Linea de espera

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Capítulo 8 Modelos de Líneas de Espera Prof.
Héctor Allende O. Departamento de
Informática Universidad Santa María
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Introducción
Una línea de espera es la resultante de un
sistema cuando la demanda por un servicio supera
la capacidad que puede proporcionar dicho
servicio. Un sistema está formado por un
conjunto de entidades que en paralelo
proporcionan servicio a las transacciones que
aleatoriamente ingresan al sistema
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Ejemplos de Líneas de Espera

• Cajas en Bancos
• Tráfico en una Ciudad ( Terrestre o Aéreo)
• Redes de Comunicaciones y Computadores
• Tareas en un Computador
• Líneas de Producción e Inventario
• Talleres de Reparación
• Hospitales
• Estaciones de Bomberos
• Sistemas de Distribución o Logísticos
• Trabajos o Tareas que tenemos que hacer

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Introducción
Elementos de estudio de dichas líneas de espera
serán entonces los tiempos asociados a cada uno
de los procesos que se desarrollan y las llegadas
de las transacciones al sistema. Debido a que las
variables están fuera del control del tomador de
decisiones, será necesario realizar el modelado
utilizando procesos estocásticos.
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Esquema Líneas de Espera
Instalaciones de Servicio
Clientes que entran al Sistema de Servicio y
Esperan ser Atendidos
Población o Fuente de Entrada de Clientes
al Sistema
Clientes Servidos salen del Sistema de Servicio
y vuelven a la Población
SISTEMA de SERVICIO
Algunos Clientes pueden no entrar al sistema
de Servicio
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Definición Básica

Una línea de espera puede modelarse como un
proceso estocástico en el cual la variable
aleatoria se define como el número de
transacciones en el sistema en un momento
dado. El conjunto de valores que puede tomar
dicha variable es 0, 1, 2, 3, 4,.......,N y
cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad
de ocurrencia P0, P1, P2... ........., PN
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Objetivo del Estudio

• Determinar el nivel de servicio del sistema
• Cantidad de entidades presente
• Velocidad del Servicio en el sistema
• Interesa minimizar el costo total del sistema
• Los costos de transacciones dan cuenta de la
  pérdida por tiempo de espera o la pérdida de
  clientes por abandono del sistema.
• Los costos de proporcionar el servicio, dan
  cuenta de los salarios, energía, mantención, etc.

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Objetivo del estudio
Matemáticamente Min Ct Ce S C q
Lq donde S 1,2,3,4......... Lq f
S,E(t),....... Donde S Número de entidades
que proporcionan servicio. E(t) tiempo
promedio de Servicio. Lq Número de
transacciones en espera. Ce Costo de servicio
por entidad - tiempo. Cq Costo de servicio
por transacción - tiempo. Ct Costo total por
unidad de tiempo

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Optimización de Costos
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Líneas de Espera

• Los modelos de LE nos permitirán estudiar este
  tipo de fenómeno y determinar (en algunos casos)
• Tiempo de Espera Promedio de los Clientes
• Largo Promedio de la LE
• Factor de Utilización de Servidores
• Distribución Tiempos de Espera (Difícil)
• Tiempos Ociosos
• Eficiencia del Sistema
• Pérdidas de Clientes

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Elementos Básicos de Modelos de Espera

• Población Fuente de Entradas
• Tamaño
• Infinito
• Finito
• Patrón de Llegadas Tasa de Llegada
• Patrón de Salidas
• Cliente Satisfecho
• Cliente vuelve a la l.e.
• Actitudes de los Clientes
• Cambios
• Renuncias
• Elusión

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Estructura General Sistema Espera
Servidores en paralelo
Entrada al Sistema
Salida del Sistema
Fila
Fuente de transacciones potenciales
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Estructura

• Los elementos básicos constituyentes de un
  sistema de espera son los siguientes
• Servidor
• Fila
• Transacciones Potenciales

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Servidor

• Representa el mecanismo por el cual las
  transacciones reciben de una manera completa el
  servicio deseado.
• Sus principales características son
• La Cantidad asignada a cada fila existente en el
  sistema.
• La distribución de probabilidad del Tiempo de
  Atención a las transacciones o (Velocidad de
  Servicio)

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Fila

• Es el conjunto de transacciones que espera ser
  atendido por alguno de los servidores del
  sistema.
• Sus principales características son
• Capacidad es la cantidad máxima de
  transacciones que puede albergar cada fila
  existente en el sistema.
• De acuerdo a esto se clasifican en finitas o
  infinitas.
• Orden es la forma como las transacciones son
  extraídas de la fila para su atención.
• Ejemplos FIFO, prioridad, aleatorio, etc.
• Forma de salir como sale de la fila
• mediante el proceso de servicio
• mediante factores de abandono insatisfacción,
  desesperación, etc.

