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1.8. La numération binaire

• Les automates programmables

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Le système décimal
Lécriture des nombres se fait à laide de 10
symboles ordonnés (ou  DIGIT  en anglais)  ce
sont les chiffres arabes  0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5
- 6 - 7 - 8 - 9 Le nombre de symboles utilisés
sappelle la base du système de numération. Nous
comptons en base 10, notre système est dit
décimal. Lorsque le nombre dépasse 9, il faut
utiliser plus dun symbole avec la règle
suivante  Le digit le plus à droite a le plus
faible poids (ou valeur) 10 0 1 cest le digit
des unités Le digit suivant a un poids égal à 10
1 (10)  les dizaines. Le digit suivant a un
poids égal à 10 2 (100)  les centaines, etc
Ainsi le nombre 1952 est lécriture en base 10
de 
MILLIER CENTAINE DIZAINE UNITE
10 000 1 000 100 10 1
10 4 10 3 10 2 10 1 10 0
0 1 9 5 2
1 millier 9 centaines 5 dizaines 2
unités soit  1 x 10 3 9 x 10 2 5 x 10 1
2 x 10 0 soit  1 x 1000 9 x 100 5 x 10 2
x 1 soit  1000 900 50
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Le système décimal
Pour représenter les nombres fractionnaires
(compris entre 0 et 1), on utilise la règle
suivante  On place une virgule (ou un point chez
les anglo-saxons) Le digit immédiatement à droite
à le poids 10 1 (0.1 ou 1/10) Le poids suivant
est 10 2 (0.01 ou 1/100). Etc.
1/10 1/100 1/1000 1/10000
10 -1 10 -2 10 -3 10 -4
1 3 2
soit  1 x 10 -1 3 x 10 -2 2 x 10
-1 soit  1 x 0.1 3 x 0.01 2 x
0.001 soit  0.1 0.03
0.002
Ainsi le nombre 0.132 est lécriture en base 10
de 
Ces conventions décriture seront conservées dans
les autres bases. En effet, la base 10 a été
naturellement développée chez lhomme. Mais,
dans certains cas, on peut préférer dautres
bases (exemples  la base 12 dont il reste des
traces, le système sexagésimal, ). Cest le cas
en particulier des machines (automate,
ordinateur) qui fonctionnent à laide de
systèmes logiques à deux états, que lon code 0
et 1.
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Le système binaire
8 4 2 1 Valeur numérique ou poids du bit Valeur numérique ou poids du bit
23 22 21 20 Rang du bit Rang du bit
0 0 0 0 0x8 0x4 0x2 0x1 0 en base 10
0 0 0 1 0x8 0x4 0x2 1x1 1 en base 10
0 0 1 0 0x8 0x4 1x2 0x1 2 en base 10
0 0 1 1 0x8 0x4 1x2 1x1 3 en base 10
0 1 0 0 0x8 1x4 0x2 0x1 4 en base 10
0 1 0 1 0x8 1x4 0x2 1x1 5 en base 10
0 1 1 0 0x8 1x4 1x2 0x1 6 en base 10
0 1 1 1 0x8 1x4 1x2 1x1 7 en base 10
1 0 0 0 1x8 0x4 0x2 0x1 8 en base 10
1 0 0 1 1x8 0x4 0x2 1x1 9 en base 10
1 0 1 0 1x8 0x4 1x2 0x1 10 en base 10
1 0 1 1 1x8 0x4 1x2 1x1 11 en base 10
1 1 0 0 1x8 1x4 0x2 0x1 12 en base 10
1 1 0 1 1x8 1x4 0x2 1x1 13 en base 10
1 1 1 0 1x8 1x4 1x2 0x1 14 en base 10
1 1 1 1 1x8 1x4 1x2 1x1 15 en base 10
1. Nombres entiers
On dispose de deux symboles  0 et 1. La base
est 2.
Le digit binaire sappelle le BIT (Binary
digit). Le bit de poids le plus faible est le
LSB (Least Significant Bit). Le bit de poids le
plus fort est le MSB (Most Significant Bit). Il
est utile de connaître la valeur décimale des
poids binaires.
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Le système binaire
A noter que avant 1998 - 1 kilo-octet (ko ou
Ko) 1024 octets. - 1 méga-octet (Mo) 1024 ko
1 048 576 octets. - 1 giga-octet (Go) 230
octets 1024 Mo 1 073 741 824 octets. Depuis
1998, et suivant la Commission électrotechnique
internationale - 1 kilooctet (ko) 103 1
000 octets - 1 mégaoctet (Mo) 106 octets 1
000 Ko 1 000 000 octets - 1 gigaoctet (Go)
109 octets 1 000 Mo 1 000 000 000 octets
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Le système binaire
2. Les nombres fractionnaires
Exemple  0.1101 en base 2, représente 1 x 2 1
1 x 2 2 0 x 2 3 1 x 2 4 1 x 0.5 1 x
0.25 0 x 0.125 1 x 0.0625 0.9375 en base 10
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Les mots
Les machines utilisant le système binaire
acceptent un nombre donné de bits, par exemple 4
- 8 - 16 - Ce nombre de bit détermine ce que
lon appelle le format. Ces bits réunis ensemble
forment un mot. Suivant le système, on parlera de
mot, registre, mémoire mot, Word.
En général, les mots ont donc un format bien
déterminé  - un mot de 4 bits sappelle un
QUARTET, - un mot de 8 bits sappelle un OCTET
(ou BYTE en anglais), - un mot de 16 bits
sappelle un double octet, - un mot de 32 bits
sappelle un mot double.
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Les mots
En général, les mots ont donc un format (nombre
de bits) bien déterminé et ils leur peuvent
représenter une valeur numérique maximum
Format Nom (en anglais) Valeur maxi
4 bits Quartet 0 à 15
8 bits Octet (Byte) 0 à 255
16 bits Mot ou double octet (Word) 0 à 32767
32 bits Mot double (Double word) 0 à 4294967295
