La transformada de Laplace

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La transformada de Laplace
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"Podemos mirar el estado presente del universo
como el efecto del pasado y la causa de su
futuro. Se podría condensar un intelecto que en
cualquier momento dado sabría todas las fuerzas
que animan la naturaleza y las posiciones de los
seres que la componen, si este intelecto fuera lo
suficientemente vasto para someter los datos al
análisis, podría condensar en una simple fórmula
el movimiento de los grandes cuerpos del universo
y del átomo más ligero para tal intelecto nada
podría ser incierto y el futuro así como el
pasado estarían frente sus ojos."
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
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La transformada de Laplace
Sea f(t) una función definida para t 0, su
transformada de Laplace se define como donde
s es una variable compleja Se dice que la
transformada de Laplace de f(t) existe si la
integral converge.
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• Observa que la transformada de Laplace es una
• integral impropia, uno de sus límites es
  infinito

Notación
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Condiciones suficientes de existencia de la TL
Si f(t) es continua a trozos en 0, 8) y
Es decir, f(t) es de orden exponencial en el
infinito
Entonces Lf(t) F(s) existe ?s gt a.
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Calcula la transformada de f(t) 1
Nota Obviamente La a/s y L0 0.
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Calcula la transformada de f(t) tn
8
Calcula la transformada de f(t) e-t
9
Calcula la transformada de f(t) Aeat
10
Calcula la transformada de f(t) sen(at)
Ejercicio calcula F(s) para f(t) cos(at)
11
Calculemos la transformada de f(t) sen(at) de
nuevo
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Calculemos la transformada de f(t) eiat
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La función Heaviside o escalón unidad
1
1
0
c
c
t
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Función delta de Dirac
área 1
Sea la función parametrizada
Observemos que
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Así la transformada de la función delta de Dirac
es
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Funciones periódicas
Supongamos que f (t) es una función periódica de
periodo T. Entonces
donde F1(s) es la transformada de Laplace de la
función f(t) sobre el primer periodo y cero
fuera.
T
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Demostración
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Ejemplo onda cuadrada
a
2a
19
Tabla de transformadas de Laplace
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(No Transcript)
21
(No Transcript)
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(No Transcript)
23
(No Transcript)
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(No Transcript)
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Transformada inversa de Laplace
Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de
F(s) se le conoce como transformada inversa de
Laplace y se obtiene mediante conocida también
como integral de Bromwich o integral de
Fourier-Mellin.
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Im(s)
?
? determina un contorno vertical en el plano
complejo, tomado de tal manera que todas
las singularidades de F(s) queden a su izquierda.
Re(s)
Con condiciones de existencia
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Por ejemplo, determinemos
Puesto que la función a invertir tiene un polo en
s -1, entonces basta con tomar ? gt -1. Tomemos
? 0 y el contorno de integración C de la
figura.
Im(s)
R
C1
?0
-1
Re(s)
-R
0 por la desigualdad ML cuando R?8 con t0.
Haciendo R?8 y utilizando teoría de residuos
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Sea F(s) una función analítica, salvo en un
número finito de polos que se encuentran a la
izquierda de cierta vertical Re(s) ?. Y
supongamos que existen m, R, k gt 0 tq. para todo
s del semiplano Re(s) ? ? y s gt R, tenemos que
Entonces si t gt 0
En particular, sea F(s) N(s)/D(s), con N(s) y
D(s) polinomios de grado n y d respectivamente,
d gt n entonces podemos usar la igualdad
anterior.
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Ejercicio Calcular, a partir de su definición,
la transformada inversa de Laplace de la función
Im(s)?
t lt 0
t gt 0
Respuesta.
s-1
s-2
Re(s)
puntos singulares aislados de f(s).
s -1 polo simple
s -2 polo simple
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Ejemplo, determinar
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P2. Junio 2007

1. Emplear la integral de Bronwich para determinar

Respuesta.
s -1, s 2, puntos singulares aislados de f
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Im (s)?
s2
s-1
Re (s)?
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Residuo en s -1
Residuo en s 2
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(No Transcript)
35
(No Transcript)
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Para valores de t lt 0,
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Propiedades
1. Linealidad Si c1 y c2 son constantes, f1(x)
y f2(x) son funciones cuyas transformadas de
Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente
entonces
La transformada de Laplace es un operador lineal.
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Demostración
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2. Desplazamiento temporal

