Wyklad 25

1
Wyklad 25
11.5.1 Fale plaskie c.d.
11.5.2 Trójwymiarowe równanie rózniczkowe fali
11.5.3 Fale kuliste
11.6 Energia fali
11.7 Interferencja fal
11.7.1 Fala stojaca
2
11.5.1 Fale plaskie c.d.
Mozemy teraz skonstruowac szereg plaszczyzn, dla
których wartosc ?(r) w przestrzeni zmienia sie
periodycznie. Mianowicie
lub bardziej ogólnie
.
Dla powyzszych równan, dla kazdej plaszczyzny
ustalonej przez warunek
3

• ?(r) przyjmuje wartosc stala. Dla fal
  harmonicznych wartosci
• ? powinny powtórzyc sie w przestrzeni po
  przesunieciu o
• ? w kierunku k. Przedstawia to ostatni rysunek.

Rysunek ten przedstawia tylko niektóre z
nieskonczonej liczby plaszczyzn. Przestrzenna
powtarzalnosc harmonicznego zaburzenia, mozemy
przedstawic nastepujaco
,

Gdzie k jest wektorem jednostkowym w kierunku
wektora falowego.
W ukladzie kartezjanskim plaska fala harmoniczna
ma nastepujaca postac
.
4
lub
(11.4)
.
Wartosc wektora falowego jest dana przez
.
Zachodzi równiez warunek
.
W tym rozdziale rozwazalismy fale plaskie
zmieniajace wychylenie w sposób sinusoidalny.
Nalezy pamietac, ze fale harmoniczne moga w
prosty sposób zostac wywolane przez drgania
oscylatora harmonicznego. Równiez kazda fala
przestrzenna moze zostac przedstawiona jako
kombinacja fal plaskich, z których kazda posiada
wlasna amplitude i kierunek rozchodzenia sie.
5
11.5.2 Trójwymiarowe równanie rózniczkowe fali
W poprzednim podrozdziale omawialismy fale
plaska, która jako jedyna z posród wszystkich fal
trójwymiarowych rozprzestrzenia sie nie
zmieniajac ksztaltu jak dlugo tylko osrodek nie
ma dyspersji (predkosc fali zalezy od czestosci
fali). Pokazemy, ze fala taka jest jednym z
rozwiazan trójwymiarowego równania rózniczkowego
fali. Azeby takie równanie napisac, wystarczy
uogólnic równanie (11.3). Równanie takie we
wspólrzednych kartezjanskich powinno byc
symetryczne ze wzgledu na wspólrzedne x, y i z.
Równanie (11.4) jest jednym z rozwiazan szukanego
równania rózniczkowego fali. Obliczmy dla
wszystkich wspólrzednych pochodne czastkowe
zaburzenia ? analogicznie do równania (11.3).

