La Transformada de Laplace

1
La Transformada de Laplace

• CAPÍTULO 7

2
Contenidos

• 7.1 Definición de la transformada de Laplace
• 7.2 Transformadas inversas y transformadas de
  derivadas
• 7.3 Propiedades operacionales
• 7.4 Propiedades operacionales adicionales
• 7.5 La función delta de Dirac
• 7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

3
7.1 Definición de la Transformada de Laplace

• Definición básicaSi f(t) está definida para t ?
  0, entonces (1)

4
Ejemplo 1

• Evaluar L1
• Solución Aquí tenemos en cuenta que los límites
  de integración son 0 y ?.De la
  definiciónComo e-st ? 0 cuando t ??, para s
  gt 0.

5
Ejemplo 2

• Evaluar Lt
• Solución

6
Ejemplo 3

• Evaluar Le-3t
• Solución

7
Ejemplo 4

• Evaluar Lsin 2t
• Solución

8
Ejemplo 4 (2)
Transformada de Laplace de sin 2t ?
9
T.L. es Lineal

• Podemos comprobar fácilmente que (3)

10
(No Transcript)
11
EDFINICIÓN 7.2

• Se dice que f(t) es de orden exponencial,
• Si existen constantes c, M gt 0, y T gt 0, tales
  que
• f(t) ? Mect para todo t gt T. Fig 7.1, 7.2.

Orden Exponencial
12
Fig 7.1
13
Fig 7.2
14
Eejmplos Fig 7.3

15
Fig 7.4

• Una función como no es de orden
  exponencial, observe Fig 7.4

16
TEOREMA 7.2
Condiciones Suficientes para la Existencia
Si f(t) una función continua por partes en 0,
?) y de orden exponencial c, entonces existe
Lf(t) para s gt c.
17
Ejemplo 5

• Hallar Lf(t) para
• Solución

18
7.2 Transformadas inversas y Transformadas de
derivadas
TEOREMA 7.3
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
(g)
Algunas transformadas inversas
19
Ejemplo 1

• Hallar las transformadas inversas de (a) (b)
  
• Solución(a)(b)

20
L -1 también es lineal

• Podemso comprobar fácilmente que (1)

21
Ejemplo 2

• Hallar
• Solución (2)

22
Ejemplo 3

• Hallar
• SoluciónUsando fracciones parciales
• Luego (3)Si ponemos s 1, 2, -4,
  entonces

23
Ejemplo 3 (2)

• (4)Así (5)

24
Transformadas de Derivadas

• (6)
• (7) (8)

25
TEOREMA 7.4
Si son continuas en
0, ?) y son de orden exponencial y si f(n)(t)
es continua por partes en 0, ?),
entoncesdonde
Transformada de una derivada
26
Solución de EDO lineales

• Luego (9) (10)

27

• Tenemos (11)donde

28
(No Transcript)
29
Ejemplo 4

• Resolver
• Solución (12) (13)

30
Ejemplo 4 (2)

• Podemos hallar A 8, B -2, C 6Así

31
Ejemplo 5

• Resolver
• Solución (14)
• Así

32
7.3 Propiedades operacionales
TEOREMA 7.5
Si f continua por partes en 0, ?) y de orden
exponencial, entonces lims?? Lf 0.
Comportamiento de F(s) cuando s ? ?

• Demostración

33
TEOREMA 7.6
Si Lf F(s) y a cualquier número real,
entonces Leatf(t) F(s a), Fig 7.10.
Primer teorema de traslación

• DemostraciónLeatf(t) ? e-steatf(t)dt ?
  e-(s-a)tf(t)dt F(s a)

34
Fig 7.10
35
Ejemplo 1

• Hallar las T.L. de(a) (b)
• Solución(a) (b)

36
Forma inversa del Teorema 7.6

• (1)donde

37
Ejemplo 2

• Hallar la T.L. inversa de(a) (b)
• Solución(a) teenmos A 2, B 11
  (2)

38
Ejemplo 2 (2)

• And (3)De (3), tenemos (4)

39
Ejemplo 2 (3)

• (b) (5)
• (6)
• (7)

40
Ejemplo 3

• Resolver
• Solución

41
Ejemplo 3 (2)

• (8)

42
Ejemplo 4

• Resolver
• Solución

43
Ejemplo 4 (2)
44
EDFINICIÓN 7.3
La función escalón unitaria U(t a) se define
como
Función escalón unitario
Fig 7.11.
45
Fig 7.11
46
Fig 7.12 Fig 7.13

