Analyse

1
Nom GAUTIER prénom
Christian email cgautier_at_biomserv.univ-lyon1.fr
laboratoire Biométrie et Biologie
évolutive Thème de recherche
Bioinformatique évolution des génomes
2
Analyse
3
Pourquoi faire des mathématiques en biologie?

• pour aider à la représentation de systèmes
  complexes
• pour aider à comprendre lévolution de systèmes
  complexes
• pour aider à mémoriser et manipuler des systèmes
  complexes

Les mathématiques sont pour nous un outil au
service de la biologie
4
Pourquoi faire de lAnalyse?
Il est souvent facile de caractériser localement
un système ce qui se passe pendant un temps
très court lorganisation sur une très petite
surface
LAnalyse permet de passer de structures locales
à des formes ou des comportements globaux
5
Un exemple très simple
En phase de croissance les bactéries se divisent
régulièrement au cours du temps. Ainsi pendant
un intervalle de temps une proportion des
bactéries va se diviser ... MAIS pendant cet
intervalle de temps le nombre de bactéries change
!!! On ne peut donc pas dire que la proportion de
bactéries qui se divisent est proportionnelle à
la longueur de lintervalle de temps
Si le nombre de bactéries pouvant se diviser
était constant au cours du temps il existerait un
nombre r tel que le nombre de nouvelles bactéries
apparues entre les temps t1 et t2 serait rx(t1-t2)
Pour un temps Dt très court la condition
précédante peut être supposée remplie et on a
DxrxDt
LAnalyse nous permettra à partir de cette
propriété locale de connaitre la croissance de
ces bactéries
6
LAnalyse repose sur la notion de nombres Savez
vous ce quest un nombre?
Ne cherchez pas la réponse est
NON
7
Les entiers la propriété centrale est que
chaque entier possède un suivant ils sont une
infinité ... dénombrable
8
Les entiers sont pleins de trous!
Je mesure entre 1m et 2m je ne suis pas le seul
ici!
178
Je mesure
100
Voici les nombres rationnels
Si on les trie par ordre croissant on ne peut
plus donner le suivant dun rationnel MAIS
lensemble est encore dénombrable!!!
9
Un exemple de nombres rationnels les nombres
décimaux 1.7865546676543567 Tous les rationnels
peuvent-ils sécrire comme un nombre décimal?
NON! 1/3 nest pas un nombre décimal
Pour tout rationnel x il existe un rationnel y
aussi proche de x que lon veut Cest évident! Il
suffit de considérer les nombres décimaux
10
Mais les rationnels sont encore plein de trous!!!
Cétait déjà connu des Grecs quelle est le côté
de lhypothénuse dun triangle rectangle isocèle?
1
1
Comment démontrer que
nest pas un rationnel?
11
Sous forme irréductible

p2
2
q2
Remarque 2 nest divisible que par 2 et 1, si le
carré dun nombre entier est divisible par 2 il
doit donc être divisible par 4
Pour que
Soit égal à 2 il faut que p2 soit divisible par 2
donc par 4, donc
q2 est divisible par 2 donc par 4, mais alors p
et q étant divisible par 2
nest pas sous forme irréductible .....
12
Lensemble des rationnels est plein de trous
(suite)
La suite de nombre rationnels 1 1.4 1.41 1.414 1.
4142 1.41421 1.414214 ...
Converge vers une limite qui nexiste pas dans
les rationnels il y a encore des trous
Comment les boucher? En définissant lensemble de
toutes les limites !!!! Ça cest une solution
radicale .... Et lensemble des REELS vient de
naître
13
Un autre exemple de nombre réel non rationnel le
nombre p
Si D est le diamètre dun cercle, vous savez que
son périmètre vaut Dp
Savez vous démontrer quun tel nombre existe?
cest à dire que le périmètre dun cercle est
propostionnel à son diamètre.
L1
D1
L2
D2
14
Les nombres réels jouent un rôle théorique très
important en mathématique mais en pratique on ne
manipule que des décimaux cest à dire en fait
des entiers à une puissance de 10 près
15
Les limites
16
f(x) tend vers y0 quand x tend vers x0
1) Je choisis un intervalle autour de y0
x0
2) Je trouve un intervalle autour de x0 (sans x0)
tel que son image soit incluse dans lintervalle 1
Si létape 2 est possible quel que soit le choix
en 1 alors f(x) tend vers y0 quand x tend vers x0
y0
17
Un exemple simple f(x)x2 quand x tend vers 0
Intervalle autour de y00 -s , s sgt0 Je
choisis s comme je veux Si je considère
lintervalle autour de x00 -s1/2 , s1/2 son
image est dans lintervalle choisi pour
y0 Cest gagné! x2 tend vers 0 quand x tend
vers 0
18
quest ce quune fonction?