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Transacciones Potenciales

• Representan el número de clientes potenciales que
  podría requerir el servicio proporcionado por el
  sistema.
• Sus principales características son
• El Tamaño del conjunto de potencial de clientes.
• La distribución de probabilidad del Tiempo entre
  llegadas o tasa de entrada promedio.

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Nomenclatura
S número de servidores n número de clientes en el
sistema N número máximo de clientes permitidos en
el sistema ?n flujo de clientes que entran cuando
hay n clientes en el sistema ?n capacidad del
servidor cuando hay n clientes en el
sistema E(t) tiempo promedio de proceso por
cliente V(t) varianza del tiempo de
proceso E(a) tiempo promedio entre
llegadas V(a) varianza del tiempo entre llegada
Coeficiente cuadrado de variación del flujo de
clientes que entran al sistema. Coeficiente
cuadrado de variación del tiempo de servicio.
Coeficiente cuadrado de variación del flujo de
clientes que salen del sistema.
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Nomenclatura
pij probabilidad de que el sistema cambie del
estado i a un estado j después de un intervalo
de tiempo Pn probabilidad en estado estable de
que existan n clientes en el sistema L número
promedio de clientes en el sistema Lq número
promedio de clientes en la fila W tiempo promedio
de permanencia en el sistema Wq tiempo promedio
de permanencia en la fila ? utilización promedio
del servicio Ct costo total promedio del sistema
de líneas de espera por unidad de tiempo Ce
costo promedio de servicio por cliente por
unidad de tiempo Cq costo promedio de espera por
cliente por unidad de tiempo
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Clasificación de Kendall y Lee
Kendall y Lee 1953 Proponen un sistema de
clasificación para los sistemas de líneas de
espera, el cual considera seis de las
características mencionadas en la estructura de
los modelos.
El cual tiene el siguiente formato (a/b/c)(d/e/f)
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Clasificación de Kendall y Lee
Donde a distribución de probabilidad del tiempo
entre llegadas de las transacciones b distribuci
ones de probabilidad del tiempo de servicio.
Símbolos utilizados en estos dos primeros campos
son D constante Ek distribución Erlang con
parámetro k G cualquier tipo de
distribución GI distribución general
independiente H distribución hiperexponencial M
distribución exponencial
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Clasificación de Kendall y Lee
c número de servidores d orden de atención de los
clientes Símbolos utilizados en este campo
son FIFO primeras entradas, primeros
servicios LIFO últimas entradas, primeros
servicios SIRO orden aleatorio PR con base
en prioridades GD en forma general e número
máximo de clientes que soporta el sistema en un
mismo instante de tiempo f número de clientes
potenciales del sistema de líneas de espera
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Ejemplos
Un modelo(M/D/3)(FCFS/20/20) representa la
clasificación de un sistema donde existen 3
servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con
un orden de primeras entradas, primeras salidas,
con un tiempo de servicio constante. El sistema
tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales
podrían encontrarse dentro del sistema en un
mismo instante. El tiempo entre llegadas de los
clientes sigue una distribución exponencial y, en
caso de llegar y encontrar todos los servidores
ocupados, pasan a formarse de una fila común.
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Clasificación de Kendall y Lee
Respetando la clasificación Kendall y Lee
anterior, es posible agrupar los diferentes
modelos de una manera donde los procesos
Markovianos y los no Markovianos se separan
claramente. Los Markovianos se dividen en modelos
de capacidad finita y modelos de capacidad
Infinita. Los No Markovianos, se clasifican en
modelos con tiempos entre llegadas exponenciales
y tiempos de servicios con cualquier tipo de
distribución.
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Clasificación de Kendall y Lee
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Medidas de desempeño

• Medidas de desempeño
• Utilización de Servicio
• Tasa de entrada Promedio
• Número Promedio de Clientes en el sistema
• Número promedio de Clientes en la fila
• Tiempo promedio de espera en el sistema
• Tiempo promedio de espera en la fila
• Coeficiente cuadrado de variación

