Propagation dondes sismiques

1
Propagation d ondes sismiques

• Hélène Barucq
• Magique-3d (INRIA futurs) LMA (UMR 5142)

2
Objectif du tutorial

• Définition des ondes sismiques
• Modèles les plus classiques
• Quelques méthodes mathématiques
• Focus sur les méthodes one-way

3
La sismologie

• Science basée sur l analyse de sismogrammes qui
  sont des enregistrements des vibrations de la
  terre.
• Progrès très considérables durant le siècle
  dernier développements très importants des
  mathématiques appliquées à la physique (Physique
  Mathématique)

4
Hollywood Earthquake
Small M 4.2 earthquake on Sept 9, 2001
Amplification in basin
5
Oil industry problems Seismic Reflection Method

• Dynamic geophysical technique of imaging
  subsurface geologic
• structures by generating waves and recording the
  reflected
• components
• The Seismic Reflection Method is the industry
  standardfor locating
• the subsurface oil and gas accumulations

.


6
Plan

• Théorie de l élasticité
• Equations d ondes
• Ondes P et S
• Ondes acoustiques
• Quelques méthodes de résolution
• Méthodes one-way

7
Propagation d ondes sismiques
Théorie de l élasticité

• Tenseur des déformations
• Hypothèse des petites perturbations

8
Propagation d ondes sismiques
Théorie de l élasticité

• Conservation de la masse
• Conservation de la quantité de mouvement
• Conservation du moment angulaire

9
Propagation d ondes sismiques
Théorie de l élasticité

• Milieu élastique les contraintes ne dépendent
  que des déformations
• Milieu élastique isotrope les propriétés du
  milieu sont les mêmes dans toutes les directions

• Sous l hypothèse des petites perturbations

10
Propagation d ondes sismiques
Conditions aux limites

• Condition de surface libre pas de traction en
  surface
• Bord rigide condition de Dirichlet
• Bord artificiel condition artificielle
  (Clayton-Engquist, 1977)

11
Propagation d ondes sismiques
Conditions aux limites

• Condition de surface libre pas de traction en
  surface
• Bord rigide condition de Dirichlet
• Bord artificiel condition artificielle (Stacey,
  1988)

• Givoli (2003)

12
Ondes planes

• Supposons que u est de la forme
• u(t,x)w(t-s.x)
• et est solution de

• On obtient alors

13
Ondes planes

• Soit

• Soit

• Conclusion
• Onde P(rimaire)
• Onde S(econdaire)

14
Potentiels

• Equation à résoudre

Qui se récrit de façon équivalente
15
Potentiels

• Décomposition de la source

• Décomposition du champ u Théorème de Lamé

16
Milieu fluide onde P

• Equation des ondes acoustiques

17
Quelques ondes sismiques

• Ondes converties onde P devient S ou onde S
  devient P. Permettent de localiser des
  discontinuités sur les sismogrammes.
• Ondes de tête (Head waves) apparaissent lorsque
  deux milieux sont en contact et que la source est
  placée dans le milieu le plus lent.
• Ondes de compression ondes P
• Ondes de cisaillement ondes S

18
Représentation des résultats

• En général champs en quelques points du
  domaine
• en fonction du temps isovaleurs

• Imagerie profondeur
• Représentation des temps de trajet
  source/récepteurs permet de localiser les
  interfaces ou discontinuités
• Calcul des amplitudes des champs permet de
  déterminer les propriétés constitutives du milieu

19
Représentation des résultats
20
Méthodes numériques (milieu stratifié)

• Approximation WKBJ correction apportée par H.
  Bremmer
• dans le cas 1D (1951)
• Système déquations one-way par J.F. Claerbout
  (1971) équations découplées simulant la
  propagation vers le bas et vers le haut
• Séries de Bremmer pour la 2D par J.P. Corones
  (1975)
• Méthode Phase-Shift développée par J. Gazdag
  (1978)

• Milieu stratifié
• Approximation WKBJ correction apportée par H.
  Bremmer
• dans le cas 1D (1951)
• Système déquations one-way par J.F. Claerbout
  (1971) équations découplées simulant la
  propagation vers le bas et vers le haut
• Séries de Bremmer pour la 2D par J.P. Corones
  (1975)
• Méthode Phase-Shift développée par J. Gazdag
  (1978)

21
Méthodes numériques (milieu stratifié)

• Approximation WKBJ (Wentzel Kramers Brillouin
  Jeffreys)
• On veut résoudre l équation 1D

