Title: Diapositiva 1
1El mundo de la Integral
2La Integral
- En pocas palabras la Integral es la operación
inversa a la Derivada - Tiene muchas formas de trabajar y variadas
aplicaciones
3Tipos
- Integral definida
- Integral indefinida
4Integral definida
- Sirve para calcular el área de debajo de una
curva lineal en un intervalo
5- Dada una función continua en un intervalo a,b
- se define la integral definida entre a y b de la
función f como el área S limitada por las rectas
xa, xb, el eje de abscisas y la curva definida
por la representación gráfica de f. Se denota por
6- Por ejemplo, si f es la función constante f(x)3,
entonces la integral de f entre 0 y 10 es el área
del rectangulo limitado por las rectas x0, x10,
y0 y y3. El área corresponde al producto de la
anchura del rectángulo por su altura, por lo que
aquí el valor de la integral es 30. - Si se tiene una primitiva (integral indefinida)
de la función f - entonces, y según la Regla de Barrow
- Siempre y cuando ni la integral ni la función
integrada no presenten singularidades en el
intervalo de integración. - A esta relación entre la integral indefinida y la
superficie bajo la función se le denominaTeorema
fundamental del calculo integral -
tipos
7Integral Indefinida
- Dada una función F(x) tal que su derivada es
F'(x) f(x), entonces decimos que F es la
integral o primitiva de f, definiendo así la
integración como la inversa de la derivación.
Simbólicamente, se denota por - Una función dada no tiene una única integral
indefinida. Por ejemplo, para la función f(x) x
2, las siguientes funciones son todas
primitivas de la misma - En general, si F(x) es una primitiva de f(x),
entonces cualquier función de la forma F(x)c,
siendo c una constante cualquiera, es también una
primitiva de f(x).
tipos
8Teorema fundamental del calculo
- Teorema Si una función f es continua en el
intervalo a,b, entonces - donde F es cualquier función tal que F(x) f(x)
para todo x en a,b. - La función f se llama el integrando y las
constantes a y b son los límites de integración.
El proceso de hallar el valor de una integración
definida se llama evaluar el integral. -
precursores
9- Resumiendo
- Teorema
- -cuando c es una constante.
10Propiedades de integración
- donde k es una constante
- donde altcltb
11Aplicaciones
- A) Cálculo de Áreas
- B) Cálculo de volúmenes
12A)1.-Area de una región comprendida entre dos
curvas
- Si f y g son funciones continuas en el intervalo
a,b y - para todo x en a,b, entonces el área de la
región limitada por y f(x), y g(x), - x a y x b. es
13- Donde f(x) representa la curva de arriba y g(x)
representa la curva de abajo. En la ilustración a
continuación, f(x) es la parábola que abre hacia
abajo (observa que es la curva de arriba en la
región limitada por ambas funciones) y g(x) es la
parábola que abre hacia arriba (esta es la curva
de abajo en la región limitada por ambas
funciones).
14Pasos para hallar el área de una región
comprendida por una curva arriba y otra abajo
- 1) Dibuja las gráficas. Esto permite
visualizar qué curva está arriba y cuál está
abajo. - 2) Halla los límites de integración, los cuales
se leen en el eje x. - 3) Halla
15A)2.-Región limitada por curva derecha y curva
izquierda
- El proceso para calcular el área de una región
limitada por una curva a la derecha y otra a la
izquierda es similar al anterior. Se recomienda
dibujar las gráficas para visualizar qué curva
está a la derecha y cuál a la izquierda. Los
límites de integración se leen en el eje y, y se
halla de la forma - Donde en esta ocasión f(y) representa la curva de
la derecha y g(y) la curva de la izquierda. -
aplicaciones
16B).-Volúmenes de cuerpos de revolución
- Los sólidos de revolución son sólidos que se
generan al girar una región plana alrededor de
ejes. Por ejemplo el cono es un sólido que
resulta al girar un triángulo recto alrededor de
uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un
rectángulo alrededor de uno de sus lados. - El volumen de un cono y de un cilindro se puede
calcular por medio de fórmulas geométricas. Pero
existen otros sólidos de revolución como la
paraboloide donde no se dispone de una fórmula
para hallar su volumen. La paraboloide surge al
girar una región parabólica alrededor de una
recta. - Cono
paraboloide
17B)1.-Volumen de un sólido de revolución cuya
rotación es alrededor del eje x por el método de
discos
- El volumen de un sólido que se genera al girar la
región entre la gráfica de una función continua y
f(x) y el eje x de x a a x b alrededor del
eje x es
18B)2.-Volumen de un sólido de revolución cuya
rotación es alrededor del eje y por el método de
discos
- El volumen de un sólido que se genera al girar la
región entre la gráfica de una función continua y
el eje y de y c a y d alrededor del eje y
es
19B)3.-Volumen de un sólido de revolución que no
tiene borde en el eje de rotación por el método
de arandelas
- Si la región que se gira para generar un sólido
no tiene borde en el eje de rotación, entonces el
sólido tiene un agujero. El volumen se determina
por - donde R es el radio exterior y r es radio
interior.
20B)4.-Volumen de un sólido de revolución por el
método de capas (cascarones cilíndricos)
- Se conoce como el método de capas o cascarones
cilíndricos porque utiliza capas cilíndricas. Un
cascarón cilíndrico es un sólido acotado por dos
cilindros circulares rectos concétricos. Para
hallar el volumen de un sólido de revolución por
el método de capas se utilizan las siguientes
fórmulas - I.- Si el eje de rotación es horizontal,
entonces - Donde y representa el radio de la capa cilíndrica
y g(y) la altura de la misma. El intervalo de
integración se lee en el eje de y.
21- II.-Si el eje de rotación es vertical, entonces
- Donde x representa el radio de la capa cilíndrica
y f(x) la altura de la misma. El intervalo de
integración se lee en el eje de x -
aplicaciones
22Precursores
- Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz,
fueron los que dieron forma al Teorema
fundamental del calculo - Isaac Barrow formulo reglas sobre la integral y
se llamaron reglas de Barrow
23Teorema de Barrow
- Dada una funcion f continua en el intervalo a
b y sea F(x) cualquier función primitiva de f,
es decir F' f - volver
24- Francisco Fernández Robles 4ºC 2007