ALGEBRA DE BOOLE

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ALGEBRA DE BOOLE
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Introducción

• El álgebra booleana define constantes y funciones
  para describir sistemas binarios. Luego describe
  cierto número de teoremas que se pueden usar para
  manipular expresiones lógicas.
• CONSTANTES BOOLEANAS consisten en "0" y "1". El
  primero representa el estado falso y el segundo
  el estado verdadero.

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• VARIABLES BOOLEANAS Son magnitudes que pueden
  tomar diferentes valores en diferentes momentos.
  Pueden representar señales de entrada, de salida
  o intermedias y reciben nombres que de ordinario
  consisten en caracteres alfabéticos como "A",
  "B", "X" o "Y". Las variables sólo pueden tomar
  los valores "0" ó "1".

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• FUNCIONES BOOLEANAS Cada una de las funciones
  lógicas elementales está representada dentro del
  álgebra booleana mediante un símbolo único, como
  se muestra en la siguiente tabla

Función Símbolo Ejemplo
AND Punto
OR Más ()
NOT Barra
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Postulados Básicos
Los postulados básicos utilizados en el álgebra
booleana son los siguientes
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(No Transcript)
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A B
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
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Teoremas Booleanos

• El álgebra booleana define varios teoremas que
  se pueden usar para cambiar la forma de una
  expresión.
• Estos teoremas son los siguientes

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(No Transcript)
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Teorema 4
Dual
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(No Transcript)
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Teoremas Simplificatorios
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Teorema 13
Dual
Ejemplo Simplificar la siguiente expresión
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Desarrollo
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Formas Especiales de Expresiones Booleanas
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Formas Canónicas

• SUMA EXPANDIDA DE PRODUCTOS En este caso para
  aplicar la expansión se aplica el teorema 10

Cada uno de los términos en forma canónica
expresado en suma (OR de AND) se llama Mintérmino
y se puede expresar en forma simplificada. Si en
este caso a la variable natural se le asigna el
valor lógico uno y la variable complementada el
valor lógico cero.
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Ejemplo
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Formas Canónicas

• PRODUCTO EXPANDIDO DE SUMAS Esta forma de
  expresar una función booleana se basa en el dual
  del teorema 10

Cada uno de los términos en forma canónica
expresado en producto (AND de OR) se llama
Máxtermino y se puede expresar en forma
simplificada. Si en este caso a la variable
natural se le asigna el valor lógico cero y la
variable complementada el valor lógico uno.
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Ejemplo
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Formas Mínimas

• Mínima Suma Productos
• Mínima Productos de Sumas
• En este caso interesa que la función booleana sea
  lo más pequeña posible, es decir que si está
  expresada en la forma OR de AND el número de
  sumandos y el tamaño de cada sumando debe ser
  mínimo.
• Si la función está expresada en la forma AND de
  OR entonces el tamaño y el número de factores
  debe ser mínimo.

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Métodos de Simplificación de Expresiones
Booleanas
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Formas Canónicas

• MÉTODO ALGEBRAICOCorresponde a los casos
  analizados anteriormente.
• MAPAS DE KARNAUGH Los mapas o diagramas de
  Karnaugh representan una técnica gráfica para
  simplificar las ecuaciones de Boole. Es uno de
  los métodos más usuales para ecuaciones de hasta
  4 ó 5 variables y se basa en el teorema 10

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Introducción Mapa de Karnaugh

• Los Mapas de Karnaugh, como se dijo
  anteriormente, se utilizan para simplificar
  funciones booleanas. El número de casilleros que
  tendrá el mapa dependerá de la cantidad de
  variables que tenga la función.

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• Ejemplo

Nº de variables 2 Nº Casilleros 2n224
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• Dentro de cada casillero del mapa se debe poner
  un uno (1) o un cero(0) lógico dependiendo si la
  función está expresada como OR de AND o AND de
  OR.
• Para el caso de los mintérminos corresponde un
  1 en el casillero, por el contrario, para cada
  maxtérmino corresponde un 0 al casillero

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Mapa para 3 Variables
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Mapa para 4 Variables
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Representación de Variables en Mapa de Karnaugh
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• Hay que hacer notar que antes de realizar la
  representación de las variables de una función en
  el Mapa de Karnaugh se debe definir las variables
  más significativas (MSB) y la menos significativa
  (LSB)

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Ejemplo Representar en mapa de Karnaugh
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• Existen algunos casos en que el valor lógico que
  se debe asignar a los casilleros del mapa no está
  definido y nosotros podemos asignar el valor
  lógico 1 ó 0 según la conveniencia para la
  simplificación. Estás condiciones reciben el
  nombre de Superfluas o No Importa y se
  designan con los simbolos f o x

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Ejemplo Representar en Mapa la siguiente función
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Definición e Interpretación Mapas de Karnaugh
A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0

• Un diagrama de Karnaugh representa una ecuación
  de Boole de una forma bastante similar a una
  tabla de verdad.
• Ejemplo 1

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(No Transcript)
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• Del ejemplo anterior se deduce que para una
  función booleana de 3 variables se necesita un
  mapa de 8 casilleros. En cada casillero se
  representa un "1" lógico para cada mintérmino y
  un "0" lógico para cada máxtermino.
• Debe notarse que la asignación de las variables
  en los casilleros tanto en el sentido vertical
  como horizontal corresponden al código Gray.

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Método de Simplificación

• Para simplificar una expresión booleana mediante
  el Mapa de Karnaugh se deben agrupar los
  casilleros que contienen 1 adyacente y en un
  número tal que sea potencia de 2 como agrupación
  de mintérminos, de lo que resulta un factor
  simplificado.
• Es posible representar esquemáticamente la
  cantidad de variables eliminadas producto de la
  agrupación

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• 20 variables eliminadas 0
• 21 variables eliminadas 1
• 22 variables eliminadas 2
• 23 variables eliminadas 3
• 24 variables eliminadas 4
• 25 variables eliminadas 5

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• Criterios de Agrupación
• La agrupación debe ser lo más grande posible
• Se debe tener el mínimo de agrupaciones
• Se agrupan los adyacentes en un número que sea
  potencia de 2

• Criterios de Adyacencia
• Casilleros con un lado común
• Reflexión de acuerdo al Código Gray

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Simplificar el mapa
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Solución 1
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Solución 2
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• El ejemplo anterior demuestra que al no hacer
  agrupaciones lo más grande posible se obtiene una
  función correcta pero que no es la forma mínima