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P1 Propagation dans les solides
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III Propagation dans les solides
Pour étudier la propagation des ondes dans un
milieu solide, il nous faut connaître les
propriétés mécaniques des milieux déformables
? la propagation dune onde génère une
contrainte dynamique qui déforme localement le
solide.
1 Propagation dans un solide illimité isotrope
La force sexerçant sur une surface peut toujours
se décomposer en
- deux composantes tangentielles (//)
- une composante normale (?)
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Considérons un élément de volume solide, de forme
parallélépipédique rectangle
et chacune des contraintes est repérée par 3
composantes.
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On a donc 9 composantes, notées ?ij, qui peuvent
se regrouper sous la forme dun tenseur
tenseur des contraintes
Remarque
Pour un élément ?ij, le premier indice (i) repère
la direction suivant laquelle sexerce la
contrainte le second indice (j) indique la
direction normale à la surface sur laquelle
sexerce la contrainte.
Remarque
Les élément ?ii (sur la diagonale du tenseur)
sont appelés contraintes normales les éléments
?ij avec j?i (hors-diagonale) sont appelés
contraintes tangentielles.
Remarque
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Lapplication dune contrainte provoque alors une
déformation de lélément de volume solide. Cette
déformation peut également être décrite au moyen
dun tenseur
tenseur des déformations
Remarque
Comme on a défini Ux la vibration dune particule
fluide dans la direction de propagation, dans un
solide il nous faut définir 3 vibrations
correspondant aux 3 directions de lespace Ux ,
Uy et Uz
? au passage de londe, le solide peut se
déformer dans les trois directions de lespace.
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Le tenseur des déformations sexplicite alors en
fonction de ces vibrations
Remarque
Les éléments diagonaux définissent les
déformations délongation. La somme des 3
éléments diagonaux correspond alors à la
dilatation ?
? variation relative de volume
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Remarque
Les éléments en dehors de la diagonale
définissent les déformations qui ne sont pas dans
laxe de lélongation ce sont les déformations
de cisaillement.
cisaillement
élongation
? la déformation de lélément de volume solide
est une combinaison délongations et de
cisaillements dans les 3 dimensions de lespace.
Les déformations résultent des contraintes
appliquées. Il existe une relation entre les deux

loi de Hooke
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Remarque
Le rang dun tenseur correspond au nombre
dindices nécessaires pour identifier une de ses
composantes.
?ij ? tenseur de rang 2
?ij ? tenseur de rang 2
Le nombre déléments composant un tenseur de rang
n est donné par 3n
Par conséquent, on vérifie bien que ?ij et ?ij
contiennent 32 9 composantes.
Et on trouve que cijkl contient 34 81
composantes !!!
Par exemple
Mais les propriétés de symétrie du matériau,
ainsi que la symétrie des tenseurs vont permettre
de diminuer considérablement le nombre de
composantes indépendantes à manipuler.
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Astuce
Afin de simplifier lécriture de ces tenseurs et
des relations qui les lient, on utilise lastuce
suivante
tenseur de rang 1
tenseur de rang 1
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En notation contractée, la loi de Hooke sexprime
alors comme
où ?,? 1,2,3,4,5 ou 6.
Remarque
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Voyons comment il est possible de réduire encore
le nombre de composantes indépendantes en tenant
compte de la symétrie du milieu solide
Si le milieu présente une symétrie cubique, alors
il ne reste plus que 3 composantes indépendantes

Si, en outre, le milieu est parfaitement
isotrope, alors on doit vérifier
? il ne reste plus que 2 composantes
indépendantes
les coefficients de Lamé
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Toutes les propriétés élastiques du solides se
résument donc aux deux coefficients de Lamé
Pour comprendre la propagation dune onde dans le
milieu solide, il nous faut alors poser les
équations relatives à la dynamique du processus
cela revient à considérer le Principe Fondamental
de la Dynamique sur un élément de volume.
la démarche consiste à faire le bilan des forces
qui sexercent (contraintes normales et
tangentielles) et égaler la résultante au produit
de la masse par laccélération
après calcul, on trouve
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A ce stade, lobjectif est dobtenir les
équations de propagation nimpliquant que les
vibrations Ux, Uy et Uz.
