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(No Transcript)
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Calendriers
Formation mathématique des calendriers
La réforme grégorienne était-elle la plus
judicieuse ?
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Formation mathématique des calendriers
Les astronomes, par leurs observations et
connaissances mathématiques, ont toujours été
associés à la construction des calendriers.
Pour ne pas voir dériver trop vite un calendrier
basé sur une année forcément fausse (nombre
entier de jours), quelles corrections périodiques
ou non doit-on faire ?
Contre exemple calendrier vague de 365 jours,
se recale au bout de 1461 ans.
Pour être commode dutilisation, on recherche
dans un cycle de n années, le nombre m de
corrections, ajouts ou retraits, dun ou
plusieurs jours à faire pour se recaler le mieux
possible sur le Soleil.
Exemples
calendrier musulman, alternance irrégulière des
mois à 29 et 30 jours.
Calendrier julien, ajout dun jour tous les 4 ans.
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Formation mathématique des calendriers
Quel outil mathématique de recherche de la
solution ?
Décomposition en fractions continues.
But trouver une approximation dun nombre réel
positif sous forme dun quotient deux nombres
entiers.
Méthode
q q0 u1 (u1 lt1)
On écrit le nombre sous la forme
1/ u1 q1 u2
Puis
1/ un qn un1
Le nombre sécrit
Exemple le nombre PI ?
3, 7, 16, 1, 292
3, 22/7, 333/106, 355/113
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Lannée tropique
365,24221988
On va rechercher pour la partie fractionnaire de
lannée tropique ses décompositions en fractions
continues.
Soit n/m une bonne approximation.
Si dans un laps de m années, on fait n années
bissextiles, quelle sera la moyenne de lannée
sur ces m années ?
Nombre de jours écoulés sur m années
Nj 365 x m n (corrections)
Moyenne sur m années
Nj (365xm)/ m n/m 365 n/m
On a bien une valeur moyenne proche de la valeur
réelle.
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Lannée tropique
365,24221988
Travail avec excel
Décomposition en fraction continue de la partie
fractionnaire q1, q2, q3, q6
Pour chaque q, calculer les numérateur et
dénominateur de la fraction continue
correspondante (à la calculette) et l'inscrire
dans la feuille du tableur

• 1 colonne numérateur
• 1 colonne dénominateur

Calculer dans les colonnes suivantes

• La durée moyenne de lannée ainsi établie,

• La différence avec lannée tropique vraie,

• Le nombre dannées pour que la différence fasse
  un jour.

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Lannée tropique
Décomposition en fraction continue
365,24221988
4, 7, 1, 3, 5, 6
Suite des qi ?
Nb année pour 1 jour
Fractions
Durée année
Différence
-0.0078012 0.00081949 -0.000225442 1.13E-05 -3.084
7E-07 4.81997E-08
128 1220 4436 88496 3241811 20747019
1 / 4 7 / 29 8 / 33 31 / 128 163 / 673 1009 / 4166
365.25000 365.24138 365.24242 365.24219 365.24220
365.24220
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Et lannée grégorienne ?
400 année grégoriennes
Durée de lannée grégorienne ?
400 années normales 400 365 jours
100-3 années bissextiles 97 jours
400 x 365 97 146097
1 an 365,2425 jours
-0.0078012 0.00081949 -0.000225442 1.13E-05 -3.084
7E-07 4.81997E-08
128 1220 4436 88496 3241811 20747019
1 / 4 7 / 29 8 / 33 31 / 128 163 / 673 1009 / 4166
365.25000 365.24138 365.24242 365.24219 365.24220
365.24220
Année grégorienne
365,2425
-0.0003012
3320
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Et lannée grégorienne ? Discussion
-0.0078012 0.00081949 -0.000225442 1.13E-05 -3.084
7E-07 4.81997E-08
128 1220 4436 88496 3241811 20747019
1 / 4 7 / 29 8 / 33 31 / 128 163 / 673 1009 / 4166
365.25000 365.24138 365.24242 365.24219 365.24220
365.24220
Année grégorienne
365,2425
-0.0003012
3320
Le cycle 7 / 29 8 années bissextiles en 29 ans
?
Non utilisé
Le cycle 8 / 33 8 années bissextiles en 33 ans
?
Utilisé calendrier persan
A été proposé
Le cycle 31 / 128 31 années bissextiles en 128
ans ?
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Compléments
La fraction 31 / 128 pourrait être mise en uvre
facilement
Sur un cycle de 128 ans, il faut une année
bissextile tous les 4 ans 32 128/4, sauf une.
Si lon numérote les années du cycle 1 à 128, et
si on prend comme principe davoir les années
bissextiles de rangs 4, 8, 12, 128 Il suffit
que la dernière année de rang 128 ne soit pas
bissextile.
La réforme grégorienne est basée sur un double
cycle de 4 et 400 ans.
Mais 4 étant diviseur de 400, le cycle global est
400.
Autres sujets abordables par les fractions
continues
Lannée lunaire, le nombre dor, le Saros
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Calendrier cuménique
Turquie 1912
Calendrier julien en arabe
Calendrier musulman
Calendrier julien en grec
Calendrier grégorien
Calendrier israélite
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Remarques
1- Si lon ne trace sur le mur quune méridienne,
un style horizontal suffit pour voir lombre de
son extrémité passer sur le tracé de léquation
du temps. Si la longueur de la tige est l, il
suffit de remplacer dans les formules l cos j par
l.
2 - Souvent pour une méridienne, lextrémité de
la tige porte un petit disque percé en son
centre.
Cest alors la tache lumineuse qui sert à repérer
la trajectoire du Soleil, comme dans les grandes
méridiennes des églises.
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Tracé et calcul sous excel

• Voir le fichier trace_meridienne.xls
• feuille 1 mur non déclinant
• feuille 2 mur déclinant

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La méridienne de lHôtel de Ville de Lyon
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Bibliographie
Calendriers

• Annuaire de lIMCCE Ephémérides astronomiques
  (annuel)
• Chapitre I Données sur les calendriers
• Chapitre II Définitions générales coordonnées
  et temps

Calendriers Saga sur http//www.louisg.net