Title: Wichtige Transformationen
1Wichtige Transformationen
- Referentin Yvonne Schindler
2Wichtige Transformationen
- FFT Fast Fourier Transformation
- DCT Diskrete Cosinus Transformation
- Wavelets
3Transformationen
- Transformationen sollen gegeben Daten so
- umwandeln, dass
- eine Bearbeitung weniger aufwendig ist,
- eine eindeutige Wiederherstellung durch
Rücktransformation möglich ist
4Transformationen
- Transformation und Rücktransformation sind
- aufwendig
- Aber
- Berechnungen im transformierten Raum
- sind meist wesentlich einfacher
5Transformationsbeispiel
Lösen der Gleichung XY / Z ohne Taschenrechner
X Y / Z Hoher Aufwand Durch
Division Lösung
log(X) log (Y) log (Z) Geringer
Aufwand Durch Subtraktion Lösung
Transformation
Rücktransformation
6Transformation
- Durch Rechnergenauigkeit kommt es aber doch
- schon bei der Transformation zu Datenreduktion.
- Bsp. Die Zahl Pi 3,141595265359...
- wird vom Rechner auch nur gerundet genutzt
7Fouriertransformation
- 1822 Jean-Baptiste-Joseph Fourier
- ,,Die analytische Theorie der Wärme
- Man kann Funktionen durch die Summe
- von Sinus- und Cosinusfunktionen darstellen
81-dim. Fouriertransformation
n Daten
Fouriermatrix
C
R
Normierungsfaktor
9n-te Einheitswurzel
n-te Einheitswurzel
Bsp. x8 hat 8 Lösungen
10Fouriermatrix
- Def.
- Sei n ? N und ?n n-te Einheitswurzel in C. Die
- nxn-Matrix F mit Fk,l ?nkl für alle k, l
- 0, ..., n-1, heißt Fouriermatrix.
111-dim. Fouriertransformation
n Daten
12Inverse Fouriermatrix
- Für eine Rücktransformation braucht man eine
- inverse Fouriermatrix
F ist unitär gt F-1 Ft transponiert konjugiert
für alle k,l 0, ..., n-1
13Beweis für inverse Fouriermatrix 1
kl gt1 k?l gt c(k-l)
14Beweis für inverse Fouriermatrix 2
geometrische Reihe
15Beweis für inverse Fouriermatrix 3
gt Ft F-1
162-dim. Fouriertransformation
Inverse
17Fast Fouriertransformation
Idee Einzelne Berechnungen der
Matrix-Vektor- Multiplikation in bestimmter
Reihenfolge ausführen und schon berechnete
Zwischenwerte benutzen n muss dafür eine
2er-Potenz sein
18Anwendungsbeispiel
Fouriertransformation
Bearbeitung
Inverse Fouriertransformation
19Diskrete Cosinus Transformation
DCT wird bei JPEG und MPEG benutzt Bei JPEG wird
die DCT auf 8864 Pixel angewandt
20DCT - Idee
Gerade Funktion, d.h. f(x) f(-x) Fouriertransfo
rmation anwenden Dabei wird der imaginäre Anteil
0
21DCT Herleitung 1
- Gerade Funktion durch Verdoppelung der Werte
- 2n
- f(-n1), f(-n2), ... f(-1), f(0), f(1), ...
,f(n) - n1
22DCT Herleitung 2
23DCT Herleitung 3
24DCT Herleitung 4
Fertig!!!
25Wavelets
Funktionen können auch durch die Summe
von anderen Funktionen (Basisfunktionen)
dargestellt werden.
Die Transformation geht schrittweise
voran Wavelets werden z.B. bei JPEG2000
benutzt und beim FBI um Fingerabdrücke zu
speichern
26Basisfunktion
Als Basisfunktion kann jede orthogonale Funktion
genommen werden, für die gilt
Daher auch die Bezeichnung Wavelet engl. Wave
Welle
27Haar-Wavelet
28Weitere Wavelet - Beispiele
Daubechies 6
Daubechies 8
29Grundprinzip
- Berechnung des Mittelwertes und der Differenz
- Tiefpass und Hochpassanteile werden gespeichert.
- Der Tiefpassanteil wird weiter analysiert. -
durch immer kleiner werdender Hochpassanteile und
- einen einzigen Tiefpassanteil gekennzeichnet
30Beispiel
- 13 13 5 5 9 13 17 21
- 13 5 11 19 0 0 -2 -2
- 9 15 4 -4 0 0 -2 -2
- 12 -3 4 -4 0 0 -2 -2
31Grundprinzip Grafik 1
32Grundprinzip Grafik 2
33Vergleich DCT - Wavelet Original
34Vergleich Kompression 125
35Vergleich Kompression 150
36Quellen weiterführende Literatur
- E-Kreide-Vorlesungen - FFT, DCT, Wavelets
- Internet Studien- und Diplomarbeiten
- Elbert Oran Brigham (1995) Schnelle Fourier
Transformation - Josef Hoffmann (1991) Bildkompression mit DCT und
anderen Transformationen - Daubechies I. (1992) Ten Lectures on Wavelets