Pour cela, appliquons la loi de Hooke sur les
composantes ?ij
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Pour les contraintes tangentielles, on a
Avant de remplacer ces 6 composantes dans le
système des 3 équations différentielles issues du
PFD, posons quelques hypothèses simplificatrices
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Hypothèses simplificatrices
On considérera une onde se propageant suivant
laxe x, et générant des vibrations uniquement
suivant les directions x et y.
Dans ces conditions
(milieu isotrope)
(onde plane)
? onde longitudinale
? onde transversale
On a alors
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Bilan
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On a donc obtenu deux équations de propagation
onde longitudinale
onde transversale
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Remarque
On peut facilement retrouver le résultat obtenu
pour la vitesse de propagation dans un fluide
le module de cisaillement sapparente à la
viscosité, donc ? ? 0
? Ordre de grandeur des vitesses de propagation
Typiquement, les vitesses de propagation
longitudinale sont de lordre de 5000 à 6000
m.s-1.
Dans tous les cas, la propagation dondes
transversales est moins rapide que celle dondes
longitudinales
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? Conversion des coefficients de Lamé
On a vu que les 2 seuls coefficients de Lamé, ?
et ?, peuvent décrire le comportement élastique
du solide dans lequel se propage londe.
Dun point de vue pratique, il est plus fréquent
dutiliser deux autres coefficients
- le module dYoung E
- le coefficient de Poisson ?P
La conversion avec les coefficients de Lamé
seffectue ainsi
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? Expression des vitesses en fonction de E et ?P
On peut alors remarquer que
? le rapport des deux vitesses ne dépend que
dun seul coefficient le coefficient de
Poisson.
?P 0 0,25 0,3 0,49
vL/vT 21/21,4 31/21,73 3,51/21,87 511/27,14
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2 Propagation dans un solide de dimensions
finies
? Définitions du module dYoung et du coefficient
de Poisson
On considère une tige homogène, de longueur L et
dépaisseur a.
Soumise à une force de traction F, la tige
sallonge dune longueur dL, et son épaisseur se
contracte de da.
Lallongement relatif et la contraction relative
sont alors fonction du module dYoung E et du
coefficient de Poisson ?P du matériau. On a
Remarque
E a la dimension dune pression.
?P est sans dimension.
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? Application à la propagation dune onde en
milieu fini
On considère un barre de hauteur h et de largeur
D dans laquelle se propage longitudinalement une
onde de longueur donde ?.
Dû à la propagation de londe, une tranche de
cette barre est soumise, en x, à une force Fx, et
en xdx, à une force Fxdx.
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équation de propagation
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On peut alors formuler la vitesse de propagation
dune onde longitudinale dans un milieu solide de
dimensions finies
On remarque que la vitesse de propagation dune
onde longitudinale est différente selon que le
solide est limité ou illimité
On admettra en revanche que la vitesse de
propagation dune onde transversale est la même,
que le solide soit limité ou illimité.
Bilan
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Selon les dimensions du solide (limité ou
illimité), la vitesse de londe longitudinale ne
dépend alors que du coefficient de Poisson
? 1er cas limite ?P ? 0
Cela signifie quil ny a pratiquement pas de
variation des dimensions transversales, donc pas
deffet de traction latérale ? la déformation
locale na quasiment pas deffet sur les liaisons
voisines.
Cest le cas de matériaux comme léponge ou le
liège.
? 2ème cas limite ?P ? 1/2
Au contraire, toute déformation agit directement
sur les liaisons voisines.
Cest le cas du caoutchouc.
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? Quelques valeurs typiques
Matériaux ?P vL/vl
Liège, éponge ?0 1
Valeurs courantes (principales roches) 0,25-0,30 1,10-1,16
Aluminium 0,35 1,27
Laiton 0,45 1,95
Caoutchouc 0,49 4,41