Diapositiva 1

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Propiedades de los Triángulos

y los Cuadriláteros
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Superficie

• Es la mitad del área de un rectángulo de la misma
  base y de la misma altura
• ½ (base x altura)
• H a sen?
• CD a cos ? DAc cosa
• CD DA b a cos ? c cos a
•  
• A? (a cos ? c cos a ) a sen ?/2
• A1/2absen?---gt1/2 bc sena
• A 1/2absenß
• Aab/2

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Formula de Herón

• Si conocemos las longitudes de los lados del
  triángulo (a, b, c) es posible calcular la
  superficie empleando la fórmula de herón
• viene dada por
• Donde p es el semiperimetro

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Demostración
Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos
ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A,
B, C. Entonces tenemos que Por el teorema del
coseno
La altura de un triángulo de base a tiene una
longitud bsen( C), por lo tanto
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Propiedades del triángulo

• La suma de las longitudes de dos de sus lados es
  siempre mayor que la longitud del tercer lado.
• La suma de todos los ángulos de sus vértices, en
  un plano, es igual a 180.

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Teorema del Seno

• Para cualquier triangulo se verifica el Teorema
  del Seno que demuestra que Los lados de un
  triángulo son proporcionales a los senos de los
  ángulos opuestos

Sen a CD/b CD b sen a Sen ß CD/a CD
a Sen ß Sen ß AE/c AE c Sen ß Sen ?
AE/b AE b Sen ?
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Teorema del coseno

• Relaciona el tercer lado de un triángulo con los
  dos primeros y con el coseno del ángulo formado
  por estos dos lados.

a² CD² DB²CD² b²- AD² a² b² - AD² DB² a²
b² - AD²C² - 2DC AD² a² b² c²-2cAD
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Teorema de Pitágoras

• El Teorema de Pitágoras establece que en un
  triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de
  los catetos es igual al cuadrado de la
  hipotenusa

c² a² b² - 2ab cos90º
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Teorema del cateto o de Euclides

• El teorema del cateto establece que en un
  triángulo rectángulo cada uno de los catetos es
  media proporcional entre la hipotenusa y su
  proyección sobre ella. Por lo tanto

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Triángulos semejantes

• Se puede simplificar así la definición dos
  triángulos son semejantes si sus ángulos son
  iguales

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Teorema de Thales
Primer teorema (caso particular de triángulos
semejantes) Sean dos rectas (d) y (d') orientadas
y concurrentes en un punto O. Sean A y A' dos
puntos de (d), y B y B' dos puntos de (d').
Entonces
La igualdad de los cocientes equivale al
paralelismo
1 fig. tiene medidas algebraicas positivas - los
vectores OA, OA', OB y OB' tienen la misma
orientación que la rectas (d) y (d'), 2fig posee
cocientes negativos. si se aplica teorema A'B'
/ AB es igual a los dos anteriores.
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2 teorema
Sea C un punto de la circunferencia de diámetro
AB, distinto de A y de B. Entonces el ángulo
ACB es recto.
Prueba OA OB OC r, radio del círculo. Por
lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los
ángulos del triángulo ABC vale 2a 2ß p
(radianes). Dividiendo por dos, se obtiene
Además dice que la bisectriz de un triángulo
corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz
en dos segmentos proporcionales Hipotenusa (al
cuadrado) C(Al cuadrado) C(Al cuadrado) En
conclusión se forma un triangulo rectangulo
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Teorema de la bisectriz
En un triangulo, la razón entre dos lados es
igual a la razón de las partes en las que queda
dividido el tercer lado por la bisectriz de
ángulo interno opuesto.
Demostración Si se dibuja desde C una // a AL
hasta encontrar la prolongación de lado BA a
partir del lado A hasta pto D El triangulo ACD es
isósceles (ángulos C y D son congruentes Porque
los dos angulos son alternos internos respecto a
las rectas paralelas AL y DC cortadas por la
recta transversal AC
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porque son correspondientes a las rectas
paralelas AL y DC a las cuales corta la recta
BD, Además porque los ángulos
creados por la bisectriz son iguales. Por la
propiedad transitiva de la igualdad tenemos que
Por tanto los segmentos AC y AD son congruentes.
Por el Teorema de Tales se mantiene la
proporción y ya que AC y AD son congruentes,
también se cumple que
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Ortocentro

• Se denomina ortocentro al punto donde se cortan
  las tres alturas de un triángulo.
• El término deriva de orto, recto, en referencia
  al ángulo formado entre las bases y las alturas.

