Programaci

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Programación LinealProgramación Entera
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Universidad del CEMALDE 700Teoría de la Decisión

• Alejandro Bustamante
• Ariadna Berger

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Programación Lineal

• La PL es un método matemático de resolución de
  problemas donde el objetivo es optimizar
  (maximizar o minimizar) un resultado a partir de
  seleccionar los valores de un conjunto de
  variables de decisión, respetando restricciones
  correspondientes a disponibilidad de recursos,
  especificaciones técnicas, u otras condicionantes
  que limiten la libertad de elección.

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• En PL un sistema de producción se representa
  mediante un modelo o matriz en el que se
  incluyen
• costos e ingresos generados por unidad de
  actividad (función objetivo).
• aportes y requerimientos de insumos y productos
  por unidad de cada actividad considerada
  (coeficientes insumo/producto).
• disponibilidad de recursos, especificaciones
  técnicas y empresariales a respetar (RHS).

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Representación matemática de un problema de PL

• Función objetivo
• Z c1X1 c2X2 ... cnXn
• Relaciones entre Requerimientos y Disponibilidad
  de Recursos
• a11X1 a12X2 ..... a1nXn lt b1
• ............................................. lt
  ..
• am1X1 am2X2 ..... amnXn lt bm
• Xj variables de decisión
• cj costos o ingresos por unidad
• aij coeficientes insumo producto
• bi disponibilidad de recursos

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Supuestos

• Proporcionalidad
• Las actividades se pueden representar mediante
  funciones de producción lineales. Esto implica
  asumir retornos constantes a escala. Por
  consiguiente
• el uso de recursos por parte de una actividad es
  proporcional al nivel de la actividad.

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Supuestos (cont.)

• Aditividad
• El uso total de recursos es la suma de los
  recursos empleados por las actividades
  individuales.
• El valor de la función objetivo es la suma de las
  contribuciones de las actividades individuales.
• La contribución de una variable de decisión a la
  función objetivo o al uso de recursos es
  independiente de los valores que se asignen a
  otras variables de decisión.

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Supuestos (cont.)

• Divisibilidad
• Es posible que las variables tomen valores no
  enteros.
• Certeza
• Se asume que no hay aleatoreidad en los
  coeficientes que definen a las variables de
  decisión del problema.

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Campo de Factibilidad

• Es el conjunto de posibilidades de producción que
  cumple con la condición de respetar todas las
  restricciones de un problema de decisión.
• De todas las alternativas técnicamente factibles,
  hay una sola que es óptima desde el punto de
  vista de la función a optimizar.
• Hay una serie de soluciones subóptimas que vale
  la pena explorar.

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Tasa Marginal de Sustitución Técnica

• Es la relación técnica que define el reemplazo de
  dos actividades entre sí manteniendo constante el
  uso de un determinado recurso.

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Ingreso Marginal

• Es el incremento en el resultado provocado por el
  ingreso en la solución de una unidad adicional de
  una actividad.

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Costo de Oportunidad (Precio Sombra)

• Cuando el objetivo es maximizar el resultado, el
  Costo de Oportunidad es el beneficio que se deja
  de percibir por no contar con una unidad
  adicional de un recurso.
• El Costo de Oportunidad de un recurso se
  determina en base al mejor uso alternativo. En
  términos económicos, es equivalente al Valor del
  Producto Marginal del recurso.
• Los recursos escasos se asignan a aquellas
  actividades en las que el valor del producto
  marginal de cada recurso sea mayor.

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Costo de Oportunidad (cont.)

• El valor de los recursos obtenido de acuerdo al
  criterio de VPMg es interno, propio de cada
  situación evaluada en función de las alternativas
  consideradas tanto en sus aspectos de mercado
  (costos y precios) como técnicos (funciones de
  producción asociadas a cada alternativa), y de la
  abundancia o escasez relativa de los recursos
  disponibles.
• Por consiguiente, el Costo de Oportunidad Interno
  de un recurso puede diferir de su valor de
  mercado.

