Objet de la programmation math

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Introduction
Objet de la programmation mathématique,
construction d'un modèle mathématique, problème
général de programmation mathématique
et classification, algorithme de résolution en
programmation mathématique et convergence,
exemples.
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Objet de la programmation mathématique
Une des branches de la recherche opérationnelle
qui consiste à établir la théorie et les méthodes
de résolution des problèmes d'extremum sur des
ensembles définis par des contraintes linéaires
et non linéaires (égalités et inégalités).
Approche quantitative où l'on s'intéresse à
maximiser ou minimiser une fonction objective qui
mesure la performance ou la "qualité" de
notre décision.
Permet de résoudre des problèmes de gestion et
particulièrement ceux où le gestionnaire doit
déterminer, face à différentes possibilités,
l'utilisation optimale des ressources de
l'entreprise pour atteindre un objectif
spécifique comme la maximisation des bénéfices ou
la minimisation des coûts. Des contraintes
peuvent exister limitant le choix des valeurs
des variables.
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• Domaines dapplication les plus divers
• la gestion et le planning industriels,
• l'établissement des projets et la planification
  à long terme,
• le domaine militaire, etc.

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Étapes dans le processus de décision
1ière étape
Construire un modèle qualitatif du problème
envisagé, i.e. relever les facteurs les plus
importants et établir les lois qui les régissent.
2ième étape
Construire un modèle mathématique du problème
envisagé, i.e. traduire le modèle qualitatif en
langage mathématique. Comprend également la
construction d'une fonction économique
des variables dont la valeur maximale (ou
minimale) correspond à la meilleure situation du
point de vue du décideur.
3ième étape
Construction et implantation dalgorithmes de
résolution efficaces.
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4ième étape
Vérifier les résultats obtenus par le critère de
la pratique. De la sorte, on établit à cette
étape dans quelle mesure le modèle et l'objet de
simulation s'accordent dans les limites de la
précision de l'information initiale.
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Construction dun modèle mathématique
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Problème général de programmation mathématique
Minimiser f(x) sujet à gi(x) 0, i 1, 2,
..., m hj(x) 0, j 1, 2, ..., r x ?
S où x (x1, x2, ..., xn) ? ?n désigne les
inconnus, f, gi et hj sont des fonctions de ?n
dans ?, S est un sous-ensemble de l'espace ?n.
(P)
Dans cette classe de problèmes, toute
l'information est complètement définie. Par
opposition, la programmation stochastique
concerne les problèmes dans lesquels
l'information comporte des éléments
indéterminés, ou bien les problèmes dont certains
paramètres sont aléatoires mais définis par des
caractéristiques probabilistes connues.
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Classification
Programmation linéaire
La fonction économique f(x) est
linéaire l'ensemble sur lequel on cherche
l'extremum de cette fonction est donné par un
système linéaire d'égalités et d'inégalités. Note
PL comporte des classes de problèmes dont la
structure permet d'établir des méthodes spéciales
pour leur résolution, bien plus avantageuses que
celles relatives aux problèmes de forme
générale. Ainsi, on a vu apparaître dans la
programmation linéaire la classe des problèmes de
transport.
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Classification
Programmation non linéaire
La fonction économique et les contraintes sont
non linéaires.
Programmation convexe
La fonction économique et lensemble des
solutions réalisables sont convexes.
Programmation quadratique
La fonction économique est quadratique et les
contraintes sont linéaires.
Programmation en nombres entiers
Les variables sont soumises à la contrainte
dintégralité
x ? S, entiers.
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(No Transcript)
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But de la programmation mathématique de
fournir là où c'est possible des méthodes
analytiques de résolution, ou, à défaut de
telles méthodes, ce qui est habituellement le
cas, de créer des procédés de calcul
efficaces pour obtenir une solution
approchée. Solution du problème (P) tout
vecteur x vérifiant les contraintes. Solution
optimale du problème (P) une solution qui
minimise la fonction objective f(x)
sur l'ensemble de toutes les solutions.
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Optimum locaux
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On dit qu'un vecteur x0 est un optimum local de
(P) si et seulement si il existe un voisinage
V(x0) de x0 tel que x0 soit un optimum global
du problème Minimiser f(x) sujet à gi (x)
0, i 1, 2, 3, ..., m hj (x) 0, j 1, 2,
3, ..., r x ? S V(x0).
Dans bien des cas, il est possible de donner des
conditions nécessaires et/ou suffisantes pour
qu'une solution x soit un optimum local. Par
contre, il est généralement impossible de
caractériser les optimums globaux d'un problème
d'optimisation sauf dans le cas très
particulier des programmes mathématiques
convexes. Ceci explique la difficulté de
résoudre des programmes non convexes, et, entre
autres, des problèmes d'optimisation en nombres
entiers.
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Convergence dun algorithme de résolution
La plupart des méthodes de résolution des
problèmes d'optimisation sont de nature
itérative, i.e. qu'à partir d'un point initial
donné x0, ils engendrent une suite
potentiellement infinie de points x0, x1, ...,
xk, ... dont on espère qu'elle converge vers
l'optimum cherché.
Un algorithme de résolution est un procédé qui
permet, à partir de la donnée du point initial
x0, d'engendrer la suite x1, x2, ..., xk, ...