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La conversion binaire décimale
Lhomme utilisant la base 10 et la machine la
base 2, il est nécessaire de pouvoir convertir
lune en lautre. On fait la somme des poids
correspondants aux bits à 1, le bit le plus à
droite étant le bit de poids faible (LSB), de
valeur 1.
Exemples  0 1 1 0 1 0 0 1 64 32 8 1
105 en base 10 1 1 1 1 1 1 1 1 128 64 32
16 8 4 2 1 255 en base 10
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La conversion décimale binaire
1. Méthode de la division
On divise le nombre, puis les quotients par 2,
jusquà obtenir un résultat nul. Puis on écrit
les restes (inférieurs à la base) de gauche à
droite. Cette écriture est le résultat de la
conversion. Exemple  35 en base 10  ? en base
2 (35) 10 (100011) 2 Cette méthode est
programmable.
11
Conversion décimale binaire
2. Méthode de la soustraction
On peut aussi soustraire au nombre décimal le
plus gros poids binaire possible  Exemple  35
en base 10  ? en base 2
25 24 26 22 21 20
32 16 8 4 2 1
35 1
3 1 0 0 0 1
1 1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 1
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Pourquoi toutes ces bases
Lhomme à lhabitude de manipuler des nombres en
base 10. La machine ne peut accepter que des
nombres en base 2. Il sera donc nécessaire de
convertir dune base à lautre. Pour exprimer un
nombre, il faut en moyenne 3.3 fois plus de
digits en binaire quen décimal. Pour exprimer
des chiffres décimaux de lordre de la centaine
ou plus, il faut un grand nombre de bits et la
conversion devient fastidieuse. Pour rendre cette
conversion plus facile et lécriture du nombre
plus courte, on utilisera des codes  OCTAL -
HEXADECIMAL -
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Les nombres réels et signés
Dans tout ce qui précède les nombres binaires
expriment des valeurs positives et entières. Mais
bien souvent ont à besoin de représenter - des
nombres négatifs (donc signés) par exemple des
températures ou des résultats de calcul - des
nombres réels (à virgule) pour augmenter la
précision de calcul Pour cela, il existe
plusieurs solutions, nous n'étudierons que les 2
plus utilisées dans les automates programmables
nés - La méthode du complément à 2 pour
représenter les nombres entiers signés, - La
méthode de la virgule flottant pour les nombres
réels.
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Le binaire signé
A noter que avant 1998 - 1 kilo-octet (ko ou
Ko) 1024 octets. - 1 méga-octet (Mo) 1024 ko
1 048 576 octets. - 1 giga-octet (Go) 230
octets 1024 Mo 1 073 741 824 octets. Depuis
1998, et suivant la Commission électrotechnique
internationale - 1 kilooctet (ko) 103 1
000 octets - 1 mégaoctet (Mo) 106 octets 1
000 Ko 1 000 000 octets - 1 gigaoctet (Go)
109 octets 1 000 Mo 1 000 000 000 octets
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Le binaire signé - Le complément 2
Par rapport au binaire pur le bit de poids fort
(MSB) devient le bit de signe et possède une
valeur négative.
Si ce bit 0 ? le nombre est positif Si ce bit
1 ? le nombre est négatif (le total de tous les
autres bits positifs 32767)
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Le binaire signé - Le complément 2
Pour chaque format de mot, il y aura donc des
limites de représentation..
Format Nom (en anglais) Valeur maxi
4 bits Quartet -7 à 7
8 bits Octet (Byte) -128 à 127
16 bits Mot ou double octet (Word) -32768 à 32767
32 bits Mot double (Double word) -2 147 483 648 à 2 147 483 647
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Le complément 2
La méthode du complément à 2 est le principe qui
permet de passer d'un nombre positif à un nombre
négatif et réciproquement. Exemple sur un mot de
4 bits
Explications 8 4 2 1
Soit la valeur 5 0 1 0 1
Complément 1 (on inverse les bits) 1 0 1 0
On ajoute 1 pour obtenir le complément à 2 1
Complément à 2 1 0 1 1
Calcul de la valeur ? -8 2 1 - 5 1 0 1 1
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La virgule flottante
Correspond à la notation scientifique de
certaines calculatrices. Elle se présente sous la
forme d'une mantisse et d'une puissance de
10. N M x 10 E Exemple - 12,5 - 0,125
x 102
N nombre M Mantisse E Exposant
La virgule flottante se présente sous la forme
d'une mantisse et d'une puissance de 2. N M x
2 E Exemple - 12,5 - 0,125 x
102 Limites de représentation -1 x2 128 lt
N lt 1 x 2 127 Codée sur 32 bits 24 pour la
mantisse, 8 pour l'exposant
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La virgule flottante
Exemple de représentation du nombre -5
-27 26 25 24 23 22 21 20
0 0 0 0 0 0 1 1
E 3 E 3 E 3 E 3 E 3 E 3 E 3 E 3

-20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-22 2-23
0 1 0 1 0 0 0
M 0,625 M 0,625 M 0,625 M 0,625 M 0,625 M 0,625 M 0,625 M 0,625

8 bits
- 5 10 ? 0,625 x 2 3
24 bits