Où w est grand et positif. On cherche j sous la
forme
On en déduit que
On néglige le terme en w. Il vient alors
22
Méthodes numériques (milieu stratifié)
Cela entraîne que
Et en injectant cette relation dans l équation
du second ordre, on obtient

• Milieu stratifié
• Approximation WKBJ correction apportée par H.
  Bremmer
• dans le cas 1D (1951)
• Système déquations one-way par J.F. Claerbout
  (1971) équations découplées simulant la
  propagation vers le bas et vers le haut
• Séries de Bremmer pour la 2D par J.P. Corones
  (1975)
• Méthode Phase-Shift développée par J. Gazdag
  (1978)

23
Méthodes numériques (milieu stratifié)
La solution correspondante s écrit
Sous la condition de validité
NB invalide dans un voisinage de la source

• Milieu stratifié
• Approximation WKBJ correction apportée par H.
  Bremmer
• dans le cas 1D (1951)
• Système déquations one-way par J.F. Claerbout
  (1971) équations découplées simulant la
  propagation vers le bas et vers le haut
• Séries de Bremmer pour la 2D par J.P. Corones
  (1975)
• Méthode Phase-Shift développée par J. Gazdag
  (1978)

24
Méthodes numériques (milieu stratifié)

• Système déquations one-way par J.F. Claerbout
  (1971)
• équations découplées simulant la propagation vers
  le bas et
• vers le haut

Si s est constant
Décomposition de la solution

• Milieu stratifié
• Approximation WKBJ correction apportée par H.
  Bremmer
• dans le cas 1D (1951)
• Système déquations one-way par J.F. Claerbout
  (1971) équations découplées simulant la
  propagation vers le bas et vers le haut
• Séries de Bremmer pour la 2D par J.P. Corones
  (1975)
• Méthode Phase-Shift développée par J. Gazdag
  (1978)

25
Méthodes numériques (milieu stratifié)

• Si s n est pas constant, la factorisation
  n est plus valable

• Terme correcteur à introduire...

• Milieu stratifié
• Approximation WKBJ correction apportée par H.
  Bremmer
• dans le cas 1D (1951)
• Système déquations one-way par J.F. Claerbout
  (1971) équations découplées simulant la
  propagation vers le bas et vers le haut
• Séries de Bremmer pour la 2D par J.P. Corones
  (1975)
• Méthode Phase-Shift développée par J. Gazdag
  (1978)

26
Méthodes numériques (tectonique complexe)

• Théorie des rais représentation partielle du
  champ
• d onde. Méthode rapide (V. Farra 1999)
• Différences finies schéma classique centré du
• 2ème ou 4ème ordre 15 points par longueur
  d onde
• grille en quinconce coûteux en temps et
  stockage
• Eléments finis et formulation variationnelle
• intégration des CL, prise en compte de la
  topographie
• méthode implicite et matrice dont la largeur de
  bande
• augmente avec le degré d approximation

27
Méthodes numériques (tectonique complexe)

• Equations intégrales aussi précis que EF mais
• très coûteux (matrice pleine) difficile en
  milieux
• hétérogènes
• Méthodes spectrales mécanique des fluides CL
  
• périodiques d où méthodes pseudo-spectrales
• (Chebychev, Legendre)
• Eléments finis spectraux (Maday-Patera)
• Code SPECFEM (Komatitsch) pour
• l élastodynamique

28
Méthodes numériques (tectonique complexe)

• Méthode des éléments finis prise en compte de
  la
• topographie
• D. Komatitsch codes SPECFEM
• G. Cohen et S. Fauqueux
• Intérêt grande précision
• Inconvénient coûts de calcul très élevés le
  plus
• gênant occupation mémoire
• Introduction de conditions de bords absorbants

29
Méthodes numériques (tectonique complexe)

• Méthodes mixtes hybrides (DGM) permettent de
• relâcher les contraintes de maillage
• C. Farhat et al.
• M. Amara et al.
• Intérêt inconditionnellement stable
• Introduction de conditions de bords absorbants
  pas
• évidente

30
Méthodes numériques (tectonique complexe)

• Autre approche (M. de Hoop et al., 1996...)
• analyse micro-locale des ondes généralisation
• de l approximation WKBJ dont la mise en uvre
• la plus simple correspond à la méthode
• phase-shift.
• Méthode GSP (Generalized Screen Propagator)

31
Sismique Réflexion

• But Imager le sous sol par analyse des ondes.
  On place en surface une source (point de tir) et
  des récepteurs.

?

• Comment calcul des temps de trajet
  source/récepteur pour localiser les interfaces.
  Les plus importants sont ceux associés aux
  réflexions primaires.

