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Congreso Nacional de Matemática Educativa
LA FUNCIÓN DERIVADA A PARTIR DE PROPIEDADES
GEOMÉTRICAS CURIOSAS DE LA RECTA TANGENTE,
UTILIZANDO TECNOLOGÍA. Autores Eduardo
Tellechea Armenta Martha Gabriela Robles
Arredondo Universidad de Sonora, Hermosillo,
Sonora, MÉXICO Toluca, Estado de México
Enero de 2009
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Introducción Con la ayuda del Applet Descartes,
se construyen archivos en los que se muestra la
gráfica de una función y la recta tangente en un
punto, construida ésta como aproximación de
secantes. Se diseñan actividades escritas para
que el estudiante, de manera guiada, interactúe
con los archivos descubriendo que, para las
funciones más importantes del cálculo, es posible
encontrar propiedades gráficas de las rectas
tangentes que nos permitirán determinar su
pendiente, es decir la derivada de la función en
el punto dado y, posteriormente, generalizarlo
para obtener la expresión analítica de la función
derivada.
Consideramos que actividades como ésta, en las
que se promueve la articulación de los registros
gráfico, numérico y algebraico, favorecen en el
estudiante el desarrollo de habilidades de
exploración, generalización y conjetura,
contribuyendo a que el aprendizaje sea más
significativo.
Es importante destacar que lo sencillo del
diseño de estos Applets, fuerza al estudiante a
ser él mismo quien descubra el conocimiento.
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Objetivo general Potenciar el uso del Applet
Descartes en la enseñanza del Cálculo, diseñando
ambientes computacionales interactivos que le
permitan al alumno interactuar dinámicamente con
las representaciones gráficas y numéricas
proporcionadas por la computadora, al nivel de
poder modificarlas, como una manera de detectar
patrones de comportamiento y formular conjeturas
sobre los objetos representados y sus
características, ayudando, de esta manera a crear
una base de significación más concreta, que
permitan posteriormente su análisis a un nivel
más abstracto.
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Objetivo particular Presentar un acercamiento
gráfico interactivo al tema de la Derivada, con
el fin de que el estudiante explore el
comportamiento de las rectas tangentes, que tanto
de manera puntual como global, le permita
calcular sus pendientes, es decir la derivada en
cada punto. Se aprovechan las capacidades del
software para que el alumno interactúe de manera
gráfica y numérica con la computadora al nivel de
poder comprobar resultados, predecir propiedades
y conjeturar sobre situaciones de más
generalidad.
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Descripción del Archivo Se construye, un archivo
en el que se muestra la gráfica de una función y
f(x), modificable en pantalla, así como una
recta secante que pasa por los puntos (x, f(x)) y
(xh, f(xh)) ambos también modificables en
pantalla. Cuando hacemos tender h a cero,
(tomamos h 0.000001) visualizamos la recta
tangente y su intersección con el eje de las
abscisas.
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Actividad 1 Se le proporciona al alumno un
archivo, como el de la figura, en el que se
muestra la gráfica de la función f(x) x2 y se
le pide que interactúe con él, analizando el
corte de las rectas tangentes con el eje de las
abscisas en varios casos particulares.
x f(x)
0 0
1 2
2 4
3 6
Se le pide que anote en una tabla la pendiente de
la recta tangente en algunos casos explorados.
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También podemos encontrar la pendiente de la
recta tangente en cualquier punto x, de la
siguiente manera
Este resultado se generaliza para cualquier
parábola de la forma f(x) a x2, obteniéndose la
correspondiente derivada.
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Una vez caracterizado el corte de la recta
tangente a la parábola, podemos calcular la
derivada de cualquier función cuadrática,
llevándola a la forma f (x) a(x-b)2 c,
completando trinomio cuadrado perfecto, como se
ilustra en el siguiente ejemplo. Encuentre la
derivada de la función f (x) x2 - 2x 3
Completando TCP
f (x) x2 - 2x 3 (x2 - 2x 1) 2
(x 1)2 2
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descubriendo, como en el caso anterior, la
función derivada
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Una vez exploradas las derivadas de parábolas, le
pedimos al estudiante haga exploraciones
similares para la función cúbica f (x) x3
Observando que el corte de la tangente con el eje
de las abscisas se da en el punto situado un
tercio del punto x
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descubriendo, como en el caso anterior, la
función derivada
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Actividad 2 Se le proporciona al alumno un
archivo, como el de la figura, en el que se
muestra la gráfica de la función exponencial
f(x) ex y se le pide que haga una exploración
similar a las anteriores.
En esta exploración, el alumno descubrirá que el
corte de la tangente con el eje de las abscisas
se da una unidad a la izquierda del punto x,
obteniendo
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De manera análoga, el corte de la rectas
tangentes a la gráfica de la función f(x) e2x
Corta al eje de las abscisas media unidad a la
izquierda del punto x, obteniéndose
Análogamente el alumno descubrirá que
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Si utilizamos el hecho geométrico de que las
gráficas de una función y su inversa son
simétricas con respecto a la recta y x, podemos
encontrar la función derivada de la función
logaritmo natural, como se observa en la
siguiente figura
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Un Trazador de la Función Derivada
Podemos aprovechar aún más las capacidades del
APPLET DESCARTES para construir un dispositivo
que trace la función derivada.
Con esta exploración, podemos conducir al alumno
al descubrimiento de

• Expresiones analíticas de la Derivada

• Monotonía y el signo de la derivada

• Concavidad y el signo de la segunda derivada

• Criterios para Máximos y Mínimos

• y hasta donde alcance nuestro ingenio como
  profesores

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN
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Bibliografía ABREU, J.L. OLIVERÓ, M. (2003)
Applet Descartes (software), Ministerio de
Educación y Cultura de España. http//descartes.cn
ice.mec.es/ Font, V. (2008). Rappesentazioni
attivate nel calcolo Della derivata, in G. Arrigo
(ed.) Atti del Convegno di didáctica Della
matematica 2008 (13-24). Alta Scuola Pedagogica
Locarno, Suiza. Disponible en
http//www.webpersonal.net/vfont/VFontLocarno.pdf
Font, V. (2001). Expresiones Simbólicas a
partir de gráficas. El caso de la parábola.
Revista EMA. 6(2) pp 180-200. Disponible en
http//www.webpersonal.net/vfont/(04)RD.pdf
Robles, A. M.G. y Tellechea A. E. (2004). Un
Aparato Virtual para trazar la función Derivada y
su utilización en  la enseñanza del Cálculo
Diferencial. Página Web del Sitio del Proyecto
Descartes, Ministerio de Educación y
Ciencia. Madrid, España. http//descartes.cnice.me
c.es/materiales_didacticos/Funcion_derivada_Tellec
hea/index.htm Tellechea, A. E. (2002) Un
trazador de la función derivada reconocimiento
visual de expresiones analíticas de las derivadas
de algunas funciones. Memorias del I Congreso
Iberoamericano de Cabri, Santiago de Chile.
Disponible en http//www.iberocabri.org/FuncionDer
ivadaEduardoTellechea.pdf Tellechea, A. E. y
Soto M, J.L. (2002). La derivada como herramienta
para explorar la gráfica de una función, un
acercamiento con Cabri Memorias del X Congreso
THALES sobre Enseñanza y Aprendizaje de las
Matemáticas. Almería, España.