 0) o lungo il
piano x-y (Cosq 0). Un interferometro è cieco
solo per direzioni di incidenza lungo le
bisettrici del piano x-y. Linterferometro non è
direzionale.. La media della risposta su tutte
le direzioni di incidenza per onde non
polarizzate è circa 5-1/2 del massimo.
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La risposta dellantenna interferometrica in
funzione della direzione darrivo dellonda il
pattern dellantenna interferometrica

• Antenna pattern

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Leffetto su masse in caduta libera
Osservazione Importante Cosa accade in un
Laboratorio Classico
Vale la fisica Classica con laggiunta di un
termine classico di marea
Sistema del CM
Regoli Rigidi
Tempo unico in tutto il laboratorio
La Relatività Generale può essere dimenticata
nello studio degli effetti in Laboratorio tutto
si comporta classicamente con laggiunta di una
forza di marea di forma nota.
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Leffetto su masse in caduta libera
Osservazione Importante Cosa accade in un
Laboratorio Classico
Vale la fisica Classica con laggiunta di un
termine classico di marea
Sistema del CM
Regoli Rigidi
Tempo unico in tutto il laboratorio
Ha la stessa forma ottenuta nel sistema TT
(Vedi Gravitation Par.37.2)
Molto importante per stabilire cosa accade
veramente in termini sp pratici al passaggio di
unonda gravitazionale.
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Leffetto su masse in caduta libera
Osservazione Importante Cosa accade in un
Laboratorio Classico
Vale la fisica Classica con laggiunta di un
termine classico di marea
Sistema del CM
Regoli Rigidi
Tempo unico in tutto il laboratorio
Molto importante per stabilire cosa accade
veramente in termini sp pratici al passaggio di
unonda gravitazionale.
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Leffetto su masse in caduta libera
Osservazione Importante Cosa accade in un
Laboratorio Classico
Gli effetti di unOG su una sbarra possono essere
descritti attraverso una forza classica che si
sovrappone alle altre forze di natura elastica.
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La Generazione
() Il valore di d punto è costante nel tempo e
quindi d due punti, da cui dipende lenergia di
emissione, è nullo. Idem per il momento angolare.
Lenergia emessa dipende dalla derivata del
momento angolare. () Nota il termine TT
nellespressione che vuol dire che il quadrupolo
deve essere calcolato nel sistema TT, ovvero
usando le coordinate fissate in quella Gauge.
Sviluppo di Multipolo (rsource/l)
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La Generazione
() La luminosità della sorgente viene ricavata
dalla forma del tensore energia-impulso dellonda
che si propaga nella direzione z e che ha come
uniche componenti non nulle T00(densità di
Energia), T0z (Flusso di Energia) e Tzz (Flusso
di impulso). In particolare, il flusso di Energia
T0z c T00 T0z / c 1/16p x c3/G x ltdh/dt 2
dhx/dt 2 gt dove ltgt indica la media su diverse
lunghezze donda.
Sviluppo di Multipolo (rsource/l)
Dalla conservazione dellimpulso
Dalla conservazione del momento
Primo termine dello sviluppo non necessariamente
nullo
()
Luminosità della sorgente
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Ordini di grandezza in gioco
w
M 1000 tonellate L 100 m w 10 rad / s (al
limite del carico di rottura)
25
Ordini di grandezza in gioco
Oggetto Astrofisico Compatto (Espressioni
relativistiche della stessa fisica)
Situazione Rovesciata !!!
Luminosità dellordine di 1043 W ? 1017
Luminosità Solari
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Ordini di grandezza in gioco
Oggetto Astrofisico Compatto (Espressioni
relativistiche della stessa fisica)
Pre-coalescinig Neutron Stars
3 10-2
3 10-2
Situazione Rovesciata !!!
Energie enormi che condizionano levoluzione
(sostenibili solo per frazioni di sec)
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Ordini di grandezza in gioco
() La formula è derivata direttamente dal
tensore energia-impulso dellonda che si propaga
nella direzione z e che ha come uniche componenti
non nulle T00(densità di Energia), T0z (Flusso di
Energia) e Tzz (Flusso di impulso). In
particolare, il flusso di Energia T0z c T00
T0z / c 1/16p x c3/G x ltdh/dt 2 dhx/dt 2 gt
dove ltgt indica la media su diverse lunghezze
donda. Scrivendo h due punti come 4p2f2h2, si
ottiene la formula indicata nel trasparente. La
dipendenza del flusso incidente dallinverso del
quadrato della distanza è mascherata dentro h
che, come visto, dipende dallinverso della
distanza.
Se h 10-20 ? 3 dellenergia solare (1
kW/m2) incide sulla terra (per frazioni di
secondo)
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Ordini di grandezza in gioco
w
M
M
2r0
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Ordini di grandezza in gioco
w
M
M
2r0
OG in un punto a distanza R sullasse z
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Ordini di grandezza in gioco
w
M
M
2r0
Esprimendo in funzione del raggio di Schwarzild
ed usando lequazione Newtoniana che mi fornisce
il valore della frequenza orbitale in funzione
del raggio.
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Ordini di grandezza in gioco
w
M
M
2r0
Esprimendo in funzione del raggio di Schwarzild
ed usando lequazione Newtoniana che mi fornisce
il valore della frequenza orbitale in funzione
del raggio.
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Ordini di grandezza in gioco
w
Sistema binario da laboratorio
M
M
2r0
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Sorgenti Astrofisiche
REGOLE BASE
Rottura della simmetria sferica
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Sorgenti Astrofisiche
BINARIE COALESCENTI
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Sorgenti Astrofisiche
COLLASSI STELLARI
Supernovae Tipo I e tipo II
Impulsi della durata di qualche millisecondo
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Sorgenti Astrofisiche
STELLE DI NEUTRONI
Sorgenti Periodiche Bassa ampiezza ma lungo
tempo di integrazione
10-4 - 10-2
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Sorgenti Astrofisiche
BACKGROUND
Sovrapposizione incoerente da sorgenti
astrofisiche sconosciute
Natura Cosmologica
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Gli obiettivi scientifici possibili

• NS Binaries
• Initial LIGO 20 Mpc
• Adv LIGO 350 Mpc
• BH Binaries
• Initial LIGO 10 Mo, 100 Mpc
• Adv LIGO 50 Mo, z2
• Stochastic background
• Initial LIGO 3e-6
• Adv LIGO 3e-9

D. Shoemaker,