• Les multiples sont importants à modéliser pour
  pouvoir les éliminer ! Car amplitude importante
  si fort contraste de vitesse (dôme de sel par
  ex., cf. le modèle GXT)
• On commence depuis peu à les analyser.

• Les multiples sont importants à modéliser pour
  pouvoir les éliminer amplitude importante si
  fort contraste de vitesse (dôme de sel par ex.,
  cf. le modèle GXT)

32
Opérateur Pseudo-différentiel

• Un opérateur pseudo-différentiel est représenté
  par une intégrale oscillante.
• La représentation n est pas unique.
• Définition 1 (la plus classique) Un opérateur
  pseudo-différentiel P est donné
• via la représentation intégrale pour toute
  fonction-test ?,

Dans la définition précédente, et p est appelé
symbole de P
33
Classe des symboles
Soit O un ouvert de IR3. Alors on dit que
et si pour tout compact K inclus dans O,

• si

• Il existe des fonctions régulières

homogènes de
en telles que
x
degré
34
Opérateur Pseudo-différentiel
Parmi toutes les représentations
possibles, Définition 2 Soit P un opérateur
pseudo-différentiel de symbole p(x,x). Pour toute
fonction-test f , on a

• La définition 1 représente l opérateur

• Tandis que la définition 2 représente
  l opérateur

35
Opérateur Pseudo-différentiel

• Une façon de limiter les coûts numériques
  Séparation des variables x et x .

Si
, on a
Gain une seule IFFT à calculer, pour chaque
point
36
Opérateur Pseudo-différentiel

• Notations
• Op(p(x, x)) l opérateur dont le symbole est
  p(x,x)
• s(P) symbole de P
• sP(P) symbole principal de P

37
Formulations one-way
Osup
z0
O
O
zzmax
Oinf
z
38
Modèle GSP
39
Modèle GSP
Passage du modèle exact au modèle GSP

• Elimination du temps par transformée de Laplace
• ? on s affranchit des dérivées
  par rapport au temps
• Elimination des inconnues transverses.
• ? on privilégie la direction z

40
Modèle GSP
Système matriciel
où
? Diagonalisation de lopérateur
41
Modèle GSP

• Changement dinconnues V t ( V , V- )
  tel que
• U P0 V,
• où P0 matrice de passage, formée de vecteurs
  propres, d inverse Q0 .

Théorème Soit ?0 Op(?0). V est solution du
système
42
Modèle GSP

• On peut écrire le modèle d ordre 0 de deux
  façons via un splitting de l opérateur R0.
  Celui-ci peut se décomposer selon ses parties
  diagonale R0d et anti-diagonale R0ad .
  L opérateur R0d tient compte des termes de
  transmission tandis que l opérateur R0ad fait
  état des termes de couplages et est associé aux
  termes de réflexion.
• D où l autre modèle

43
Modèle GSP

• Le modèle n est pas unique il dépend de
  l opérateur P0 pour lequel on a une infinité de
  possibilités à chaque matrice de vecteurs
  propres, on associe un modèle GSP d ordre 0.
• Un choix intéressant (M. de Hoop et J. Le
  Rousseau)

Dans ce cas, on a
et
44
Résolution du système
On se place dans le cas où r est constant. On
note


Le système à résoudre est donc le suivant
Transport
Source
Termes de couplage
avec
45
Résolution du système
On se place dans le cas où r est constant. On
note


Le système à résoudre est donc le suivant
Transport
Source
Termes de couplage
avec
46
Résolution du système
On se place dans le cas où r est constant. On
note


Le système à résoudre est donc le suivant
Transport
Source
Termes de couplage
avec
47
Résolution du système
Le Propagateur


Le système devient alors
où
? Inversion de (I2 - Ke) ? série de Neumann
Développement de Bremmer
48
Série de Bremmer
Calcul des itérés


source
récepteurs
49
Accélération des calculs
Séparation des variables x et k dans ?0
milieu de référence défini par une vitesse ne
dépendant que de z

où
50
Accélération des calculs
Après un développement de Taylor par rapport à
d, on obtient
En première approximation, on a donc
Et au delà, on tient compte des variations de
vitesse via les puissances de d
51
Opérateur de propagation
Symbole de lopérateur de propagation

• Approximations de ?0 et de sP(T0) pour séparer
  les variables x et k

• Développement de Taylor pour les exponentielles
  qui dépendent de x et
• k

• Normalisation

52
GXT modèle de vitesse.
Point de tir ?
53
Résultats numériques