Un algorithme est globalement convergent si,
quelque soit le point de départ x0 choisi, la
suite xk converge vers un point
satisfaisant une condition nécessaire
d'optimalité. Elle n'implique pas la convergence
vers un optimum global pour tout point de départ
x0 ce qui serait trop sévère.
Un algorithme qui possède la propriété de
convergence globale avec une condition de
convexité nous assure la convergence de
l'algorithme vers un optimum global du problème,
quel que soit le point de départ.
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Exemple
Considérons la fonction s(x) - e-x2 qui a un
minimum unique en x0, et dont la dérivée s'(x) 
2 x e-x2 est représentée ci-dessous.
Si l'on prend x0 trop éloigné de 0 (par exemple
x0 1), la méthode de Newton engendre une suite
de points xk tendant vers l'infini.
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Efficacité dun algorithme de résolution
Du point de vue pratique, cela dépend du
d'itérations nécessaires pour obtenir une
approximation à e près (e fixé à l'avance) de
l'optimum x. Si l'on compare entre eux
plusieurs algorithmes, et si l'on admet que
le temps de calcul par itération est sensiblement
le même pour tous, le meilleur est celui qui
nécessitera le plus petit nombre
d'itérations. Malheureusement, il se révèle
impossible de dégager des conclusions générales
de ce genre de comparaison. Suivant le point de
départ choisi, la nature de la fonction à
optimiser, la valeur de la tolérance choisie,
la hiérarchie des algorithmes peut varier
considérablement.
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Convergence asymptotique
On veut dégager un critère ayant une certaine
valeur dabsolu.
Cest létude du comportement de la suite xk au
voisinage du point limite x.
Posons L lim sup xk1 x. k ? ?
xk x?
Convergence linéaire avec un taux ? lt 1 (? 1)
L ? ?
Convergence superlinéaire (? 1)
L ? 0
Convergence quadratique (? 2)
L ? 0
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Problème du restaurateur
D'après le choix donné des produits, la valeur
nutritive de chacun d'eux étant connue de même
que leur prix, composer des rations
satisfaisant aux besoins tout en réduisant au
minimum les frais. Soient n aliments différents
et m substances nutritives (graisses, glucides,
vitamines, etc.),
Désignons par aij la teneur (en unités de
poids) de la jième substance dans le iième
aliment bj la quantité quotidienne minimale
nécessaire de la jième substance xi la
consommation quotidienne du iième aliment. Il
est évident que xi  0.
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n ? aijxi la teneur totale dans la ration de
la jième substance, i1
cette teneur ne doit pas être inférieure à la
quantité minimale bj
n ? aijxi ? bj, j 1, 2, , m. i1
ci prix unitaire du iième aliment,
n ? cixi le prix de toute la ration, i1
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Modèle mathématique
n ? cixi i1
min
sous les conditions
n ? aijxi ? bj, j 1, 2, , m. i1
xi  0 i 1, 2, , n.
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Problème de transport
Il consiste à composer le programme du trafic
d'un bien homogène de façon que le coût total du
transport soit minimal
ai la quantité du bien disponible à la iième
origine (i 1, 2, ..., m)
bj la demande au jième point de destination (j
1, 2, ..., n)
cij le coût unitaire du transport du bien de la
iième origine à la jième destination
xij la quantité du bien expédié de l'origine i à
la destination j.
m n ? ? cijxij i1 j1
coût total du transport,
n ? xij j1
quantité du bien livré par la iième origine,
m ? xij i1
quantité du bien reçu par la jième destination,
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Modèle mathématique
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Laffectation des machines à des produits non
complémentaires
Un atelier dispose de 4 machines i (i 1, 2 , 3,
4) un tour, une fraiseuse, une perceuse, etc.
sur lesquelles cinq produits différents j (j 1,
2, 3, 4, 5) doivent être fabriqués.
Hypothèse
le marché est en mesure d'absorber des quantités
illimitées de chacun de ces produits, il n'y a
pas de temps de réglage lorsqu'une machine
passe d'un produit à l'autre.
pj le profit unitaire résultant de la vente de
j,
aij la durée nécessaire (h.) pour réaliser le
produit j sur la machine i,
hi le total d'heures disponibles
mensuellement sur la machine i.
xj le d'unités de chaque produit à fabriquer
mensuellement pour rendre maximal le profit
total.
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5 ? aijxj ? hi, i 1, 2, 3, 4 le temps
disponible sur chaque j1 machine ne doit
pas être dépassé
5 ? pjxj j1
max
Maximiser le profit.
xj  0 j 1, 2, , 5.
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Laffectation des machines à des produits
complémentaires
Imaginons une entreprise qui fabrique n produits
j.
La fabrication d'une unité du produit k (k ? j)
emploie ajk unités du produit j.
Une unité de j est vendue aj francs.
xj le nombre d'unités fabriquées,
yj le nombre d'unités vendues,
bij le de la capacité de la machine i
nécessaire pour fabriquer une unité de j
cj le coût de fabrication d'une unité de j
xj - ? ajkxk - yj 0, j 1, 2, , n. k?j
Ce qui a été fabriqué de j est totalement
employé, soit pour la fabrication dun produit k,
soit pour la vente.
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n ? bijxj ? 100, i 1, 2, , m j1
Lutilisation de chaque machine ne peut dépasser
sa capacité.
On doit maximiser le profit
n ? (ajyj - cjxj). j1