Course Outline

1
3. Peubah2 Acak (Random Variables)
Mis (?, F, P) adalah model peluang suatu
percobaan. Peubah acak X adalah sebuah fungsi
Di sini, ? adalah lambang himpunan
semua bilangan real yg seringkali dinyatakan
sebagai garis bilangan (Lihat Fig. 3.1). Jika B ?
?, fungsi P F ? 0,1 menghitung peluang unsur2
lapangan, yaitu peluang himpunan2 B yg memuat
titik2 Perhatikan himp Dlm
ilustrasi B x ?? x1 ? x ? x2
2
Agar peluang B bisa didefiisikan,
harus menjadi anggota lap F, sehingga A adalah
sebuah kejadian yg nilai peluangnya sudah
terdefinisi lebih dahulu. Dalam hal ini, peluang
B didefinisikan berdasarkan peluang A
X?1(B) Sayangnya, tidak selalu mrpk
unsur dari F, shg muncul masalah. Konsep peubah
acak memastikan bahwa fungsi balikan (invers) X?1
selalu menghasilkan kejadian2 yang peluangnya
bisa dihitung. Peubah Acak Fungsi X O?? yg
memetakan semua hasil2 eksperiment (unsur2
kejadian elementer) ? ke dalam ? disebut peubah
acak jhj untuk setiap a ? ?, himpunan ? ?
O X(?) ? a (di dalam buku2 teks lebih sering
ditulis X ? a atau (X ? a)) adalah sebuah
kejadian (artinya ?F).
(3-1)
3
Dengan kata lain, X adalah peubah acak jika untuk
setiap selang B (??, a atau untuk setiap
himpunan yang ditu-runkan dari selang-selang
semacam (lewat operasi gabung-an, irisan atau
komplemen), himpunan X?1(B) ?F. Koleksi semua
subhimpunan B ? ? - disebut lapangan Borel - adl
lap-? terkecil yg memuat semua selang berbentuk
(??, a, untuk sembarang a ??. Jadi apabila X
adalah peubah acak, maka untuk setiap bilangan
real a adalah sebuah kejadian. Bgm dengan
himpunan2 X a, a ?X ? b, dsb, apakah mereka
juga termasuk kejadian ? Dg asumsi b gt a, karena
dan adl kejadian2,

maka
dan
a lt X ? b merupakan suatu kejadian.

(3-2)
4
Jadi untuk setiap n,
adl suatu kejadian. Sbg akibatnya (dan sbg akibat
aksioma peluang ke-iv)
juga mrpk kejadian yang
semuanya bisa dikenai fungsi peluang. Jadi nilai
peluang kejadian dlm
peubah acak X selalu tergantung pada nilai x.
Nyatakan dimana subindeks X dalam (3-4)
menyatakan peubah acak sesungguhnya. FX disebut
Fungsi Distribusi Kumulatif (FDK) dari peubah
acak X.
(3-3)
(3-4)
PILLAI
5
Fungsi Distribusi Kumulatif Setiap FDK FX (di
sini selanjutnya ditulis F, tanpa X) adalah
fungsi tak pernah turun (nondecreasing), kontinu
kanan dan memenuhi Dengan kata lain, jika F
adl FDK dari X, maka (i) (ii) jika
maka dan (iii) untuk setiap a ? ?,
Harus dibuktikan bahwa
di (3-4) memenuhi semua sifat2 (3-6).
Sesungguhnya, untuk setiap peubah acak X,
(3-5)
(3-6)
6
(3-7)
(i) dan (ii) Jika maka
Sbg akibatnya,
Karena
berakibat maka
Ini membuktikan bahwa FDK adalah tak negatif
dan juga monoton tak turun. (iii) Misalkan
dan
perhatikan kejadian Karena
(3-8)
(3-9)
(3-10)
(3-11)
7
maka dengan menggunakan sifat2 kejadian ME,
diperoleh Tetapi
sehingga Jadi Tetapi
adl limit kanan untuk a, jadi Dg kata lain, FX
adalah kontinu kanan. Ini adl justikfikasi
terakhir pemenuhan syarat FX sebagai FDK.
(3-12)
(3-13)
(3-14)
8
Sifat2 Tambahan sebuah FDK (iv) Jika ? a??, FX(a)
0, maka FX(x) 0, ?x ? a. sebab FX(a)
PX(?) ? a 0 berakibat X(?) ? a adl
kejadian berpeluang nol padahal jika x ? a
maka X(?) ? a ? X(?) ? a sehingga (dari
ekspresi (3.6)) 0 ? PX(?) ? a
? PX(?) ? a 0. (v) karena
adl dua kejadian
ME. (vi) sebab kejadian
dan saling ME,
gabungannya sama dengan
(3-15)
(3-16)
(3-17)
9
(vii) Misalkan dan
Dari (3-17), Ini adalah
pernyataan Menurut (3-14), FX(a) (limit dari FX
(x) ketika x ? a dari kanan) selalu ada dan sama
dengan FX(a). Sebaliknya nilai limit kiri FX(a?)
tidak harus sama dg FX(a). Jadi FX tidak harus
kontinu kiri. Pada titik2 tak kontinu dari FX,
kedua limit kiri dan kanan berbeda sehingga dari
(3-20) berlaku
(3-18)
(3-19)
(3-20)
(3-21)
10
Jadi jenis diskontinu di titik x a dari FX
hanyalah jenis loncatan (sebesar FX(a) ? FX(a?))
yg terjadi pada titik2 di mana (3-21) berlaku.
Titik-titik ini membentuk barisan titik-titik
diskontinu a1, a2, a3, yg banyaknya paling
banyak terhitung (countable), mungkin berhingga.
Contoh 3.1 X dirumuskan dengan X(?) c,
?? ? ?. Tentukan
FX ! Solusi Untuk x ? c, X(?) lt x ? shg
FX(x) 0, jika x ?
c. Untuk x gt c, X(?) lt x ? shg FX(x) 1,
jika x gt c (Fig.3.2) Contoh
3.2 Mis ? H, T adl ruang kejadian dalam
percobaan lempar koin dan Y adalah p.a. dengan
Y(T) 0 dan Y(H) 1. Tentukan FY !
11
Solusi Utk y lt 0, Y(?) lt y ? shg FY (y) 0,
jika y lt 0. Utk 0 ? y lt 1, Y(?) lt y T shg
FY(y) P(T) 1 ? p, jika 0 ? y lt 1. Utk y ? 1,
Y(?) lt y H, T ? shg FY(y) P(H) 1,
jika y ? 1. X disebut p.a. jenis kontinyu jika
FDK-nya adalah fungsi kontinyu. Dalam hal ini
berlaku ?a ? ?, FX(a?) FX(a) shg dari (3-21)
disimpulkan P(X a) 0. Jika FX konstan,
kecuali pada sebanyak hingga titik2 lon-catan,
yaitu diskontinyu se-potong2, berjenis tangga
(step-type), maka X disebut p.a. jenis diskrit.
Jika x ai, i 1, 2, 3, adl salah satu titik
diskontinyu FX, maka dari (3-21)
pi P(X ai) FX(a) ? FX(a?) gt 0.
(3-22)
12