1. On définit un sous ensemble de R ce sera le
   domaine de définition de la fonction Df
2. f est une application de Df dans R
3. Lensemble des couples (x,f(x)) est le graphe de
   f
4. Lensemble des points du plan de coordonnées
   (x,f(x)) est la courbe représentative de f

19
Comment décrire localement une fonction
Pour décrire le comportement de f au voisinage de
x0 on se pose les questions suivantes

1. Quelle est la valeur de f en x0 ?
2. f est-elle continue en x0
3. Peut-on approcher f par une fonction linéaire au
   voisinage de x0

20
f est elle continue en x0
F tend vers f(x0) quand x tend vers x0
Une fonction continue nulle part f(x) 1 si x
est un rationnel, 0 sinon Bof, cest bien un
truc de matheux çà!
21
Approximation linéaire de f
On cherche à écrire f(x) a(x-x0) b e(x) de
manière à ce que e(x) soit aussi petit que
possible quand x tend vers x0
Si f nest pas continue en x0 celà napparaît pas
possible
Une condition évidente est de choisir b
f(x0) f(x)-f(x0) ax e(x)
f(x)-f(x0)
e(x)
a
x-x0
x-x0
e(x)
f(x)-f(x0)
0
a
ltgt
x-x0
x-x0
22
f(x)
(f(x)-f(x0))
f(x0)
(x-x0)
x
x0
23
f(x)
(f(x)-f(x0))
f(x0)
(x-x0)
x
x0
24
f(x)
(f(x)-f(x0))
f(x0)
(x-x0)
x
x0
25
f(x)
(f(x)-f(x0))
f(x0)
(x-x0)
x
x0
26
f(x)
(f(x)-f(x0))
f(x0)
(x-x0)
x
x0
27
approximation linéaire yf(x0)(x-x0)f(x0)
f(x0)
x0
28
A quoi sert la dérivée dune fonction ?
à fournir une approximation de la fonction f(x)
f(x0)x (f(x0) - f(x0)x0) e(x) avec
e(x)/(x-x0)
x0
0 quand x
exemple dutilisation sin(x)cos(x) sin(x)cos(
0)xe(x)xe(x) avec e(x)/x 0
quand x 0 Quelle est la limite de
sin(x)/x quand x tend vers 0 ? sin(x)/x(xe(x))/x
1 e(x)/x
1
29
A quoi sert la dérivée dune fonction ?
à fournir une approximation de la fonction f(x)
f(x0)x (f(x0) - f(x0)x0) e(x) avec
e(x)/(x-x0)
x0
0 quand x
À étudier le sens de variation de f au voisinage
de x0
Exemple comment varie la fonction x3-27x
y 3 x2-27
x -inf -3 3 inf y - y -inf 54 -5
4 inf
30
Notion de monotonie
Une fonction continue et monotone admet une
fonction réciproque
31
A quoi sert la dérivée dune fonction ?
à fournir une approximation de la fonction f(x)
f(x0)x (f(x0) - f(x0)x0) e(x) avec
e(x)/(x-x0)
x0
0 quand x
À étudier le sens de variation de f au voisinage
de x0
À étudier la convexité de la courbe représentative
La convexité est donnée par le sens de variation
de la dérivée et donc par le signe de la dérivée
seconde. Un changement de convexité sappelle un
point dinflexion, il correspond à un zéro de la
dérivée seconde.
Exemple (3x2-27)6x sannule (et change de
signe) pour x0
32
Calcul des dérivées

• Savoir par coeur
• Combinaisons linéaires
• Produit
• Quotient
• Composition

33
Plan détude dune fonction

1. Domaine de définition
2. Symétrie, périodicités
3. Sens de variation
4. Branches infinies
5. Éventuellement étude de la convexité et des
   points dinflexion

34
(No Transcript)
35
Intégrales
Lobjectif est de calculer laire de surfaces
définies par des courbes On se contentera ici
des surfaces comprises entre laxes des x et la
courbe représentative dune fonction continue.
36
Intégrales
Lidée est très simple on approche la surface
hachurée par la réunion de rectangles, comme on
sait calculer laire dun rectangle on obtient
une approximation de laire cherchée.
37
Intégrales
Plus la base des rectangle est étroite meilleure
est lapproximation
38
Intégrales
Soit h la largeur de chacun des rectangles et n
leur nombre. a et b sont les limites de la
surface b-anh
a
b
39
Intégrales
Soit h la largeur de chacun des rectangles et n
leur nombre. a et b sont les limites de la
surface b-anh
Soit A(x) laire de la surface entre a et x
A(b)-A(b-h) est voisine de hf(b).
h
f(b)
a
b
40
Intégrales
Soit A(x) laire de la surface entre a et x
A(b)-A(b-h) est voisine de hf(b).
Miracle mathématique A(b)f(b)
a
b
41
Concentration du médicament dans le sang (mg/l)
en fonction du temps
f(t)
tmax le point où la dérivée sannule (sil
existe)
42
Dérivées et primitives célèbres
43
Intégration dune somme
Intégration par parties
Changement de variable
44
Les aires sont des valeurs signées
45
Calculs spécifiques aux intégralles
46
Changement de variable dans les intégralles
On peut soit 1) déterminer la primitive et
appliquer la méthode générale soit 2) appliquer
les changements de variables également aux bornes
dintégration
1)
2)
47
(No Transcript)
48
Équations différentielles
Définition formelle Toutes équations du type
F(y,y,x)0 où y est une fonction de x
Résoudre ou intégrer une équation différentielle
consiste à recherche lensemble des fonctions qui
vérifient léquation
Exemple très simple y-x0 yx y1/2 x2 C
x-100100/10 ffunction(x,c)return(0.5x2
c) plot(x,f(x,0),type"l") lines(x,f(x,1),type
"l")
49
Équations différentielles
Quel intérêt en biologie?
? de croissance dune population yrx rgt0
50
Équations différentielles
Quel intérêt en biologie?
51
Intégration des équations différentielles
séparées ou séparables?
52
Intégration des équations différentielles
t-100100/10 ffunction(t,k,l)return(lexp(kt))
plot(t,f(t,0.5,1),type"l",ylimc(-100,100)) ab
line(h0) abline(v0) lines(t,f(t,0.5,-1),type"l
,colblue)