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Objetivo Adquirir una noción fundamental de la
importancia del papel que desempeñan los métodos
numéricos. También conocerá y aplicara conceptos
de lenguajes de programación. INTRODUCCCION Los
métodos numéricos son técnicas mediante las
cuales es posible formular problemas matemáticos
de tal forma que puedan resolverse usando
operaciones aritméticas. Ya que antes los
ingenieros solo contaban con ciertos métodos, por
ejemplo usaban métodos analíticos pero solo con
estos pueden encontrarse una clase limitada de
problemas. Además se usaban soluciones graficas
limitadas solo a 3 dimensiones o menos. Y se
utilizan calculadoras donde aun así que son
adecuadas los cálculos manuales son lentos y
tediosos resultando equivocaciones.
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• Hoy en día al usar la computadora para obtener
  soluciones se pueden aproximar los cálculos sin
  tener que recurrir a técnicas lentas, aunque las
  soluciones analíticas son muy valiosas ya que
  proporcionan una mayor comprensión.
• IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS
• Los métodos numéricos son herramientas poderosas
  para la solución de problemas, aumentando la
  habilidad de quien los estudia para resolver
  problemas.
• En el transcurso de la carrera se usaran software
  disponibles comercialmente. Pero el uso
  inteligente de estos depende del conocimiento de
  la teoría básica de cada uno de ellos.
• Hay problemas que no se pueden plantear con
  software comerciales, entonces si conoces los
  métodos y la programación tendrán la capacidad de
  diseñar sus propios programas.

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IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS
(continúa.) 4. Los métodos numéricos son un
vehículo eficiente para aprender a servirse de
las computadoras. Ya que un camino para aprender
programación es escribir programas de
computadora, y así implementaran los métodos
numéricos para resolver problemas difíciles. Y
demostrara como la computadora sirven para su
desarrollo profesional. 5. Los métodos numéricos
son un medio para reforzar la comprensión de las
matemáticas. Esta alternativa aumenta su
capacidad de comprensión y entendimiento en la
materia.
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ALGORITMOS Las técnicas numéricas se acompañan
por material relacionado con su implementación
efectiva en computadoras. Se proporcionan
algoritmos en métodos. Un algoritmo es un método
para resolver un problema. Es la secuencia de
pasos lógicos necesarios para llevar a cabo una
tarea especifica, como la resolución de un
problema. Resolución de un problema
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• Los pasos para la resolución de un problema son
• Diseño del algoritmo que describe la secuencia
  ordenada de pasos.
• Expresar el algoritmo con un programa en un
  lenguaje de programación adecuado.
• Ejecución y validación del programa por la
  computadora.
• Los algoritmos son independientes tanto del
  lenguaje de programación en que se expresen como
  de la computadora que los ejecute. En cada
  algoritmo se puede expresar diferente pero deberá
  tener el mismo resultado.
• También los algoritmos son particularmente
  útiles en el caso de problemas sencillos o para
  especificar las tareas de una larga programación.
  

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Ejemplo 1 Un cliente ejecuta un pedido a una
fabrica. La fabrica examina en su banco de datos
la ficha del cliente, si el cliente es solvente
entonces la empresa acepta el pedido en caso
contrario, rechazara el pedido. Redactar el
algoritmo correspondiente. 1- Inicio 2- Leer el
pedido. 3- Examinar la ficha del cliente. 4- Si
el cliente es solvente, aceptar pedido en caso
contrario, rechazar pedido. 5- Fin.
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1.3 TIPOS DE DATOS Un dato es la expresión
general que describe los objetos con los cuales
opera una computadora. Los datos se clasifican
en simples (sin estructura) y compuestos
(estructurados)

• Numéricos (integer, real),
• Lógicos (boolean),
• Carácter(char, string).

Simples
DATOS
Compuestos

• Array, registro archivo, conjunto, cadena.

• Estáticos
• dinámicos

• Lista, lista enlazada, árbol, grafo.