• Dari Fig.3.2, di titik diskontinyu x c berlaku
• P(X c) FX(c) ? FX(c?)
  1
• sedangkan dari Fig.3.3, di titik diskontinyu y
  0 berlaku
• P(Y 0) FY(0) ? FY(0?) q ? 0 q.
• Contoh 3.3 Sebuah koin ideal dilemparkan dua
  kali dan Z menyatakan banyaknya head yang muncul.
  Tentukan FZ ! Solusi
  Jelas ? HH, HT, TH, TT shg menurut premis
  dalam soal di atas, p.a. Z ? ? ? didef sbb
  (Fig.3.4)
• Z(HH) 2 ? ?, Z(HT) Z(TH) 1 ? ?, Z(TT) 0 ?
  ?.
• z lt 0, Z(?) lt z ?
  ? FZ(z) 0,
• 0 ? z lt 1, Z(?) lt z TT ?
  FZ(z) ¼,
• 1 ? z lt 2, Z(?) lt z TT, HT, TH ? FZ(z)
  ¾,
• 2 ? z, Z(?) lt z TT, HT, TH, HH ?
• 
  ? FZ(z) 1.

13
Dari Fig.3.4, P(Z 1) FZ(1) ? FZ(1?) ¾ ? ¼
½. Fungsi Peluang Massa (FPM) Turunan fungsi
distribusi FX disebut Fungsi Peluang Massa
(probability density/mass function) fX dari X.
Jadi Karena (ketaksamaan ? 0 adl akibat sifat
monoton naik FDK FX ).
(3-23)
(3-24)
14
Jadi untuk setiap x ? ?, berlaku f(x) ? 0. fX
kontinyu jika X adl p.a. jenis kontinyu. Tetapi
dalam kasus X adl p.a. jenis diskrit, spt pada
(3-22), FPM-nya memiliki bentuk umum semacam
(Fig. 3.5) di mana xi menyajikan titik2
diskontinyu-lompat FX. Dari Fig. 3.5, fX(x)
menyatakan kumpulan massa diskrit, sesuai dengan
namanya FPM. Dalam kasus kontinyu, definisi
(3-23) memungkinkan penggunaan integral tak
tentu, tetapi tak sejati (improper) Dg (3-26)
sifat pertama FX di ekspresi (3.7) FX(?)
1, bisa ditulis sbg
(3-25)
(3-26)
(3-27)
15
Nama density function (bukan mass function)
diilhami oleh ekspresi (3.27). Lebih jauh, dari
(3-26) diperoleh (Fig. 3.6b) Pada Fig 3.6, luas
daerah fX(x) di dalam selang buka (x1, x2) adalah
visualisasi nilai peluang (3-28). Karena
suatu peubah acak sering hanya dinyatakan oleh
FPMnya (diskrit atau kontinyu), berikut diberikan
beberapa FPM untuk masing-masing kategori
(diskrit dan kontinyu).
(3-28)
PILLAI
16
Peubah Acak Jenis Kontinyu 1. Distribusi Normal
(Gauss) X dikatakan berdistribusi normal atau
Gauss, jhj Grafik fungsi ini berbentuk bel yang
simetri terhada garis tegak x ? (lengkapnya ?X,
mean dari X). FPM-nya adl Daftar nilai
banyak tersedia
dan FX tergantung pada parameter ? dan ? 2
(variance dari X). P.a. X yang disajikan melalui
(3-29) biasa ditulis dg lambang X ? N(?, ? 2) .
(3-29)
(3-30)
17
2. Dist. seragam (uniform) pada a, b, X ? U(a,
b) (Fig. 3.8)
(3.31)
3. Eksponensial X ? ?(?) (Fig. 3.9)
(3-32)
PILLAI
18
4. Dist. Gamma X ? G(a, ß), a gt 0, ß gt 0, jika
(Fig. 3.10) Hanya utk a n bulat, 5.
Dist. Beta X ? ß(a, b), dg a gt 0, b gt 0, jika
