Momentet

1
Byggnadsmekanik gk 12.1
Exempel 1
KVALITATIV ANALYS - BALK RAM
P

• Syftet med en kvalitativ analys av en balk eller
  en ram är att bestämma
• stödreaktionernas riktningar
• formen av det böjande momentet
• formen på nedböjningskurvan

Stödreaktionerna är självklara.
P
Momentet är noll vid stöden och linjärt mellan
punktkrafterna. Under kraften P råder dragning på
underkanten.
Regel 1 momentdiagrammet ritas på den sida av
balken (över- eller underkant) som är
dragen. Regel 2 om lasten består av
punktkrafter, utgörs momentdiagrammet av raka
linjer mellan punktkrafterna. Orsaken är att
tvärkraften V är konstant mellan punktkrafterna
och att V dM / dx
M
P
rak
2
Byggnadsmekanik gk 12.2
Exempel 2
Exempel 3
P
P
Stödreaktionerna kan bestämmas med kvalitativa
momentekvationer kring stödena.
Balken är statiskt obestämd av grad
1. Stödreaktionerna kan bestämmas med en
kvalitativ kraftmetod. Reaktionen vid vänstra
stödet Om stödet tas bort går balken neråt vid
stödet. För att denna förskjutning försvinner
måste en kraft uppåt appliceras vid stödet. Denna
kraft är stödreaktionen.
P
M är noll vid ändarna och M-diagrammet består av
två raka linjer. Kraften P skapar dragning på
överkanten över mittstödet.
M
P
P
3
Byggnadsmekanik gk 12.3
Samma metod kan användas för de två andra
stödreaktionerna.
M är noll vid ändarna och M-diagrammet består av
tre raka linjer. För att kunna rita det räcker
det att veta hur det ser ut under kraften P och
vid mittstödet Under kraften P råder dragning
på underkanten. Genom att snitta vid
mittstödet och betrakta högre delan av balken ser
man att momentet vid snittet skapas av
stödreaktionen vid högre stödet. Denna
stödreaktionen skapar dragning på överkanten vid
snittet.
P
P
Stödreaktioner
M
P
P
4
Byggnadsmekanik gk 12.4
Regel 3 led ? M 0
M är noll vid ändarna, noll vid leden, och
M-diagrammet består av tre raka linjer. För att
kunna rita det räcker det att veta hur det ser ut
antingen under den kraften P eller vid
mittstödet Genom att snitta vid mittstödet och
betrakta högra delen av balken ser man att
momentet vid snittet skapas av stödreaktionen vid
högra stödet. Denna stödreaktionen skapar
dragning på överkanten vid snittet.
Exempel 4
P
Balken är statiskt bestämd (3 okända
stödreaktioner och två jämviktsekvationer
ekvationen M 0 vid leden). Stödreaktioner kan
bestämmas genom att använda kvalitativt dessa tre
ekvationer eller genom att använda en kvalitativ
kraftmetod som i exempel 3.
M
led
Pga leden är nedböjningskurvan svårare att gissa
för detta exempel.
P
P
5
Byggnadsmekanik gk 12.5
Regel 4 inflektionspunkt ? M 0
För att rita nedböjningskurvan använder man att
nedböjningen är noll vid ändarna, att lutningen
är noll vid inspänningen och att balken går nedåt
vid kraften P.
Exempel 5
P
P
Balken är statiskt obestämd av grad 1.
Stödreaktionerna bestäms med kraftmetod.
Inflexion point
P
P
M är noll vid den högra änden och M-diagrammet
består av två raka linjer. Dragningen råder på
underkanten vid kraften P och inspänningsmomentet
skapar dragning på överkanten vid vänstra änden.
Man kan också titta på nedböjningskurvan för att
se vilken sida (under- eller överkant) av balken
som är dragen.
P
M
P
Inflektionspunkt
6
Byggnadsmekanik gk 12.6
Exempel 6
M
P
Nedböjningskurvan gissas först och används för
att bestämma M-diagram och stödreaktioner.
Stödreaktionerna kan bestämmas genom att använda
en kvalitativ kraftmetod tillsammans med
nedböjningskurvan.
P
D
D
D
D
P
Inflektionspunkt
M-diagrammet består av fyra raka linjer. Genom
att titta på nedböjningskurvan kan man se vilken
sida (under- eller överkant) av balken som är
dragen (markerat med D).
7
Byggnadsmekanik gk 12.7
Regel 5 om lasten är en konstant utbredd last,