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• SE verán los datos simples
• DATOS NUMERICOS. Es el conjunto de valores
  numéricos.
• Se pueden presentar en
• Tipo numérico entero (integer).
• Tipo numérico real (real)
• Enteros es un subconjunto finito de los números
  enteros. (5,6,4,20,1340,etc)
• Se denominan en ocasiones números de punto o coma
  fija.
• Reales es un subconjunto de los números reales.
  Siempre tienen un punto decimal y pueden ser
  negativos o positivos. Consta de una parte entera
  y una decimal.
• Y se pueden representar con notación exponencial.
  En donde la mantisa (parte decimal) al numero
  real y el exponente (parte potencial) el de la
  potencia de 10.
• mantisa 36.75201
• exponente 18

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• DATOS LOGICOS(BOOLEANOS)
• El tipo lógico, es aquel dato que solo puede
  tomar uno de dos valores
• CIERTO O VERDADERO (true) y FALSO (false).
• DATOS TIPO CARÁCTER Y TIPO CADENA
• El tipo carácter es el conjunto finito y ordenado
  de caracteres que la computadora reconoce. Un
  dato tipo carácter contiene un solo carácter.
• Ejemplos
• Caracteres alfabéticos ( A,B,C,D,E) (a,b,c,d,e)
• Caracteres numéricos (1,2,3,5,6)
• Caracteres especiales ( ,-,,/,, lt,gt, ......)
• Una cadena(string) de caracteres es una sucesión
  de caracteres que se encuentran delimitados por
  una comilla o dobles comillas, según el tipo de
  lenguaje de programación.
• La longitud de una cadena de caracteres es el
  número de ellos comprendidos entre los
  separadores o limitadores. Ejemplo
• Hola Mortimer
• 8 de octubre de 1980

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CONSTANTES Y VARIABLES Constantes es una
partida de datos que permanecen sin cambios
durante todo el desarrollo de un algoritmo o
durante la ejecución de un programa. Variable en
una partida de datos que puede cambiar durante el
desarrollo del algoritmo o ejecución del
programa. (enteras, reales, carácter, lógicas y
de cadena). EXPRESIONES ARITMETICAS
Operadores Operador Matlab Significado
-., Exponenciación
Suma
- - Resta
/ , / Multiplic. Y división
div División entera
mod Modulo resto
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• Reglas de prioridad
• Paréntesis, primero los mas internos.
• Exponenciación de izquierda a derecha
• Multiplicación y división, e izquierda a derecha.
• Suma y resta de izquierda a derecha.
• Ejemplos
• 3614 384 87
• 87346 8 21 24 53
• -472 3 / 4 5 -28 8/4 5 -28 2 5
  -31
• Expresar axb ab
• 5.(xy) 5 (xy)
• a²b² a2b2