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Costo Marginal

• En un problema de maximización, el Costo Marginal
  es el incremento en el costo total resultante de
  agregar una unidad de actividad en la solución.
• En PL, el Costo Marginal de una actividad se
  calcula valuando los recursos consumidos por cada
  actividad según el Costo de Oportunidad Interno
  de los recursos.

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Principio de Optimización (Simplex)

• En un problema de maximización, conviene
  incrementar la participación de una actividad en
  el plan en tanto el Ingreso Marginal sea mayor
  que el Costo Marginal que se incurra.
• Se llega a una solución óptima siguiendo un
  mecanismo iterativo, en la que cada solución
  mejora sobre la previa a partir de incluír
  actividades que aportan más que lo que cuestan.
• Se llega a una solución óptima cuando no hay
  sustituciones factibles que permitan lograr un
  resultado mayor. Para todas las actividades
  incluídas en el óptimo se cumple el principio
• Ingreso Marginal Costo Marginal

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Costo de Sustitución (Costo Reducido)

• Indica la diferencia entre el Ingreso Marginal y
  el Costo Marginal para cada actividad.
• En una solución óptima, las actividades incluídas
  en el plan cumplen con la condición Ingreso
  Marginal Costo Marginal, por lo que el Costo de
  Sustitución de las mismas es igual a 0.
• Las actividades no incluídas en el plan tienen un
  Costo Marginal mayor que su Ingreso Marginal. El
  Costo de Sustitución indica la magnitud de esta
  diferencia.

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Solución óptima

• Una solución es óptima para una situación
  determinada en relación a precios relativos,
  funciones de producción, disponibilidad de
  recursos y restricciones empresariales
  especificadas.
• Cualquier alteración en los supuestos empleados
  va a tener un impacto cierto en el resultado
  obtenido y eventualmente en el nivel o
  composición de las actividades incluídas en la
  solución.

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Información obtenida

• Resultado (óptimo)
• Dimensión de cada actividad en la solución
• Costo de Sustitución de las actividades
• Uso de cada recurso
• Costo de Oportunidad de cada recurso
• Rango de precios dentro del cual no se modifica
  la dimensión de las actividades en la solución
  (ceteris paribus)
• Rango dentro del cual se mantiene el Costo de
  Oportunidad de cada recurso (ceteris paribus)

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Soluciones degeneradas

• Cuando en la solución hay menos variables con
  valores positivos que cantidad de restricciones,
  la solución es degenerada.
• En general la degeneración no es un problema,
  pero a veces puede ocurrir que haya soluciones
  óptimas alternativas que no son fáciles de
  identificar.
• Costos de sustitución igual a 0 o costos de
  oportunidad igual a 0 son indicadores de
  soluciones degeneradas.

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Soluciones fallidas

• Solución no factible
• Posibles causas error en la formulación (p.ej.
  una desigualdad con signo equivocado), o problema
  con restricciones incompatibles.
• Solución no limitada
• El modelo fue formulado de tal modo que la
  función objetivo puede aumentar (en un problema
  de maximización) o disminuír (en un problema de
  minimización) sin límites.
• Posibles causas falta incluír alguna restricción
  esencial o se introdujo algún coeficiente con
  signo equivocado.

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Problemas de Transporte

• Hay un conjunto de m puntos de origen desde los
  que se envía una mercadería.
• Cada punto de origen i tiene una capacidad
  máxima de abastecimiento.
• Hay un conjunto de n puntos de demanda hacia los
  que se destina mercadería.
• Cada punto de demanda j debe ser abastecido con
  un mínimo de mercadería.
• Cada unidad producida en un punto de origen i y
  enviada a un punto de demanda j incurre en un
  costo cij

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Balanceo de un problema de transporte

• Si la oferta excede a la demanda, se puede
  balancear el problema creando un punto de demanda
  ficticia que absorba el exceso de oferta.
• Si la demanda excede a la oferta, para que el
  problema se vuelva factible se puede permitir no
  satisfacer parte de la demanda pagando una
  penalidad por unidad de demanda insatisfecha. Se
  agrega un punto de abastecimiento ficticio con
  una capacidad igual a la demanda insatisfecha, y
  una penalidad asociada a cada punto demanda.

