AXA NUMERELOR

1
N?Z?Q?R
AXA NUMERELOR REALE
Algebra clasa a VIII-a
prof. Silvia Doande? ?coala cu cls. I-VIII nr.
30, Timi?oara
2
Cuprins
3
Multimi de numere
Nmultimea numerelor naturale Zmultimea
numerelor întregi Qmultimea numerelor
rationale Rmultimea numerelor reale
R-Qmultimea numerelor irationale
4
Multimea numerelor naturale
5
Multimea numerelor întregi
6
Multimea numerelor rationale

• Se noteaza cu Q
• Orice numar rational se poate scrie sub forma
• , a?Z, b ?Z
• Numerele rationale pot avea dupa virgula
• - un numar finit de zecimale
• - o infinitate de zecimale care se repeta
  periodic
• - o parte finita urmata de o parte periodica.
• Numere care apartin multimii Q
• 0 1 10 -1 -106 2-3 -0,5 3,(74) 1,8(2)
  .
• Numere care nu apartin multimii Q
• .

7
Multimea numerelor reale

• Se noteaza cu R
• Un numar real este sau rational, sau irational.
• Numerele irationale au dupa virgula o infinitate
  de zecimale fara parte periodica.
• Numere care apartin multimii R
• 0 1 10 -1 -106 2-3 -0,5 3,(74)
  1,8(2)
• Numere care nu apartin multimii R
• solutii ale unor ecuatii precum
• x210 x2x10 -3x2-50.

8
Un numar de forma , a?N, este irational daca
9
N?Z?Q?R
N
Z
Q
R
10
Adevarat sau fals ?
11
Afirmatiile anterioare sunt false. Demonstram cu
metoda contraexemplului.
Atentie ! Nu asociati automat numerele scrise cu
radical cu numerele irationale!
12
N?Z?Q?R

• Georg Cantor (1845-1918) a avut o contributie
  remarcabila în fundamentarea teoriei multimilor.
  În acelasi timp el a dat o constructie a
  numerelor reale printr-o metoda diferita de cele
  realizate de predecesorii sai.
• Creator al teoriei numerelor reale, poate fi însa
  considerat matematicianul grec
• Eudoxus (408-355 î.Hr.)
• Ideile sale inspirate din geometrie au fost
  preluate de Karl Weierstrass (1815-1897) si de
  Richard Dedekind (1831-1916) si dezvoltate prin
  metode aritmetice si analitice moderne.

13
Ce este axa numerelor reale ?
originea
sens pozitiv
OA1

• O dreapta pe care am fixat
• un punct O numit origine
• un sens pozitiv (indicat de sageata)
• o unitate de masura.

14

• Oricarui numar real i se poate asocia un punct
  de pe axa Ox si reciproc, oricarui punct de pe
  axa Ox i se poate asocia un numar real
• Numerele reale ocupa toate punctele dreptei Ox

15
(No Transcript)
16
Exemplu pentru un numar x real ?i pozitiv
17
Exerci?ii
1) Arata?i ca urmatoarele numere sunt opuse unul
altuia 2) Arata?i ca urmatoarele
numere sunt inverse unul altuia 3) Calcula?i
18
1,(6)
19
Rotunjiri Rotunjirea lui 6,4 este 6 deoarece 6,4
este mai apropiat de numarul întreg 6 decât de
numarul întreg 7.
Rotunjirea lui - 0,3 este 0 deoarece - 0,3 este
mai apropiat de numarul întreg 0 decât de numarul
întreg - 1.
20
(No Transcript)
21
Exerci?ii
1) Determina?i rotunjirile ?i trunchierile la
prima, a doua, a treia ?i a patra zecimala
101,00344 - 11,43291 2)
Aproxima?i prin lipsa ?i prin adaos, cu o eroare
de o unitate, radacina patrata a numerelor
86,42 24403,6 3) Arata?i ca
0,048 lt 0,00232 lt 0,049.
22
Exerci?ii
4) Marius a efectuat operatii cu calculatorul de
buzunar, dar nu a fost suficient de atent la
introducerea datelor. El a obtinut urmatoarele
rezultate a) 356,32 2879,47 32135.79 b)
32,974 ? 5,32917.655 c) 76,138 ? 89,742
68327.763 d) 85,87 1,634 5.2564 Ana a
privit timp de o secunda exercitiile, apoi i-a
spus Toate sunt rezolvate gresit! Aratati
cum a procedat Ana pentru a descoperi rapid acest
lucru.
23
Cum reprezentam pe axa numerele irationale ?
24
Aproximari
În functie de precizia cu care dorim sa lucram,
putem înlocui un numar real cu aproximari ale
sale, care sa aiba un ordin de marime dat.
De cele mai multe
ori, nu avem nevoie de o precizie atât de mare
încât sa folosim rigla si compasul pentru a
reprezenta un numar pe axa. În aceste situatii,
recurgem la încadrarea numarului dat între doua
numere rationale care îl aproximeaza prin lipsa,
respectiv prin adaos. Astfel putem reprezenta pe
axa numarul dat printr-un punct situat între
punctele corespunzatoare unei încadrari date.
25
aproximare prin lipsa
aproximare prin adaos
26
(No Transcript)
27
Daca avem nevoie de o precizie mai mare, atunci
folosim rigla si compasul.
1
28
Constructii geometrice
1
1
29
TEOREMA LUI PITAGORA
Într-un triunghi dreptunghic suma
patratelor lungimilor catetelor este egala cu
patratul lungimii ipotenuzei.
Teorema stabileste echivalenta între o
proprietate geometrica (a fi un triunghi
dreptunghic) si o proprietate numerica (suma
patratelor a doua numere este patratul unui alt
numar), trasând o legatura între geometrie
si aritmetica.
30
TEOREMA LUI PITAGORA