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Ecuaciones Generales
Utilización de Servicio
Tasa de entrada Promedio
Número Promedio de clientes en el sistema
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Ecuaciones Generales
Número promedio de clientes en la fila
Tiempo Promedio de espera en el sistema
Tiempo promedio de espera en la fila
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Ecuaciones Generales
Coeficiente cuadrado de variación
Tiempo entre llegadas
Tiempo de servicio
Tiempo entre salidas del servicio
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Procesos Markovianos
El proceso estocástico asociado a una línea de
espera tiene la propiedad markoviana, es decir la
probabilidad condicional de llegar a un estado
futuro depende exclusivamente del estado actual
en el que se encuentre el sistema, sin importar
el estado inicial de dicho sistema. Las
probabilidades condicionales deben cumplir con
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Procesos Markovianos
Las probabilidades de estado estacionario Pj
representan el comportamiento probabilístico de
cada estado del sistema a largo plazo y se
calculan a partir de las probabilidades de
transición de un paso de acuerdo con las
probabilidades de transición de acuerdo con
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Matriz de probabilidades a un paso
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Procesos Markovianos
La matriz probabilidades a un paso genera un
sistema de ecuaciones con N1 incógnitas, N1
ecuaciones independientes y una ecuación
redundante que debe ser eliminada.
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Matriz de probabilidades
La solución a este sistema de ecuaciones origina
los valores de las probabilidades estacionarias
independientes del estado en que se encuentra el
sistema inicialmente.
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Ejemplo

• Datos del ejemplo
• Número total de observaciones del SM 73
• Intervalo entre observación 5 Minutos
• Tabla de relaciones existente entre datos

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Ejemplo

• La matriz anterior se explica como
• De las 73 observaciones, en 10 de ellas el
  sistema estuvo en estado 0 y 5 minutos después el
  sistema había permanecido igual en 3 ocasiones,
  había cambiado a estado 1 en 5 ocasiones, había
  cambiado a estado 2 en 2 ocasiones, y no se
  obsevaron cambios a los estados 3 y 4.

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Ejemplo
Calculando la probabilidad condicional de estado
presente i al estado futuro j, se obtiene la
siguiente matriz a un paso
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Ejemplo
Donde claramente
Aplicando las ecuaciones de estado estacionario a
la matriz de un paso, se obtienen las ecuaciones
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Ejemplo
Resolviendo el sistema de ecuaciones
Número promedio de transacciones en la cola
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Procesos Markovianos
Característica principal Distribución de
probabilidad que define la llegada y salida de
transacciones del sistema Poisson. Para un
intervalo de tiempo ?t esta dado por
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Procesos Markovianos

• Condiciones que se deben cumplir
• Solamente puede ocurrir una llegada entre t y
  ?t.
• Solamente puede ocurrir una salida entre t y ?t.
• Solamente puede ocurrir una llegada o una salida
  entre t y ?t.
• Por lo que el cambio de estado de n a n1 se
  lleva a cabo al ocurrir una llegada.
• Un cambio de estado de n a n-1 solo ocurre cuando
  se produce una salida.

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Matriz de probabilidad a un paso
Estado Futuro 0 1 2 3
. . . N-1 N
0 1 2 3 . N-1 N
Estado Actual
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Procesos Markovianos
Lo cual conduce a
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Ecuaciones de Balance
De la matriz se obtienen las ecuaciones de balance
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Ecuaciones de Balance
Sustituyendo se obtiene
Resolviendo el sistema
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Ecuaciones de Balance
Generalizando
Finalmente se obtiene
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Ejemplo

• Una sala de espera de un servicio de emergencia
  (SE) tiene capacidad para 3 pacientes. Los
  usuarios llegan con una tasa de 8 por hora, con
  distribución de Poisson y son atendidos por una
  unidad de cuidados de emergencia (UCE) en 10
  minutos con distribución exponencial. Si alguien
  llega al SE, y esta lleno, se retira a otro
  servicio cercano.
• Analizar el desempeño del servicio de emergencia
  (M/M/1) (FIFO/4/?)
• Si se aumenta a dos UCE, evalúe el mejoramiento
  del desempeño del sistema (M/M2) (FIFO/5/?)