Diapositiva 1

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DERIVACION IMPLICITA
Prof. Luis Martínez Catalán 2008
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DERIVACION IMPLICITA
En general, la ecuación
, para determinados intervalos de , define a
como una función de en
tal caso su derivada se determina por
el METODO DE DERIVACION IMPLICITA que consiste en
derivar directamente, la ecuación considerada,
como un polinomio en e teniendo
presente que, para determinar dos intervalos de
, la variable se comporta como función de
y es diferenciable con respecto a , es
decir, existe , que por la regla de
la cadena, debe derivarse primero con respecto a
y luego con respecto a
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Ej Por el método de derivación implícita,
encontrar
1)
-
4
2)
5
Ej Determinar , si
Solución
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Ej Hallar la derivada de la relación
Solución
Por definición de valor absoluto se tiene
ii)
i)
En i) y ii), derivando implícitamente, se observa
que la derivada del 2º miembro es nula, por lo
tanto, para i) y ii), se tiene
-
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Ej Hallar la ecuación de la tangente y normal a
la curva En el punto (1,1) de ella
Solución (1,1) es pto. de la curva.
Derivando implícitamente con respecto a se
tiene
T
N
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DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

• Sí es diferenciable,
  entonces se tiene , 1ª
  derivada
• de con respecto a

• Puesto que es función de ,
  se tiene derivando con
• respecto a

, 2ª derivada de con respecto a

• es función de , entonces

, 3ª derivada de con respecto a
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• Sí tiene derivadas, se
  llega a la expresión

, -ésima derivada de con respecto a
Ej Determinar las derivadas sucesivas de
Solución
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Solución
Derivando implícitamente
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(No Transcript)
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APLICACIONES DE LA DERIVACION
TEOREMA (Teorema de los valores extremos)
Si es una función continua definida en
el intervalo cerrado , existe (por
lo menos) un punto tal que
, en el cual
toma el mayor valor, y existe, (por lo menos)
un punto , tal que
en el cual toma el menor
valor.
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Gráficamente
se cumple
en que
es el máximo valor de en
y
es el mínimo valor de en
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TEOREMA Supóngase que es continua en un
intervalo que toma su valor máximo (o mínimo) en
algún punto que está en el interior del
Intervalo. Si existe , entonces
COROLARIO Sí es un mínimo de
, entonces , Siempre
que exista la derivada
NOTA Es importante hacer notar que debe
ser un punto interior al intervalo, puesto que
, definida en
Tiene un máximo en y un mínimo en
y además
en todo punto del intervalo
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es un mínimo de
es un máximo de
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APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA REPRESENTACION
GRAFICA DE FUNCIONES
Estudiaremos los siguientes conceptos en forma
simultánea Función Creciente, Función
Decreciente, Máximo y/o Mínimo Relativo,
Concavidad hacia arriba, Concavidad hacia abajo y
punto de inflexión en la función.
Analizando el comportamiento de la función
se tiene, sí
es un máximo o un mínimo
concavidad
Punto de inflexión de la función, cambio de
concavidad
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Entonces
1)
es un máximo relativo de la función en
2)
es un mínimo relativo de en
3)
tiene un punto de inflexión en
NOTA 1 Los puntos donde tiene un
máximo, un mínimo y un punto de
inflexión se llaman puntos críticos de la función.
NOTA 2 No siempre cuando la
función tiene un
punto extremo (máximo o mínimo).
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Ej Estudie y grafique la función
Dominio de existencia
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Puntos extremos
-1
1
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Sí
es creciente
es decreciente
es creciente
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Concavidad
Punto de inflexión
Sí
es cóncava hacia abajo
es cóncava hacia arriba
Ahora
y
tiene un máximo, su valor
tiene un mínimo, su valor
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Así la gráfica resulta