(Fig. 3.11) dimana fungsi Beta ß(a, b)
didefinisikan sbb
(3-33)
(3-34)
(3-35)
19
6. Distr. Chi-Square X ? ? 2 (n) jika (Fig.
3.12) Perhatikan bahwa ? 2(n) 7. Distr.
Rayleigh, X ? R(?2) jika (Fig. 3.13) 8.
Distribusi Nakagami-m dinyatakan oleh FPM-nya
(3-36)
(3-37)
(3-38)
20
9. Distr. Cauchy X ? C(a, ?) apabila (Fig. 3.14)
10. Distribusi Laplace (Fig. 3.15) 11.
Distribusi-t Student dg n derajat kebebasan
(Fig 3.16)
(3-39)
(3-40)
(3-41)
21
PILLAI
22

• Peubah Acak Jenis Diskrit
• Distr. Bernoulli daerah hasil X adl 0, 1
  dengan
• P(X 0) q dan P(X 1)
  p.
• 2. Binomial X ? B(n, p) jika (Fig. 3.17)
• 3. Poisson X ? P(?) jika (Fig. 3.18)

(3-43)
(3-44)
(3-45)
PILLAI
23
4. Distr. Hipergeometrik 5. Geometrik X ?
g(p) jika 6. Negative Binomial
if 7. Dist. Seragam-Diskrit Kita
simpulkan dengan distribusi umum yang diberikan
oleh
(3-46)
(3-47)
(3-48)
(3-49)
PILLAI
24
Polya. Distribusi ini menjadikan distribusi
Binomial dan Hipergeometrik sebagai kasus-kasus
khusus. Distribusi Polya Sebuah kotak berisi a
bola putih dan b bola hitam. Sebuah bola diambil
secara acak, dikembalikan bersama-sama dg
penambahan c buah bola yang berwarna sama. Jika
X menyatakan banyak bola putih yang terambil, X
0, 1, 2, , n, cari FPM dari X ! Solusi
Renungkan satu kejadian ketika k bola putih
terambil secara berurutan, disusul oleh n k
bola hitam. Peluang k bola putih terambil secara
berurutan adalah Jadi peluang k bola putih
terambil secara berurutan, diikuti
(3-50)
25
oleh n k bola hitam, adalah Sangat menarik
bahwa pk di (3-51) juga menyatakan peluang k bola
putih dan (n k) bola hitam terambil tanpa
mengikuti urutan pengambilan tertentu (yaitu,
pembilang dan penyebut dalam (3-51) memberi
kontribusi sama pada urutan apa pun. Jadi (3.51)
berlaku untuk semua urutan hasil
pengambilan yang berbeda. Dengan menjumlah
semuanya, distribusi Polya diperoleh, yaitu
(3-51)
(3-52)
26
Telah disinggung bahwa distribusi Binomial dan
Hipergeo- metrik adalah kasus khusus dari (3-52).
Sesungguhnya jika c 0, maka (3-52) adalah
distribusi binomial dengan Demikian pula,
apabila pengambilan dilakukan tanpa
pengembalian, maka dalam (3-52) berlaku c 1
sehingga P(X k)
(3-53)
27
yang membuktikan bahwa X berdistribusi
hipergeometri. Nilai c 1 menghasilkan
(penggantian dua kali lipat bola yang sama dengan
bola yang terambil) FPM yang disebut
distribution 1 Polya. Bentuk umum
distribusi Polya dalam (3-52) pernah digunakan
dalam study penyebar- an penyakit menular
(epidemic modeling).
(3-54)
(3-55)