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1
Projet dintégration-Mathématiques
les mathématiques à toutes les sauces
2
Arcs-en-ciel
Comment les arcs-en-ciel se forment-ils? Pourquoi
ne les voit-on que lorsque le soleil est derrière
nous? Si le soleil est bas dans le ciel, à quelle
hauteur peut-on espérer voir un arc-en-ciel?
Quest-ce qui produit des couleurs dans un
arc-en-ciel? Pourquoi peut-on parfois deux
arc-en-ciel simultanément? Pourquoi le ciel
paraît-il plus brillant à l intérieur de l arc?
À quelle distance sont situés les arcs-en-ciel?
Pourquoi n y a-t-il pas souvent d arc-en-ciel
l hiver? Peut-il y avoir des arcs-en-ciel de
pleine lune?
3
Baseball
Le plus vieux sport professionnel aux États-Unis,
dérivé du cricket. Qu est-ce qui fait courber la
balle ? À quelle vitesse la balle tourne-elle?
Pourquoila balle rapide ne descend pas aussi vite
que la courbe? Comment la mystérieuse balle
papillon peut-elle osciller de gauche à droite
dans son mouvement vers le frappeur? La gravité,
la résistance de l air, l effet Magnus, les
nombres de Reynolds. Pourquoi une balle usée
voyage-t-elle plus vite qu une balle lisse?
Simulation de lancers avec ordinateur.
4
Cryptographie
Machine Enigma deuxième guerre mondiale
Un peu d histoire sur les messages codés. Code
utilisé par les Romains. Comment exécuter des
transactions sécurisées sur internet? D où vient
le nom de code RSA? Cryptographie avec des
ordinateurs quantiques.
5
Le chaos
Bifurcation vers le chaos par doublement de
période
Attracteur de Lorentz
Dieu joue-il aux dés avec l univers? La
prédiction météorologique à long terme est-elle
possible? Déterminisme ou hasard? Comment un
battement d aile d un papillon à Montréal
peut-il engendrer un ouragan en Australie?
L univers est-il prédictible ou chaotique? Les
attracteurs étranges attracteur de Lorentz et de
Hénon.
6
Les fractales
Le trétraèdre de Sierpinski
Ensemble de Mandelbrot
Qu est-ce qu une fractale? Un ensemble étrange,
l ensemble de Mandelbrot, fascine et surprend!
Les fractales de la nature. Les premières
fractales, de Peano (1890) et de Cantor (1883) .
Le tamis de Sierpinski, le flocon de Von Koch,
l éponge de Sierpinski, l arbre de Pythagore
Les ensembles de Mandelbrot et de Julia, de la
géométrie et des nombres complexes, jusqu à la
découverte du lapin de Douady. Comment un objet
peut-il avoir une dimension de 1,584962501?
Trouvez une fractale pour décorer votre chambre!
7
Les fusées
Quelles forces agissent sur une fusée qui
décolle? Comment agit la résistence de l air?
Comment varie le poids de la fusée? Quelle
poussée déploient les moteurs? Quels types de
carburant sont utilisés? Après combien de temps
la fusée échappe-t-elle à l attaction terrestre?
Quelle est la durée du vol? À quelle altitude
peut-elle être mise en orbite? Quelle est la
vitesse à ce moment?
8
Loi de refroidissement de Newton
Sir Isaac Newton (1643-1727)
Sébastien naime pas perdre son temps à quel
moment doit-il verser le lait dans son café? La
loi de Newton est-elle correcte? Qu en dirait
Jean-Baptiste Biot? Pourquoi Newton peut-il aider
Sherlock Holmes à découvrir le meurtrier? Un
corps froid dans un environnement chaud suit-il
la même loi?
9
Parachute
Un parachutiste saute dun avion à 4000 m
daltitude. En combien de temps touchera-t-il le
sol? À quelle vitesse atteint-il le sol? Y a-t-il
une vitesse maximale en chute libre? À quel
moment au plus tard doit-il ouvrir son parachute
pour arriver au sol en toute sécurité? Quest-ce
quun nombre de Reynolds?
10
Population
La croissance d une population selon le modèle
de Malthus conduit à la misère. Pourquoi? Quelle
analogie y a-t-il entre la croissance d un
tournesol, un troupeau de caribous et la
population canadienne? D après Verhulst, la
connaissance se développe comme une plante.
Pourquoi certaines populations ont tendance à se
stabiliser autour d une valeur alors que
d autres sombrent dans le chaos?
11
Problème des deux corps
La comète Hole-Ropp le 20/03/97
Ulysses passing Jupiter

Lunivers est limité à deux corps dont les
masses, les positions et les vitesses à un moment
sont connues. Quelles seront la position et la
vitesse à tout moment dans le futur et dans le
passé? La gravitation, une loi de Dieu? Les lois
de Newton suffisent-elles à démontrer les trois
lois de Képler? Une comète sapproche du soleil,
quelle trajectoire suit-elle? Lorsquon frappe un
ballon de soccer, pourquoi la trajectoire
est-elle une ellipse? Vitesse de libération et
vitesse circulaire. Simulations avec ordinateur.
12
Problème des trois corps
Henri Poincaré Nancy 1854- Paris 1912
Joseph-Louis Lagrange Turin 1736- Paris 1813
L univers est limité à trois corps dont les
masses, les positions et les vitesses à un moment
donné sont connues. Quelles seront leurs
positions et leurs vitesses à tout moment dans le
futur? Les lois de Newton. Système solaire. Les
points de Lagrange. Mouvement chaotique. Section
de Poincaré.
13
Moments et centres de masse
Quest-ce que le moment dune force? Quest-ce
que le centre de masse? Où est le centre de masse
dun demi-disque? dun anneau? dun triangle?
Quest-ce qui distingue le centre de masse,
centre de gravité, centre dinertie, barycentre?
Les théorèmes de Pappus.
14
Géométrie sphérique
Bernhard Riemann 1826-1866
Une géométrie non Euclidienne la géométrie
sphérique. Des droites sans parallèle. La somme
des angles d un triangle supérieure à 180
degrés. Applications à la géographie, à la
navigation. Système axiomatique. Consistence et
complétude. Théorème de Goëdel.
15
Satellites
Lois de Newton. Lois de Kepler. Tycho Brahé et
Johannes Kepler. Trajectoires elliptique,
circulaire, parabolique. Orbites
géostationnaires. Orbites de transfert. Vitesse
de satellisation et vitesse de libération.
Apogée, périgée, période orbitale. Les
utilisations observation, météorologie,
exploration, localisation, navigation,
télécommunications. Logiciel de simulation
orbitographique Solstice.