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OPERADORES RELACIONALES OPERADORES
LOGICOS
Operador Matlab Significado
lt lt Menor que
gt gt Mayor que
Igual que
lt lt Menor o igual que
gt gt Mayor o igual que
ltgt No igual
operador Símbolos matlab Significado
no(not) Negación
y (and) Conjunción
o (or) / Disyunción
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SENTENCIAS DE ASIGNACION, LECTURA Y SALIDA. La
sentencia de asignación es el modo de darle
valores a una variable. Se representa con el
símbolo de . Puede cambiar el símbolo de
acuerdo a cada lenguaje. Pero se vera para
redactar un logaritmo en sencillos programas. A
5 significa que la variable A se le
asignado el valor 5. La acción de asignar es
destructiva, ya que el valor que tuviera antes de
la asignación se pierde y se reemplaza por el
nuevo valor. Ejemplo A 25 A 134 A
5 Cuando se ejecutan el valor ultimo que
toma A será 5.
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TIPOS DE EXPRESIONES DE ACCIONES DE
ASIGNACION Asignación aritmética
AMN tomara el valor de 25
COCIENTE es (14.58)/(0.753.4)
Asignación lógica Supóngase que M,N Y P son
variables tipo lógico. Asignación de
cadena La expresión que se evalúa es x 12
de octubre de 1980 Esta asigna a x el valor 12
de octubre de 1980.
Al evaluar las operaciones, las variables tomaran
los valores falso, verdadero, verdadero.
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En las asignaciones no se pueden asignar valores
a una variable de un tipo diferente del suyo. Se
presentara un error si se trata de asignar
valores de tipo carácter a una variable numérica
o un valor numérico a una variable tipo
carácter. ASIGNACION DE LECTURA Y SALIDA. La
operación de entrada permiten leer determinados
valores y asignarlos a determinadas variables.
Esta entrada se conoce como de lectura (read). La
operación de salida se denomina escritura
(write). Ejemplo LEER (A,B,C) Representa la
lectura de 3 valores de entrada a las variables
A, B Y C. ESCRIBIR (hola ingenieros) Visualiza
en pantalla el mensaje hola ingenieros.
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SENTENCIAS DE SELECCIÓN Y REPETICION Instrucción
de selección Permiten que la selección de
tareas alternativas en función de los resultados
de diferentes expresiones condicionales. Nos
permiten hacer una pregunta o probar una
condición para determinar que pasos se ejecutaran
a continuación. si no
FORMA GENERAL DE LA INSTRUCCIÓN IF If expresión
lógica instrucciones end
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SENTENCIAS DE SELECCIÓN Y REPETICION Instrucción
de repetición Instrucciones que permiten la
repetición de secuencias de instrucciones de un
numero determinado o indeterminado de veces.
Acciones
condición
falsa
verdadera
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ARREGLOS Un arreglo(matriz o vector) es un
conjunto finito y ordenado de elementos
homogeneos, es decir del mismo tipo de datos. El
subindice de un elemntos desinga su posicion en
la ordenacion del vector. El numero de elementos
de un vector se denomina rango del
vector. Ejemplo Consideremos un vector x de
ocho elementos Operaciones basicas con
vectores.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
14.0 12.0 8.0 7.0 6.41 5.23 6.15 7.25
Acciones Resultados
Escribir (X1) Visualiza el valor de X1 O 14.0
X4 45 Almacena el valor 45 en X4
SUMA X1 X3 Almacena en suma 22.0.
SUMA SUMA X4 Añade en la variable suma el valor 67.0
X5 X5 3.5 Suma 3.5 a 6.41 es X5 igual a 9.91
X6 X1 X2 Almacena la suma en x6 el valor 26
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Arreglos con Matlab. Ejemplo A 2 5
6 B 2 3 5 Multiplicacion seria C A.B C
4 15 30
Operación Forma alegebraica Matlab
Suma ab a b
Resta a-b a b
Multiplicacion a x b a.b
Division a/b a./b
ezponenciacion an a.n
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Tambien Matlab se aplica con matrices con filas y
columnas D 15 - 1 - 1-5 P D-5 Q
D.3 D 1 2 3 4 5 -1 -2 -3
-4 -5 P 5 10 15 20 25 -5 -10
-15 -20 -25 Q 1 8 27 64 125
-1 -8 -27 -64 -125
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Errores Entender el concepto de error es
importante para usar en forma efectiva los
métodos numéricos. Los estudiantes y pasantes de
ingeniería luchan para limitar este tipo de
errores en su trabajo porque pueden resultar
costosos y catastróficos en algunas ocasiones.
Entonces debemos resolver problemas con
aproximaciones o estimar los errores. Los
errores asociados con los cálculos y medidas se
pueden caracterizar observando su exactitud y
precisión. La exactitud se refiere a que tan
cercano esta el valor calculado con el verdadero.
Y la precisión que tan cercano esta un valor
individual medico con respecto a otros. Los
métodos numéricos deben ser lo suficientemente
exactos para que cumplan con los requisitos de un
problema de ingeniería.
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• Antes de ver los tipos de errores, veremos el
  concepto de cifras significativas que son
  aquellas que pueden sr usadas en forma confiable.
  
• Por ejemplo, los números 0.00001845 y 0.001845
  tienen cuatro cifras significativas.
• El concepto de cifras significativas tienen dos
  implicaciones en el estudio de métodos numéricos.
• Los métodos numéricos obtienen resultados
  aproximados. Se debe desarrollar criterios para
  especificar que tan precisos son los resultados
  obtenidos. Una manera de hacerlos es con las
  cifras significativas.
• Ciertas cantidades como p, v7, ? , representan
  números específicos, no se pueden expresar con un
  numero finito de dígitos. Por ejemplo
• p 3.141592653589793238462643
• hasta el infinito. Debido a que las computadoras
  retienen un numero finito de cifras
  significativas, tales números jamás se podrán
  representar con exactitud.

