Maturski rad

1
Matematicko klatno

• Maturski rad
• Nikola filpovic

2
Uvod

• Oscilatorno kretanje
• Matematicko klatno osnovni pojmovi

3
Oscilatorno kretanje

• Jedno od fundamentalnih vrsta kretanja u fizici
• Sila koja deluje na telo proporcionalna je
  otklonu od ravnotežnog položaja (restituciona
  sila)
• Karakteristicna funkcija položaja tela od vremena
  je sinusna funkcija
• U realnosti, uvek postoji gubitak energije koji
  se manifestuje kao prigušenje oscilatornog
  kretanja

4
Matematicko klatno osnovni pojmovi

• Sistem sacinjen od tanke neistegljive niti
  zanemarljive mase, okacene o oslonac, i tela
  zanemarljivih dimenzija okacenog o tu nit
• Oscilovanje pod dejstvom tangencijalne komponente
  težine tela

5
Prosto harmonijsko kretanje

• Analiticko rešenje
• Numericko rešenje (ojlerov i ojler kromerov
  metod)
• Linearno i nelinearno rešenje

6
Analiticko rešenje jednacine kretanja

• Na osnovu II Njutnovog zakona dinamike rotacije
• Aproksimativna jednacina je linearna i važi za
  male uglove

7
Analiticko rešenje jednacine kretanja

• Rešenje diferencijalne jednacine kretanja ima
  oblik
• Pocetni ugao otklona i pocetna faza oscilovanja
  zavise od pocetnih uslova
• Kretanje ne zavisi od mase kuglice, i periodicno
  ce se ponavljati zauvek, jer nema trenja u
  posmatranom modelu

8
Numericko rešenje jednacine kretanja

• Za numericko rešavanje diferencijalnih jednacina
  obicno se koristi Ojler Kromerov metod
• Zavisnost ugla otklona od vremena se lako može
  isprogramirati, pri cemu se dobija odredeni grafik

9
Funkcija ugla otklona od vremena za linearno
matematicko klatno Ojler Kromerov metod

• Ovakvo rešenje dobilo bi se i analitickim
  rešavanjem jednacine kretanja
• Medutim, osnovni cilj uvodenja numerickog metoda
  za rešavanje diferencijalnih jednacina je
  rešavanje nelinearnih jednacina

10
(No Transcript)
11
Numericko rešenje jednacine kretanja

• Ponovo Ojler Kromerov metod, ovoga puta za
  nelinearno klatno
• Nema aproksimacije za male uglove

12
Razlika izmedu rezultata dobijenih za linearno i
nelinearno klatno

• Rešenje nelinearne jednacine kretanja
  (isprekidana linija) ne poklapa se sa linearnim
• Rezultat ovog odudaranja je povecanje perioda
  oscilovanja sa povecanjem ugla otklona od
  ravnotežnog položaja

13
Uporedivanje rešenja

• Linearno

• Nelinearno

14
Grafik zavisnosti perioda oscilovanja klatna od
pocetnog ugla otklona

• Utvrdeno je da se period oscilovanja klatna može
  zapisati u obliku beskonacnog reda
• U slucajevima kada su uglovi manji od 10, izraz
  za period se svodi na

15
Prigušeno oscilovanje

• Analiticko rešenje
• Numericko rešenje (ojler kromerov metod)
• Linearno i nelinearno rešenje

16
Analiticko rešenje jednacine kretanja

• Pojava sile trenja, koju klatno savladava, i na
  taj nacin gubi deo svoje energije (prigušenje)
• Jednacina kretanja je
• Aproksimativna jednacina je

17
Analiticko rešenje jednacine kretanja

• Više razlicitih slucajeva (rešenja), u zavisnosti
  od karakteristika prigušenja
• Karakteristicna jednacina
• Natkriticno rešenje (aperiodicno) sopstvene
  ucestanosti realne i razlicite

18
Analiticko rešenje jednacine kretanja

• Kriticno rešenje (aperiodicno) sopstvene
  ucestanosti realne i jednake
• Podkriticno rešenje (kvaziperiodicno) sopstvene
  ucestanosti su konjugovano-kompleksne
• Periodicno rešenje sopstvene ucestanosti
  imaginarne (prosto harmonijsko oscilovanje)

19
Numericko rešenje (Ojler Kromerov metod)

• Nelinearan sistem

• Linearan sistem

20
Funkcija ugla otklona od vremena za nelinearno
matematicko klatno koje se krece u sredini sa
prigušenjem

• Za q10, sistem je natkriticno prigušen
• Za q5, sistem je blizu kriticnog prigušenja
• Za q1, sistem se krece kvaziperiodicno i rec je
  o podkriticnom rešenju diferencijalne jednacine