utgörs M-diagrammet av en parabel.
Exempel 7
Skillnaden med exempel 5 är att M-diagrammet inte
består längre av två raka linjer utan av en
parabel.
Skillnaden mellan detta exempel och exempel 5 är
att mittpunktskraften har ersätts med en utbredd
last. De kvalitativa stödreaktionerna och formen
av nedböjningskurvan är samma som i exempel 5 och
kan bestämmas genom att använda samma metoder.
M
8
Byggnadsmekanik gk 12.8
Regel 6 M är konstant i ett hörn (om det
inte finns något punktmoment)
För den horisontella balken kommer M från kraften
P och M-diagrammet är enkelt. M är konstant i
den vertikala balken. Man kan se det genom att
snitta balken och betrakta den nedre eller övre
delen av ramen.
M
M
Exempel 8
eller
Ramen är statiskt bestämd ( 3 stödreaktioner och
3 jämviktsekvationer). Stödreaktionerna kan
bestämmas med jämviktsekvationer.
P
P
M
9
Byggnadsmekanik gk 12.9
Exempel 9
P
P
A
M-diagrammet består av tre raka linjer. Genom att
titta på deformationerna kan man se vilken sida
(under- eller överkant) av balken som är dragen
(markerat med D).
Ramen är statiskt obestämd av grad 2 (5
stöd-reaktioner och 3 jämviktsekvationer). Det
går inte att bestämma stödreaktionerna och
M-diagrammet utan att gissa hur ramen
deformeras. Ett sätt att gissa deformationerna
är att tänka att punkt A inte kan flytta sig
vertikallt eller horisontellt pga av stöden
(axiella deformationer pga normalkraften N
försummas) utan kommer att rotera medurs pga
kraften P.
M
10
Byggnadsmekanik gk 12.10
De vertikala reaktionerna är självklara. Inspänni
ngsmomentet verkar medkurs eftersom det måste
skapa dragning på högersidan vid stödet (se
deformationerna eller M-diagrammet).
Om den horisontella reaktionen vid den högra
stödet tas bort, går rullstödet åt höger, då
behövs en stödreaktion åt vänster för att ta
förhindra denna rörelse.
P
P
går åt höger
P
De horisontella stödreaktionerna är lite svårare
att bestämma. Ett sätt är, en gång till, att
använda en kvalitativ kraftmetod
11
Byggnadsmekanik gk 12.11
P
Exempel 10
M 0
M
P
Ramen är statiskt bestämd. Stödreaktioner
bestäms med jämviktsekvationer.
De vertikala balkarna deformeras inte eftersom M
0.
P
Det finns ingen horisontell reaktion vid det
högra stödet eftersom en sån reaktion skulle
skapa ett moment vid leden. M 0 i de
vertikala balkarna eftersom det inte finns någon
horisontell stödreaktion.
rak
rak
12
Byggnadsmekanik gk 12.12
Om ramen är statiskt obestämd, måste man börja
att gissa hur ramen deformeras och från det
bestämma stödreaktionerna och M-diagrammet.
P
Exempel 11
P
A
M-diagrammet består av fyra raka linjer. Genom
att titta på deformationerna kan man se vilka
sidor av balkarna som är dragna.
Denna struktur presenterar en symmetri. Ett sätt
att gissa deformationerna är att tänka att punkt
A inte kan flytta sig vertikalt eller
horisontellt pga av stöden och symmetrin utan
kommer att rotera medurs pga kraften P.
M
13
Byggnadsmekanik gk 12.13
De vertikala reaktionerna är självklara. Inspänni
ngsmomenten kan bestämmas genom att se vilken
sida av balken som är dragen.
Ett annat sätt är att kolla på M-diagrammet i den
vänstra (eller högra) vertikala balken. Utan
horisontell stödreaktion är momentet konstant i
balken. För att momentet ska byta tecken längs
balken måste det finnas en horisontell
stödreaktion som skapar ett moment som motverkar
inspänningsmomentet.
P
Ett sätt att bestämma de horisontella
stödreaktionerna är att se att de vertikala
balkarna kommer att gå utåt om de horisontella
stödreaktionerna tas bort.
14
Byggnadsmekanik gk 12.14
Exempel 12
När deformationerna är kända är det lätt att rita
M-diagrammet och bestämma stödreaktionerna.
P
M
Deformationerna är svåra att gissa för denna
struktur.
P
P