• Cunoscuta de babilonieni cu un mileniu înainte
  de
• Pitagora, demonstrata de el si redemonstrata de
  Euclid,
• celebra teorema a fost obiect de studiu în China
  si în
• lumea araba.
• A fascinat de-a lungul mileniilor nu numai
  geometri de
• profesie ci si persoane cu cele mai variate
  ocupatii.
• La începutul secolului nostru erau inventariate
  370 de
• demonstratii diferite pentru aceasta teorema.

31

• matematician si filozof grec, spunea
• Cedeaza întotdeauna cuvintelor blânde si
  faptelor
• folositoare.
• Obisnuieste-te sa domini lacomia în primul
  rând,
• apoi lenea, luxul si mânia.
• Prietenul care ne ascunde defectele, ne slujeste
• mai rau decât dusmanul care ni le reproseaza.
• (Vezi I. Dancila Matematica gimnaziului-pag.
  108)

32
Desenul urmator va sugereaza un procedeu pentru a
construi segmente de lungime
D
C
1
1
E
1
1
B
F
1
1
1
G
A
O
1
Spirala lui Arhimede
H
33

• A fost nu numai un mare matematician al Siracuzei
  si al antichitatii, dar si unul al tuturor
  timpurilor.
• Pliniu l-a numit zeul matematicii, iar Leibniz
  a scris ca, daca cunosti opera lui Arhimede, nu
  mai poti admira descoperirile noi.
• Legendele si anecdotele care au împodobit
  inventiile sale sunt aproape singurele izvoare de
  unde putem afla amanunte despre opera sa
  matematica si inginereasca.
• (Vezi I. Dancila Matematica gimnaziului-pag.
  141)

34
Folositi spirala lui ARHIMEDE pentru a
reprezenta pe axa numerelor
35
Un procedeu pentru a construi, cât mai rapid, un
segment de lungime
B
34 25 9 5232
3
A
5
O
36
Desenul urmator va sugereaza cum putem
construi, cât mai rapid, un segment de lungime
D
1
C
1
15 32 22 12 12
B
2
3
O
A
37
C
8
A
7
B
38
Construiti asemanator segmente de lungime
INDICATII
39
INDICATII

• 17161
• 412516
• 352591, sau 35132-122
• 3936111, sau 39202-192
• 868141
• 1068125

40
O întrebare

• Numarul
• 12 345 678 987 654 321
• este un numar remarcabil. Dar si radacina lui
• patrata este tot asa este un numar întreg !
• Voi îl puteti calcula ?

41
Raspuns

• Numarul 12 345 678 987 654 321
• este patrat perfect si se citeste astfel
• 12 biliarde, 345 bilioane, 678 miliarde,
• 987 milioane, 654 mii, 321.
• radacina lui patrata este 111 111 111.

42
Curiozitati

• 112121
• 111212321
• 111121234321
• 111112123454321
• 111111212345654321
• 111111121234567654321
• 111111112123456787654321
• 111111111212345678987654321

43
La aceasta prezentare Am folosit idei, metode ?i
tehnici din urmatoarea
BIBLIOGRAFIE
Mihaela Singer, Cristian Voica, Consuela Voica
Matematica, manual pentru clasa a VIII-a
Ed. SIGMA, Bucuresti, 2000Solomon
Marcus ?i Mihaela Singer Matematica, manual
pentru clasa a IX-a M3(filologie)
Ed. SIGMA, Bucuresti, 2001Ioan Dancila
Matematica gimnaziului între profesor si elev
Ed. ARAMIS, Bucuresti,
2001Bernhard Eder, Willibald Kodym, Franz
Lechner PowerPoint - prezentari
44
Ai ajuns la sfârsit.
ALEGE !
ÎNAPOI
IESIRE