21
(No Transcript)
22
Razlika izmedu rezultata dobijenih za linearno i
nelinearno klatno u sredini sa prigušenjem

• Kao i u sredini bez prigušenja, rešenje
  nelinearne jednacine kretanja (isprekidana
  linija) ne poklapa se sa linearnim
• Razlog je isti, promena perioda oscilovanja sa
  promenom ugla otklona

23
Grafik zavisnosti perioda oscilovanja klatna od
pocetnog ugla otklona

• Suštinski, period se menja na isti nacin kao i u
  slucaju kad nema prigušenja

24
Uporedivanje rešenja

• Cinjenica da period klatna nije konstantan u
  zavisnosti od amplitudnog ugla dokazuje
  nepouzdanost aproksimativnog rešenja
• Mogucnosti približnog rešenja jednacine kretanja
  klatna su na neki nacin ogranicene
• Matematicko klatno je u realnosti nelinearan
  sistem, i upravo je ta cinjenica presudna u
  odredivanju njegovog ponašanja

25
Prinudno oscilovanje

• Prinudno oscilovanje kod linearnog klatna
• Prinudno oscilovanje kod nelinearnog klatna

26
Analiticko rešenje jednacine kretanja

• Gubitak energije oscilatora, izazvan oscilovanjem
  u sredini koja prigušuje kretanje, se može
  nadoknaditi primenom spoljašnje sile koja bi
  vršila pozitivan rad na sistemu (prinudna sila)
• Prinudna sila može biti razlicite prirode
  (mehanicka, elektricna, magnetna)
• Jednacina kretanja za linearno klatno

27
Analiticko rešenje jednacine kretanja

• Nakon dovoljno dugo vremena, energija, koju
  prilikom jedne pune oscilacije u sistem ubaci
  prinudna sila, postane jednaka energiji koja se
  izgubi usled prigušenja, te je rešenje jednacine
  kretanja
• Amplituda oscilovanja je data izrazom

28
Funkcija ugla otklona od vremena za linearno
klatno koje se krece u sredini sa prigušenjem i
pod dejstvom prinudne sile

• Prigušeno kretanje se posle odredenog vremena
  stabilizuje prinudnom silom, i kretanje se
  odvija po funkciji koja je analiticko rešenje
  jednacine kretanja
• Ovakav vid kretanja je karakteristican za
  linearno klatno, bez obzira na to kakva je
  amplituda ili frekvencija prinudne sile

29
(No Transcript)
30
Numericko rešenje jednacine kretanja

• Kretanje nelinearnog klatna je i dalje
  periodicno, ali se ne može opisati sinusnom ili
  kosinusnom funkcijom
• Najsloženiji oblik diferencijalne jednacine koji
  opisuje kretanje klatna dat je kao
• Ojler Kromerov metod

31
Numericko rešenje jednacine kretanja
32
Funkcija ugla otklona od vremena za nelinearno
matematicko klatno koje prinudno osciluje

• Za slabe prinudne sile, periodicno kretanje
  klatna ce se zauvek ponavljati
• Pri jacoj prinudnoj sili, kretanje postaje
  haoticno, i predstavljeno je veoma komplikovanom
  funkcijom vremena
• Pri takvim uslovima, jedno ponašanje sistema se
  nikad ne ponavlja, tj. klatno gubi karakteristiku
  da se krece iskljucivo periodicno

33
(No Transcript)
34
Funkcija ugla otklona nelinearnog matematickog
klatna od vremena

• Na grafiku je prikazano jedno isto kretanje, pri
  cijem je modelovanju korišceno resetovanje ugla
  (puna linija), i ono gde to nije slucaj
  (isprekidana linija)

35
Zakljucak

• Razlike izmedu linearnih i nelinearnih sistema
• Osnovni pojmovi u teoriji haosa

36
Linearni i nelinearni sistemi

• Modelovanje kretanja klatna bilo bi prilicno
  neinteresantno kada bi se posmatralo u svom
  najjednostavnijem obliku
• Podela na linearne i nelinearne sisteme
• Razlike
• Period oscilovanja
• Haoticno kretanje pod dejstvom prinudne sile

37
Osnovni pojmovi teorije haosa

• U matematici, teorija haosa opisuje ponašanje
  odredenih dinamickih sistema, tj. onih cije
  stanje sistema evoluira u toku vremena
• Ponašanje haoticnih sistema izgleda slucajno, cak
  i ako su sistemi deterministicki, što znaci da im
  je dinamika potpuno odredena pocetnim uslovima,
  bez slucajnih faktora (deterministicki haos,
  haos)
• Posledica nelinearnosti sistema
• Ponašanje vremena i klime, rast populacije u
  ekologiji, mehanicki i magnetno-mehanicki procesi
  itd.

38

• Hvala na pažnji!!!