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• Problemas de Asignación son problemas
  balanceados de transporte en los cuales todas las
  ofertas y todas las demandas son iguales a 1.
• Problemas de Transbordo son problemas de
  transporte en los que se agregan puntos de
  transbordo. Los puntos de transbordo son puntos
  que pueden tanto recibir mercadería de otros
  puntos como enviar mercadería a otros puntos.

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Programación Entera / Mixta

• Los problemas de programación con enteros se
  formulan de la misma manera que los problemas de
  programación lineal, pero agregando la condición
  de que al menos alguna de las variables de
  decisión debe tomar valores enteros.
• Una variable de decisión binaria sólo puede tomar
  valores 0 o 1. Una variable entera puede tomar
  cualquier valor, en tanto éste sea entero.

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Factores a considerar al incluír variables de
decisión enteras en un problema.

• El procedimiento de resolución es bastante más
  trabajoso que el método Simplex.
• Se pierde la posibilidad de contar con
  información sobre el costo de oportunidad de los
  recursos y el costo de sustitución de las
  actividades.

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Resolución de problemas enteros por el método de
Ramificar y Podar

• En un problema con enteros existe un número
  finito de soluciones posibles (no todas son
  factibles) que pueden representarse mediante un
  diagrama de árbol.
• No hace falta enumerar todas las soluciones
  posibles si se pueden eliminar ramas
  dominadas.
• Una rama puede eliminarse si puede demostrarse
  que no contiene una solución factible que sea
  mejor que una ya obtenida.

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Pasos en el método de Ramificar y Podar

• 1. Comenzar resolver el problema como si fuera
  un problema ordinario de PL (relajación de
  enteros). La solución obtenida se toma como cota
  máxima y base para el procedimiento de búsqueda
  de una solución factible.
• 2. Ramificar a partir de la solución de PL
  designar una variable como entera y seleccionar,
  a partir de los posibles valores enteros que
  pueda tomar, una rama para investigarla.

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Ramificar y Podar (cont.)

• 3. Limitar encontrar un límite para el problema
  definido por la rama seleccionada. El límite está
  dado por el valor de la mejor solución factible
  de enteros encontrada hasta el momento, y domina
  a todos los otros posibles resultados de una
  rama.

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Ramificar y Podar (cont.)

• 4. Comparar comparar la solución obtenida en la
  rama con el límite de referencia vigente.
• Si el valor de la solución es menor que el límite
  vigente, se elimina de consideración toda la
  nueva rama. Se continúa con las ramas que no
  hayan sido evaluadas aún.
• Si el valor de la solución es mejor que el límite
  vigente y si la solución es entera (factible),
  entonces se convierte en el nuevo límite de
  referencia. Se examinan las ramas que aún no se
  han considerado en relación al nuevo límite.
• Si el valor de la solución es mayor que el
  límite vigente, pero la solución no es entera
  (factible) deben explorarse las ramificaciones de
  nivel inferior en la misma rama.

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Ramificar y Podar (cont.)

• 5. Terminar quedarse con la mejor solución
  factible obtenida una vez examinadas todas las
  ramificaciones.

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Problemas con Variables Binarias

• Estibaje son problemas con una sola restricción
  de capacidad.
• Cargo Fijo hay un costo asociado con desarrollar
  una actividad que no depende del nivel de la
  actividad.
• Cobertura cada elemento de un conjunto debe ser
  cubierto por un elemento aceptable de otro
  conjunto. El objetivo del problema es minimizar
  el número de elementos del segundo conjunto
  requerido para cubrir todos los elementos del
  primer conjunto.
• Escala mínima de operación