• Fig 7.12 muestra la gráfica de (2t 3)U(t
  1).Considerando la Fig 7.13, es la misma
  que f(t) 2 3U(t 2) U(t 3)

47

• También una función del tipo (9)es la
  misma que (10)De manera similar, una
  función del tipo (11)puede
  escribirse como (12)

48
Ejemplo 5

• Expresar en términos de U(t). Fig 7.14.
• SoluciónDe (9) y (10), con a 5, g(t) 20t,
  h(t) 0 f(t) 20t 20tU(t 5)

49
Fig 7.14
50

• Cosidere la función (13) Fig 7.15.

51
Fig 7.15

52
TEOREMA 7.7
Si F(s) Lf, y a gt 0, entonces Lf(t a)U(t
a) e-asF(s)
Segundo teorema de traslación

• Demostración

53

• Sea v t a, dv dt, entoncesSi f(t) 1,
  entonces f(t a) 1, F(s) 1/s, (14)p
  or ejemplo La T.L. de la Fig 7.13 es

54
Forma inversa del Teorema 7.7

• (15)

55
Ejemplo 6

• Hallar la T.L. inversa de(a) (b)
• Solución(a) luego
• (b) luego

56
Forma alternativa del Teorema 7.7

• Como ,
  entonces Lo anterior se puede resolver. Sin
  embargo, lo enfocamos de otra manera.Sea u t
  a, Esto es, (16)

57
Ejemplo 7

• Hallar
• SoluciónCon g(t) cos t, a ?, entonces g(t
  ?) cos(t ?) -cos tPor (16),

58
Ejemplo 8

• Resolver
• SoluciónHallamos f(t) 3 cos t U(t -?), luego
  (17)

59
Ejemplo 8 (2)

• Se sigue desde (15) con a ?, entoncesAsí
  
• 
  (18)

60
Fig 7.16
61
Vigas

• Recuerde que la ED de una viga es (19)F
  ig 7.17.

62
Fig 7.17
63
Ejemplo 9

• Una viga de longitud L se empotra en ambos
  extremos como se ilustra en la Fig 7.17.
  Determine la deflexión de la viga cuando la carga
  está dada por
• SoluciónTenemos las condiciones en la frontera
  y(0) y(L) 0, y(0) y(L) 0. Por (10),

64
Ejemplo 9 (2)

• Transformando (19) en donde c1 y(0),
  c3 y(3)(0)

65
Ejemplo 9 (3)

• Así

66
Ejemplo 9 (4)

• Aplicamos y(L) y(L) 0, entoncesAsí

67
7.4 Propiedades Operacionales Adicionales

• Multiplicando una función por tnesto es, De
  manera similar,

68
TEOREMA 7.8
Si F(s) Lf(t) y n 1, 2, 3, , entonces
Derivadas de una transformada
69
Ejemplo 1

• Hallar Lt sen kt
• SoluciónCon f(t) sen kt, F(s) k/(s2 k2),
  luego

70
Enfoques diferentes

• Teorema 7.6
• Teorema 7.8

71
Ejemplo 2

• Resolver
• Solución ó
• Del ejemplo 1, Así

72
Convolución

• Un producto especial, f g se define mediante
  al integraly se llama convolución de f y g.
  La convolución es una función de t, por
  ejemplo
• Observación f g g f

73
TEOREMA 7.9
Teorema de convolución
Si f(t) y g(t) son continuas por partes en 0,
?) y de orden exponencial, entonces

• Demostración

74

• manteniendo? fija, let t ? ?, dt d?Se
  realiza al integración en la región sombreada de
  la Fig 7.32.Cambiando el orden de integración

75
Fig 7.32
76
Ejemplo 3

• Hallar
• SoluciónOriginal statement Let sin t

77
Forma inversa del Teorema 7.9

• L-1F(s)G(s) f g (4)Mire en la tabla
  del Apéndice III, (5)

78
Ejemplo 4

• Hallar
• SoluciónSea entonces

79
Ejemplo 4 (2)

• Ahora recordamos que sen A sen B (1/2) cos (A
  B) cos (AB)Si ponemos A k?, B k(t -
  ?), entonces

80
Transformada de una Integral

• Cuando g(t) 1, G(s) 1/s, entonces

81

• Eejmplos

82
Ecuación Integral de Volterra
83
Ejemplo 5

• Resolver
• SoluciónPrimero, h(t-?) e(t-?), h(t) et. De
  (9)Resolviendo para F(s) y empleando fracciones
  parciales

84
Circuitos en Serie

• De la Fig 7.33, tenemos
• la cual se llama ecuación integrodiferencial.