Otrzymujemy wtedy
6
,
(11.5)
oraz
.
(11.6)
Spelniony jest tu równiez warunek
. Pamietajac, ze v?/k otrzymujemy
po wysumowaniu
.
(11.7)
7
Równanie (11.7) przedstawia trójwymiarowe
rózniczkowe równanie fali.
Pamietajac definicje operatora Laplacea mozemy
napisac
.
(11.8)
Równanie (11.8) posiada rozwiazania w postaci
równania (11.4). Mozna pokazac, ze równiez
nastepujace równania
,
przedstawiajace fale plaskie sa rozwiazaniami
równania (11.8). Rozwiazaniem bedzie równiez
liniowa kombinacja tych dwóch fal plaskich.
8
11.5.3 Fale kuliste
Bez przeszkód potrafimy wyobrazic sobie fale
rozchodzaca sie po powierzchni wody po wrzuceniu
do niej kamienia. Wokól punktu trafienia
kamienia w wode rozchodza sie dwuwymiarowe fale
kuliste. Trójwymiarowa fale mozemy sobie
wyobrazic wtedy gdy umiescimy wewnatrz objetosci
cieczy pulsujaca radialnie kuleczke od której
rozchodzic beda sie fale sferyczne. Identycznie
bedzie w przypadku pulsujacego punktowego zródla
swiatla. Czola fal tworza w tym przypadku
koncentryczne czasze kuliste o rosnacej srednicy
w miare rozprzestrzeniania sie w przestrzeni.
Fale takie najlepiej jest opisac w ukladzie
sferycznym. Rozchodzace sie zaburzenie jest
izotropowe i zalezy tylko od odleglosci od
zródla. Funkcja okreslajaca zaburzenie jest wiec
zalezna tylko od odleglosci od zródla fali
.
9
Wynik dzialania operatora Laplacea na te funkcje
jest nastepujacy( Patrz dodatek na koncu wykladu)
.
(11.9)
Równanie falowe analogiczne do równania (11.3)
otrzymujemy jako wyrazenie
.
(11.10)
Równanie (11.10) jest rózniczkowym równaniem
falowym jednowymiarowej fali, gdzie r jest
wspólrzedna polozenia, a iloczyn (r?)
przedstawia funkcje falowa. Rozwiazaniem
równania (11.10) jest
10
.
(11.11)
Ogólne rozwiazanie rózniczkowego równania fali
kulistej dane jest przez wyrazenie
.
(11.12)
Szczególnym rozwiazaniem tego równania jest
harmoniczna fala kulista,
.
(11.13)
Stala A oznacza natezenie zródla. Równanie to
przedstawia dla kazdego czasu zbiór
koncentrycznych kul wypelniajacych cala
przestrzen. Kazda powierzchnia o stalej fazie
jest dana przez
11
Amplituda fali kulistej jest zalezna od r, przy
czym czynnik 1/r mozna uwazac za czynnik
tlumiacy. Ksztalt fali zmienia sie wiec wraz ze
wzrostem odleglosci od zródla.
Widzimy, ze amplituda fali kulistej zmniejsza sie
wraz odlegloscia. Wrócimy jeszcze do tego
problemu.
12
11.6 Energia fali
Energia osrodka w którym rozchodzi sie fala
sprezysta (podluzna) sklada sie z energii
kinetycznej i potencjalnej.
gdzie
.
Mamy,
Jezeli mamy np. fale
,
to znajdziemy, ze predkosc v jest równa
.
Energia kinetyczna jest wiec równa
13
.
(11.14)
Jesli policzymy energie potencjalna zwiazana z
odksztalceniem, to otrzymamy
.
Wprowadzajac do ostatniego wzoru wspólczynnik
sprezystosci równy odwrotnosci modulu Younga
?1/E, mamy
.
Wielkosc ?l/l mozemy przedstawic jako d?/dx,
gdzie d? jest to róznica wychylen czastek
odleglych o dx.
14
,
wtedy
.
(11.15)
Widzimy, ze energia kinetyczna i potencjalna
znajduja sie w tej samej fazie, tzn. , ze
osiagaja w tym samym czasie minimum jak i
maksimum.
.
Wiemy, ze predkosc fali w osrodku sprezystym jest
równa
,
15
Mozemy wiec wyrazenie na energie przenoszona
przez fale sprezysta napisac jako
.
(11.16)
Wprowadzmy do naszych rozwazan gestosc energii ?,
czyli energie przypadajaca na jednostke
objetosci, wtedy
.
Na srednia wartosc energii w czasie, otrzymujemy
.
(11.17)
16
Ze wzgledu na to, ze energia nie jest w danym
obszarze zlokalizowana, lecz sie w osrodku
przenosi, mozna wprowadzic do rozwazan pojecie
strumienia energii. Przez strumien energii ??
przechodzacy przez dana powierzchnie S bedziemy
rozumieli wielkosc równa liczbowo ilosci energii
przechodzacej przez dana powierzchnie w ciagu
jednostki czasu.
Jezeli za jednostke czasu wezmiemy jeden okres
fali T, to strumien energii wynosi
.
Sredni strumien mocy definiujemy jako
.
17
Zdefiniujemy jeszcze gestosc strumienia mocy u
zwany równiez natezeniem fali I.
.
(11.18)
Poniewaz predkosc v jest wektorem, to gestosc
strumienia mocy mozna równiez rozpatrywac jako
wielkosc wektorowa skierowana zgodnie z
predkoscia rozchodzacej sie fali.
Wektor
(11.18a)
nazywamy wektorem Poyntinga.
18
Wrócmy do problemu rozchodzenia sie fal kulistych.
Rozpatrzmy fale
Srednia gestosc strumienia mocy fali P1
przechodzacej przez powierzchnie S1 jest w
osrodku bez absorbcji równa sredniej gestosci
strumienia mocy fali P2 przechodzacej przez
powierzchnie S2 . Czyli
.
Natezenie fali spada wiec z rosnaca odlegloscia r.
19
Mamy wiec
.
Z drugiej strony mamy
.
Ostatnie równanie ma wazne zastosowanie np. w
fotometrii.
20
11.7 Interferencja fal
W osrodku moga równoczesnie rozchodzic sie
drgania wychodzace z róznych centrów drgan. Fale
te tworza nowa fale.
Rozwazmy dwie fale o tej samej czestosci,
amplitudzie rozchodzace sie w tym samym kierunku.
.
Dodajac te fale do siebie otrzymujemy
21
.
(11.19)
Amplituda
Zaleznosc od czasu i polozenia
W zaleznosci od róznicy fazy mamy do czynienia ze
wzmocnieniem lub oslabieniem fali pierwotnej.
Interferencja konstruktywna
22
Interferencja destruktywna
23
11.7.1 Fala stojaca
Powstanie fali stojacej jest szczególnym
przypadkiem interferencji. Fala stojaca powstaje
przez interferencje dwóch fal o przeciwnych
kierunkach rozchodzenia sie. Moze to byc np.
interferencja fali padajacej z fala odbita.
Rozwazmy taki przypadek.
.
W wyniku interferencji otrzymujemy fale o postaci
.
24
W wyniku otrzymujemy fale
(11.20)
Zaleznosc od czasu
Zaleznosc od polozenia
Dla struny napietej pomiedzy dwoma punktami
otrzymujemy nastepujacy obraz

1. L ?/2
2. L ?
3. L 3 ?/2

Tabelka pokazuje podstawowe drgania wlasne ukladu
(struny).
25
Ponizszy rysunek przedstawia powstawanie fali
stojacej.
Wrócmy do równania fali stojacej. Mozemy z tego
równana znalezc warunek na wystepowanie
minimalnych amplitud wezlów, oraz maksymalnych
amplitud strzalek.
26
Polozenie wezlów wyznaczymy z równania
27
Polozenie wezlów otrzymamy wiec dla nastepujacego
warunku
.
(11.21)
W podobny sposób mozemy wyliczyc warunek na
wystepowanie strzalek. Otrzymamy wtedy
.
(11.22)
W oparciu o powyzsze wzory mozemy wyliczyc
odleglosci pomiedzy kolejnymi wezlami lub
strzalkami.
Fale stojace moga równiez posluzyc do
uwidocznienia drgan wlasnych w cialach stalych.
Do uwidocznienia tych drgan mozemy uzyc drobinek
korka lub piasku.
28
Przyklad takich drgan, -figury Chladniego-
wzbudzonych na tarczy metalowej np. przy pomocy
smyczka przedstawia ponizszy rysunek.
29
Dodatek
Dodajmy czlony dla x, y i z