ò
-

st
)
(
)
(
dt
t
f
e
s
F
0

ò
-
-
-

st
)
(
)
(
)
(
dt
t
t
u
t
t
f
e
s
X
0
0
0

ò
-
-

st
)
(
dt
t
t
f
e
0
(
)
t
-

l
t
t
0
0

ò
-
-
l

l
l
s
st
)
(
d
f
e
e
0
0
-

st
)
(
s
F
e
0
40
Ejemplo
t
3
41
3. Desplazamiento en frecuencias
Ejemplo
42
4. Cambio de escala en tiempo
43
5. Derivada de la transformada de Laplace
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6. Transformada de Laplace de las derivadas de
una función La transformada de Laplace de la
derivada de una función está dada por donde
f(0) es el valor de f(t) en t 0. La
transformada de Laplace de la segunda derivada de
una función está dada por
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En forma similar Demostración
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Supongamos que
Entonces
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Ejercicio Determina la transformada de Laplace
de la función usando
la transformada de Laplace de
48
(No Transcript)
49
(No Transcript)
50
Emplear las propiedades correspondientes para
determinar la transformada de Laplace de los
polinomios de Laguerre, que se definen como
Respuesta.
51
(No Transcript)
52
(No Transcript)
53
Gracias a esta propiedad y a la linealidad de la
TL podemos convertir una ec. diferencial como
Resolver para y(t)
en una ec. algebraica
Resolver para Y(s)
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Ec. Diferencial
Ec. Algebraica
55
Si resolvemos la ec. algebraica
y encontramos la transformada inversa de Laplace
de la solución, Y(s), encontraremos la solución
de la ec. diferencial.
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Ec. Algebraica
Solución de la Ec. Diferencial
57
La transformada inversa de Laplace de
es
58
De modo que
es la solución de la ec. diferencial
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Para conseguirlo hemos aplicado
Primero, que la TL y su inversa son lineales
Y segundo, la TF de las derivadas de una función
son
etc...
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A este método se le conoce como cálculo de
Heaviside. Por ejemplo
Y antitransformando obtendremos la solución.
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Veamos un ejemplo concreto Resolver la ec.
diferencial
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Ejemplo
Resolver
63
Ejemplo
Resolver
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7. Transformada de Laplace de la integral de una
función
Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) gt p 0,
entonces
para Re(s) gt p.
65
Ejercicio Obtener la transformada de Laplace de
la función
Respuesta.
66
(No Transcript)
67
8. Transformada de Laplace de f(t)/t
68
Calcula la transformada de Laplace de
69
9. TF de f(t)cos(at) y f(t)sen(at)
Ejemplo
70
10. Teorema del valor final Si
existe, entonces 11. Teorema del valor
inicial El valor inicial f(0) de la función f(t)
cuya transformada de Laplace es F(s), es
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12. Integral de convolución
Recordemos que la operación se
conoce como la convolución de y y se
denota como La transformada de Laplace de esta
operación está dada por
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Si trabajamos con funciones que son cero para
para t lt 0, entonces la convolución queda
Así que para estas funciones podemos definirla
convolución como
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De hecho, podemos utilizar la convolución para
encontrar transformadas inversas de Laplace
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Ejemplo Verificar que funciona para f(t) t y
g(t) e-2t con valores 0 para t lt 0.
75
Ejercicio Obtener, mediante el método
operacional de Laplace, la solución del problema
de Cauchy
Respuesta.
76

• Transformada de la ecuación

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(No Transcript)
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Resolver la ec.integro-diferencial
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Antitransformando
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Ejercicio Obtener, mediante el método
operacional de Laplace, la solución del problema
de Cauchy
Respuesta.
81
(No Transcript)
82
(No Transcript)
83
Desarrollo en fracciones parciales Se utiliza
para facilitar el cálculo de la transformada
inversa, descomponiendo la función en
componentes más sencillos.
Raíces del denominador D(s) o polos de F(s)
Caso I Polos reales simples Caso II Polos
reales múltiples Caso III Polos complejos
conjugados Caso IV Polos complejos
conjugados múltiples
84
Ejemplo
85
(No Transcript)
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método alternativo
y resolver...
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La transformada inversa de Laplace es
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Otro ejemplo
Transformada inversa de Laplace
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Caso II Polos reales múltiples
Ejemplo
Polos reales múltiples
Polos reales simples
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(No Transcript)
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Transformada inversa de Laplace
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En general, para polos reales múltiples
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Caso III Polos complejos conjugados
conjugados complejos
ejemplo
Transformada inversa de Laplace
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ejemplo
Transformada inversa de Laplace
donde
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Caso IV factores complejos conjugados
múltiples
Se trata de repetir los métodos usados en los
casos II y III, teniendo en cuenta que trabajamos
con complejos.
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(No Transcript)
98
(No Transcript)