Fig 7.33
85
Ejemplo 6

• Determine i(t) en Fig 7.33, cuando L 0.1 h, R
  2 ?, C 0.1 f, i(0) 0, y E(t) 120t
  120tU(t 1)
• SoluciónUsando los datos, (10) se convierteY
  entonces

86
Ejemplo 6 (2)
87
Ejemplo 6 (3)

• Escrita como una función definida por partes
  (11)

88
Fig 7.34
89
Periodic Function

• f(t T) f(t)

90

• DemostraciónUse el mismo método de
  transformación

91
Ejemplo 7

• Halle la T. L. de la función en Fig 7.35.
• SoluciónHallamos T 2 yDel Teorema 7.10,

92
Fig 7.35
93
Ejemplo 8

• La ED (13)Hallar i(t) donde i(0) 0,
  E(t) es como ilustar la Fig 7.35.
• Solución ó (14)Porque y

94

• Luego i(t) se esribe de la siguiente manera
  y se ilustra en la Fig 7.36
  (15)

95
Fig 7.36

96
7.5 La función delta de Dirac

• Impulso UnitarioObserve la Fig 7.43(a). Está
  función se define por (1)donde a gt 0,
  t0 gt 0.
• Para un valor pequeño de a, ?a(t t0) es una
  función constante de gran magnitud. El
  comportamiento de ?a(t t0) cuando a ? 0, se
  llama impulso unitario, porque posee la propiedad
  . Fig 7.43(b).

97
Fig 7.43

98
La función delta de Dirac

• Esta función se define como ?(t t0) lima?0
  ?a(t t0) (2)Las dos propiedades importantes
  son(1) (2) , x
  gt t0

99
TEOREMA 7.11
Para t0 gt 0,
Transformación de la función delta de Dirac

• DemostraciónLa Transformada de Laplace es

100

• Cuando a ? 0, (4) es 0/0. Use la regla de
  LHopital, entonces (4) tiende a 1 cuando a ?
  0.Así , Ahora cuando t0 0, tenemos

101
Ejemplo 1

• Resolver sujeta
  a(a) y(0) 1, y(0) 0(b) y(0) 0, y(0) 0
• Solución(a) s2Y s Y 4e-2?s Así y(t)
  cos t 4 sen(t 2?)U(t 2?)Como sen(t 2?)
  sen t, enonces (5)Fig 4.44.

102
Fig 7.44
103
Ejemplo 1 (2)

• (b) Así y(t) 4 sen(t 2?)U(t
  2?)y (6)

104
Fig 7.45
105
7.6 Sistemas Eds Lineales

• Resortes acopladosEn el ejemplo 1 trabajaremos
  con (1)

106
Ejemplo 1

• Use T.L. para resolver (2)donde x1(0)
  0, x1(0) 1, x2(0) 0, x2(0) -1.
• Solución s2X1 sx1(0) x1(0) 10X1 4X2 0
  -4X1 s2X2 sx2(0) x2(0) 4X2 0
  Recolocando (s2 10)X1 4X2
  1 -4X1 (s2 4)X2 -1 (3)

107
Ejemplo 1 (2)

• Resolviendo (3) para X1Usamos X1(s) para
  obtener X2(s)

108
Ejemplo 1 (3)

• Luego (4)

109
Redes

• De la Fig 7.47, tenemos (5)

110
Fig 7.47
111
Ejemplo 2

• Resolver (5) donde E(t) 60 V, L 1 h, R 50
  ohm,
• C 10-4 f, i1(0) i2(0) 0.
• SoluciónTenemosEntonces sI1(s) 50I2(s)
  60/s -200I1(s) (s 200)I2(s) 0

112
Ejemplo 2 (2)

• Resolviendo lo anteriorAsí

113
Péndulo Doble

• De la Fig 7.48, tenemos (6)

114
Fig 7.48

115
Ejemplo 3

• Compruebe que cuando la solución de (6)
  es (7)Fig 7.49

116
Fig 7.49