AXA NUMERELOR

1
N?Z?Q?R
AXA NUMERELOR REALE
2
Multimi de numere
Nmultimea numerelor naturale Zmultimea
numerelor întregi Qmultimea numerelor
rationale Rmultimea numerelor reale R-Qmultimea
numerelor irationale
3
N?Z?Q?R
N
Z
Q
R
4
Adevarat sau fals ?
5
Afirmatiile anterioare sunt false. Demonstram cu
metoda contraexemplului.
Atentie ! Nu asociati automat numerele scrise cu
radical cu numerele irationale!
6
N?Z?Q?R

• Georg Cantor (1845-1918) a avut o contributie
  remarcabila în fundamentarea teoriei multimilor.
  În acelasi timp el a dat o constructie a
  numerelor reale printr-o metoda diferita de cele
  realizate de predecesorii sai.
• Creator al teoriei numerelor reale, poate fi însa
  considerat matematicianul grec
• Eudoxus (408-355 î.Hr.)
• Ideile sale inspirate din geometrie au fost
  preluate de Karl Weierstrass (1815-1897) si de
  Richard Dedekind (1831-1916) si dezvoltate prin
  metode aritmetice si analitice moderne.

7
Multimea numerelor naturale
8
Multimea numerelor întregi
9
Multimea numerelor rationale

• Se noteaza cu Q
• Orice numar rational se poate scrie sub forma
• , a?Z, b ?Z
• Numerele rationale pot avea dupa virgula
• - un numar finit de zecimale
• - o infinitate de zecimale care se repeta
  periodic
• - o parte finita urmata de o parte periodica.
• Numere care apartin multimii Q
• 0 1 10 -1 -106 2-3 -0,5 3,(74) 1,8(2)
  .
• Numere care nu apartin multimii Q
• .

10
Multimea numerelor reale

• Se noteaza cu R
• Un numar real este sau rational, sau irational.
• Numerele irationale au dupa virgula o infinitate
  de zecimale fara parte periodica.
• Numere care apartin multimii R
• 0 1 10 -1 -106 2-3 -0,5 3,(74)
  1,8(2)
• Numere care nu apartin multimii R
• solutii ale unor ecuatii precum x210.

11
Un numar de forma , a?N, este irational daca
12
Ce este axa numerelor reale ?
originea
sens pozitiv
OA1

• O dreapta pe care am fixat
• un punct O numit origine
• un sens pozitiv (indicat de sageata)
• o unitate de masura.

13

• Oricarui numar real i se poate asocia un punct
  de pe axa Ox si reciproc, oricarui punct de pe
  axa Ox i se poate asocia un numar real
• Numerele reale ocupa toate punctele dreptei Ox

14
Cum reprezentam pe axa numerele irationale ?
aproximari
Folosind
constructii geometrice
15
Aproximari
În functie de precizia cu care dorim sa lucram,
putem înlocui un numar real cu aproximari ale
sale, care sa aiba un ordin de marime dat.
De cele mai multe
ori, nu avem nevoie de o precizie atât de mare
încât sa folosim rigla si compasul pentru a
reprezenta un numar pe axa. În aceste situatii,
recurgem la încadrarea numarului dat între doua
numere rationale care îl aproximeaza prin lipsa,
respectiv prin adaos. Astfel putem reprezenta pe
axa numarul dat printr-un punct situat între
punctele corespunzatoare unei încadrari date.
16
aproximare prin lipsa
aproximare prin adaos
17
(No Transcript)
18
Daca avem nevoie de o precizie mai mare, atunci
folosim rigla si compasul.
1
19
Constructii geometrice
1
1
20
TEOREMA LUI PITAGORA
Într-un triunghi dreptunghic suma
patratelor lunghimilor catetelor este egala cu
patratul lunghimii ipotenuzei.
Teorema stabileste echivalenta între o
proprietate geometrica (a fi un triunghi
dreptunghic) si o proprietate numerica (suma
patratelor a doua numere este patratul unui alt
numar), trasând o legatura între geometrie
si aritmetica
21

• matematician si filozof grec, spunea
• Cedeaza întotdeauna cuvintelor blânde si
  faptelor
• folositoare.
• Obisnuieste-te sa domini lacomia în primul
  rând,
• apoi lenea, luxul si mânia.
• Prietenul care ne ascunde defectele, ne slujeste
• mai rau decât dusmanul care ni le reproseaza.
• (Vezi I. Dancila Matematica gimnaziului-pag.
  108)

22
Desenul urmator va sugereaza un procedeu pentru a
construi segmente de lungime
D
C
1
1
E
1
1
B
F
1
1
1
G
A
O
1
H
23

• a fost nu numai un mare matematician al Siracuzei
  si al antichitatii, dar si unul al tuturor
  timpurilor.
• Pliniu l-a numit zeul matematicii, iar Leibniz
  a scris ca, daca cunosti opera lui Arhimede, nu
  mai poti admira descoperirile noi.
• Legendele si anecdotele care au împodobit
  inventiile sale sunt aproape singurele izvoare de
  unde putem afla amanunte despre opera sa
  matematica si inginereasca.
• (Vezi I. Dancila Matematica gimnaziului-pag.
  141)

24
Folositi spirala lui ARHIMEDE pentru a
reprezenta pe axa numerelor
25
Un procedeu pentru a construi, cât mai rapid, un
segment de lungime
B
34 25 9 5232
3
A
5
O
26
Desenul urmator va sugereaza cum putem
construi, cât mai rapid, un segment de lungime
D
1
C
1
15 32 22 12 12
B
2
3
A
O
27
C
8
A
7
B
28
Construiti asemanator segmente de lungime
INDICATII
29
INDICATII

• 17161
• 412516
• 352591, sau 35132-122
• 3936111, sau 39202-192
• 868141
• 1068125

30
O întrebare

• Numarul 12 345 678 987 654 321
• este un numar remarcabil. Dar si radacina lui
• patrata este tot asa este un numar întreg !
• Voi îl puteti calcula ?

31
Raspuns

• Numarul 12 345 678 987 654 321
• este patrat perfect si se citeste astfel
• 12 biliarde, 345 bilioane, 678 miliarde,
• 987 milioane, 654 mii, 321.
• radacina lui patrata este 111 111 111.

32
Curiozitati

• 112121
• 111212321
• 111121234321
• 111112123454321
• 111111212345654321
• 111111121234567654321
• 111111112123456787654321
• 111111111212345678987654321

33
Ai ajuns la sfârsit.
ALEGE !
ÎNAPOI
IESIRE