• El ortocentro se encuentra dentro del triángulo
  si éste es acutángulo, coincide con el vértice
  del ángulo recto si es rectángulo, y se halla
  fuera del triángulo si es obtusángulo

• El único caso en que los centros coinciden en un
  único punto es en un triángulo equilátero.

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Baricentro

Es el punto que se encuentra en la intersección
de las medianas, y equivale al centro de gravedad
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Incentro

Es el centro de la circunferencia inscrita,
aquella que es tangente a los lados del
triángulo. Se encuentra en la intersección de las
bisectrices de los ángulos.
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Radio del círculo inscrito en triángulo cualquiera

• En función de un lado y de las razones
• Trigonométricas de la mitad de los ángulos

lt OBD B/2, lt OCDC/2 BD r ctg B/2, CDr ctg
c/2 r(ctg B/2 ctg C/2)a r sen B/2C/2 a sen
B/2 sen C/2 r a sen B/2 sen C/2 / cos A/2
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Circuncentro
Circuncentro es el punto en que se cortan las
tres mediatrices de los lados de un triángulo y
centro de la circunferencia circunscrita. Dicho
punto se suele expresar con la letra (O).Todos
los vértices del triángulo se encuentran a la
misma distancia del circuncentro.
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Radio de la circunferencia circunscrita
Scentro de circunf..circunscrita al ? ABC y
Rradio Se traza la bisectriz SD del lt BSC que
bisecará a BC y será perpendicular a él lt BSC en
el centro doble del lt BAC 2A a/2 BDBSsen
BSDRsen A R a / 2 sen A En consecuencia a/sen
A b/senB c/sen C 2R ó de manera que no
intervengan ángulos R a/2senAabc/2bcsenAabc/4?
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Círculo exinscritoEl círculo de una
circunferencia tangente a un lado de un triángulo
y a las prolongaciones de los otros dos se llaman
un círculo exinscrito del triángulo
A area ? ABC A área ABIC área BIC Área BIA
área CIA área BIC A ½ c Ra ½bRA -
½ Ra ½Ra (c b-a) como P a b c
P-2 a bc-a
½Ra(P-2 a) ½ Ra (2p-2 a) pP/2
psemiperímetro ½Ra2(p-a) Ra (p-a) Ra
A / p-a Radio del círculo exinscrito
tangente exteriormente al lado
a  Análogamente Rb A / p-b Rc A/p-c

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Triángulo pedal
G, H y K son los pies de las alturas trazadas de
los vértices a sus lados opuestos en triángulo
ABC, entonces, GHK se llama triángulo pedal  Las
alturas se encuentran en el ortocentro de ABC   lt
OGKltOBK 90 - A lt OGH lt OCH 90 -A lt KGH
180-2A por lo tanto los ángulos del triángulo
pedal son 180-2ª, 180-2B, 180-2C por otro lado
los triángulos AKH, ABC son semejantes HK/BC
AK/AC cos A HK a cos A Los lados del triángulo
pedal son a cos A, b cos B, c cos C  
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Area y circunradio de triángulo pedal
  Area ½ (producto lados) por (seno del ángulo
comprendido) 1/2 R sen 2B Rsen 2C
sen(180-2A) 1/2 R² sen 2A sen 2B sen
2C   circunradio HK/ 2 sen HGK Rsen 2A/2
sen (180-2A) R/2  
24
(No Transcript)
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Cuadriláteros
Area de un cuadrilátero es igual a ½ del producto
de las diagonales por el seno del ángulo que
comprenden   AC y BD diagonales, se cortan en
P ltDPA a ? DAC ? APD ? CPD ½
DP AP sena ½ DP PC sen (p-a) ½
DP (AP PC)sen a 1/2 DP Acsena de
modo semejante ?ABC1/2 BPAC sen a   Area ½
(DPBP) AC sen a ½ DB AC sen a
26
Muchas gracias.

• Cecilia Herrera.-