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• Los errores asociados con los cálculos y medidas
  se pueden caracterizar observando su exactitud y
  precisión.
• EXACTITUD se refiere a que tan cercano esta el
  valor calculado o medido con el valor verdadero.
• PRECISION se refiere a que tan cercano esta un
  valor individual medido o calculado con respecto
  a otros.
• Los métodos numéricos deben ser lo
  suficientemente exactos para que cumplan los
  requisitos de un problema particular.

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Definiciones de Error Los errores numéricos
general con el uso de aproximaciones para
representar las operaciones y cantidades
matemáticas. Estos incluyen errores de
truncamiento que resultan de representar
aproximadamente un procedimiento matemático
exacto, y los errores de redondeo que se producen
cuando los números tienen un limite de cifras
significativas que se usan para representar
números exactos. Para los dos tipos de errores,
la relación entre el resultado exacto o verdadero
y el aproximado esta dada por VALOR VERDADERO
APROXIMACION ERROR E? (valor exacto del
error) VALOR VERDADERO APROXIMACION Para
señalar un error relativo porcentual verdadero se
expresa como E ? VALOR VERDADERO -
AROXIMACION 100
VALOR VERDADERO
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• Ejemplo de calculo de errores
• Supóngase que se tiene que medir la longitud de
  un puente y de un remache, obteniéndose 9,999 y 9
  cm respectivamente. Si los valores verdaderos son
  10,000 y 10 cm, calcúlese
• El error
• El error verdadero (relativo porcentual)
• Solución
• E VALOR VERDADERO APROXIMACION
• Medición del puente E? 10,000 9,999 1 cm
• Medición del remache E? 10 9 1 cm
• E? valor verdadero - aproximación 100
• valor verdadero
• Error para el puente
• 0.01
• 10

Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un
error de 1 cm, el error relativo porcentual del
remache es mucho mas grande. Se puede concluir
que se ha hecho un buen trabajo en la medición
del puente, mientras que la estimación para el
remache deja mucho que desear.
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• 2. Calcule los dos tipos de errores en las
  aproximaciones siguiente donde las primeras
  cantidades son los valores exactos y los segundas
  son las aproximaciones.
• p p , q 22/7
• m p, n 3.1416
• a ? , b 2.718
• a) E valor verdadero aproximación
• E 3.141592654 3.142857143 0.00126448925
  1.26448925x
• E? valor verdadero aproximación / valor
  verdadero 100
• 3.141592654 3.142857143 / 3.141592654 100
  0.040249
• b) E 3.141592654 3.1416 0.0000073464
• Ev 0.0000073464 / 3.141592654 100
  0.000233843
• c) E 2.718281828 2.718 0.00028182845
• Ev 0.00028182845 / 2.718281828 100
  0.010367889

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Ejemplo Supóngase que x 5/7 y y 1/3, y que se
usa el truncamiento a 5 cifras para los cálculos
aritméticos donde intervienen x y y. f1(x)
0.71428 x10 y f1(y) 0.33333x10.
Operación Resultado Valor real Error absoluto Error relativo
xy 0.10476x10¹ 22/21
x-y 0.38095x10 8/21
xy 0.23809x10 5/21
y/x 0.21428x10¹ 15/7
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En las situaciones reales es a veces dificil
contar con tal información. En estos casos,
normalizar el error es una alternativa, usando la
mejor estimación posible del valor verdadero,
esto es Ea ( ERROR APROXIMADO / VALOR
APROXIMADO) 100 Ciertos métodos numéricos
usan un esquema iterativo para calcular
resultados. Tales métodos se hace una
aproximación con base en la aproximación
anterior. Este proceso se repite varias veces o
de forma iterativa para calcular en forma
sucesiva mas y mejores aproximaciones. El error
se calcula ?a Los signos de las ecuaciones
pueden ser positivos o negativos. También el
denominador puede ser menor que cero. Cuando se
realizan cálculos no importa el signo, mas bien
su valor absoluto porcentual sea menor que su
tolerancia porcentual prefijada ?s. Se puede
demostrar que si el siguiente criterio se cumple,
puede tenerse la seguridad que el resultado es
correcto en al menos n cifras significativas.
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?s (0.5 x ) Estimación del error
por métodos iterativos. En matemáticas, a menudo
se pueden representar las funciones mediante una
serie infinita. Por ejemplo la función
exponencial se puede calcular usando Mientras
mas términos se agreguen a la serie, la
aproximación se acercara mas al valor de .
A esta ecuación se le llama expansión en series
de Maclaurin. Ejercicio Estimar el valor de
, Después de que se agregue cada termino,
calcúlese los errores relativos porcentuales real
y aproximado. El valor real de
1.648721271. Agréguense términos hasta que el
valor absoluto del error aproximado ?a sea menor
al criterio preestablecido ?s, que contempla 3
cifras significativas.
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SOLUCION Se puede emplear la ecuación Es (0.5
x ) , para determinar el criterio de
error que asegura un resultado correcto en al
menos 3 cifras. ?s 0.05 Se
agregaran términos a la serie hasta que Ea sea
menor que 0.05. para x 0.5 1 0.5 1.5
Esto representa el error relativo verdadero
porcentual ?? (1.648721271 1.5 /
1.648721271) 100 9.02 Determinar una
estimación aprox. Del error dada por Ea (1.5 -
1 / 1.5) 100 33.3 Como ?a lt ?s no se
cumple, los cálculos continúan hasta que se
cumpla.
Términos Resultado ?? ?a
1 1 39.3
2 1.5 9.02 33.3
3 1.625 1.44 7.69
4 1.45833333 0.175 1.27
5 1.648437500 0.0172 0.158
6 1.648697917 0.00142 0.0158
Después de 6 términos se cumple la condición. Al
agregan mas cifras significativas se acerca mas
al resultado deseado.
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Errores de Redondeo Se originan debido a que la
computadora puede guardar un numero fijo de
cifras significativas durante el calculo. Porque
estas usan representación en base dos y no pueden
representar numero exactos en base diez. Regla
de redondeo Se conservan las cifras
significativas y el resto se descarta. El ultimo
digito que se conserva se aumenta en uno si el
primer digito descartado es mayor de 5. De otra
manera se deja igual. Si el primer digito es 5
entonces el ultimo digito retenido se incrementa
el 1, solo si es impar. Errores de
Truncamiento Son aquellos que resultan al usar
una aproximación en lugar de un procedimiento
matemático exacto. Para esto se hace uso de la
serie de Taylor la cual da una formulación para
predecir el valor de una función xi, en términos
de la función y sus derivadas alrededor del punto
xi.
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Donde ? es un valor cualquiera de x que se
encuentra en xi y xi1. Ejemplo Usar términos
en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para
aproximar la función Desde xi 0 con h 1.
Predecir el valor de la función en x i1
1. F(0) 1.2 F(xi) 1.2 F(1) 0.2 Error de
truncamiento valor verdadero aproximación
0.2 1.2 0.2 F (0) F(xi1) 1.2 0.25h
1.2 0.25 0.95 Et 0.2-0.95 -0.75.
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n2, se evalúa la segunda derivada en x0 F(0)
F(xi1) 1.2 0.25h 0.5h² 1.2 0.25
0.5 0.45 Et 0.2 0.45 -0.25. n3 , se
evalúa la tercera derivada en x0 F(0)
-2.4(0.0) 0.9 -0.9 F(xi1) 1.2-
0.25h-0.5h² -0.15h³ 1.2 0.25 0.5 - 0.15
0.3 Et 0.2 0.3 -0.1 N4 F(0) -2.4 F(xi1)
1.2 0.25h 0.5h² -0.15h³ -0.1h4 1.2
-0.25-0.5-0.15-0.1 0.2 Et 0.2- 0.2 0 En la
cuarta derivada produce un aproximación exacta en
xi1 1.